2022年高考数学(北京卷)参考答案

第1 页（共7页）2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）B （3）A （4）C （5）C （6）C （7）D （8）B （9）B （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）(,0)(0,1]-∞ （12）3-
（13）1
（14）0（答案不唯一） 1
（15）① ③ ④
三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）
解：
（Ⅰ）由题设，2sin cos C C C =．
因为0πC <∠<， 所以sin 0C ≠．
从而cos 2
C =． 所以π6
C ∠=
． （Ⅱ）由ABC △
的面积为
，得1
sin 2
ab C =
又因为6b =，1sin 2
C =，
所以a =．
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-
，得c = 所以ABC △
的周长为6a b c ++=+．
第2 页（共7页）
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）取11B C 的中点P ，连接,PM PC ．
因为,M P 分别为1111,A B B C 的中点，所以11//,PM A C 且111
2
PM A C =． 因为四边形11ACC A 为平行四边形，且N 为AC 的中点， 所以11//,CN A C 且111
2
CN A C =
． 所以//,PM CN 且PM CN =． 所以四边形PMNC 为平行四边形． 所以//MN PC ．
又MN ⊄平面11BCC B ，PC ⊂平面11BCC B ， 所以//MN 平面11BCC B ．
（Ⅱ）因为侧面11BCC B 为正方形，所以1BC BB ⊥．
又因为平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，且平面11BCC B 平面111ABB A BB =， 所以BC ⊥平面11ABB A ．所以BC AB ⊥． 选条件①：AB MN ⊥．
由（Ⅰ）得//MN PC ，所以AB PC ⊥． 所以AB ⊥平面11BCC B ．所以1AB BB ⊥． 如图建立空间直角坐标系B x y z -，
则(0,0,0)B ，(0,2,0)A ，(0,1,2)M ，(1,1,0)N ． 所以(,,)012BM −−→
=，(,,)110BN −−→
=，(,,)020AB −−→
=-．
设平面BMN 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,
0,BM BN −−
→
−−→⎧=⎪⎨
⎪=⎩
⋅⋅m m 即20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩ 令2y =-，则2x =，1z =．于是(2,2,1)=-m ． 设直线AB 与平面BMN 所成角为α，则
2
sin cos ,3
||||||||
AB AB AB α−−→
−−→
−−→
=〈〉=
=
⋅m m m ．
第3 页（共7页）选条件②：BM MN =．
又MN PC ===
BM =因为112,1BB B M ==，所以22211BM BB B M =+． 所以111A B B B ⊥，即1AB BB ⊥． 以下同选条件①．
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件A 为“甲在校运动会上获得优秀奖”
． 根据题中数据，甲在10次比赛中，有4次成绩在9.50m 以上． 所以(
P A 2
5
=． （Ⅱ）设事件B 为“乙在校运动会上获得优秀奖”
，事件C 为“丙在校运动会上获 得优秀奖”．
根据题中数据，(
)P B 12=，(
)P C 1
2
=． 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且
(0)()()((P X P ABC P A P B P C ===； (1)()P X P ABC ABC A BC ==++
()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++；
(3)()()()()P X P ABC P A P B P C ===； (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=. 所以，(
0)P X =(1)
P X =；
(
3)P X =；(2)
P X =
所以EX 估计为38727
0123202020205
⨯
+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）在校运动会上，丙获得冠军的概率估计值最大．
第4 页（共7页）（19）（共15分）
解：
（Ⅰ）由题设，2221,
2.b c a b c =⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
解得2a =．
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）直线BC 的方程为1(2)y k x -=+．
由22
(2)1,44y k x x y =++⎧⎨+=⎩ 得2222(41)(168)16160k x k k x k k +++++=． 由2222(168)4(41)(1616)640k k k k k k ∆=+-⨯+⨯+=->，得0k <． 设1122(,),(,)B x y C x y ，则212216841k k x x k ++=-+，2122161641
k k
x x k +=+．
直线AB 的方程为111(1)0y x x y x --+=． 令0y =，得点M 的横坐标为11
111(2)
M x x x y k x =-=--+． 同理可得点N 的横坐标为2
2(2)
N x x k x =-+．
由题设，||2M N x x -=． 所以12
122(2)(2)
x x k x k x -
+=++．
所以1212||(2)(2)x x k x x -=++，
1212[2()4]k x x x x =+++．
22221616168(24)4141k k k k
k k k ++=-⨯+++．
2441
k
k -=+．
解得4k =-．
第5 页（共7页）（20）（共15分）
解：（Ⅰ）因为()e ln(1)x f x x =+，
所以1
()e [ln(1)]1x f x x x
'=+++．
所以(0)0f =，(0)1f '=．
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =． （Ⅱ）由题设，1
()e [ln(1)]1x g x x x
=+++．
所以2111
()e [
ln(1)]e []11(1)x x g x x x x x '=+++-+++
2
12e [
ln(1)](1)x x
x x +=+++．
因为0x ≥，所以()0g x '>．
所以函数()g x 在[0,)+∞上单调递增．
（Ⅲ）不妨假设0t >取定，令[0,)()()()(),x h x f x t f x f t +∞∈=+--，
则[0,)()()(),x h x f x t f x +∞'''∈=+-． 由（Ⅱ）知，()f x '在[0,)+∞上单调递增， 所以()()()0h x f x t f x '''=+->． 从而()h x 在[0,)+∞上单调递增． 因为(0)(0)0h f =-=，
所以当0s >时，()(0)0h s h >=，即()()()0f s t f s f t +-->． 综上，对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．
第6 页（共7页）（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，
所以:2,1,4Q 为5-连续可表数列．
又因为12376a a a ++=≠，所以:2,1,4Q 不是6-连续可表数列．
（Ⅱ）对于12:,,,k Q a a a ，所有形如1(1,2,,;0,1,,)i i i j a a a i k j k i +++++==- 的
可能取值最多有(1)
()(1)12
k k n k k k +=+-++= 个． 由题设，()8n k ≥，故4k ≥．
对于:1,4,1,2Q ，因为11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=， 1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=，
所以:1,4,1,2Q 为8-连续可表数列． 综上，k 的最小值为4．
（Ⅲ）由题设，()20n k ≥，所以6k ≥．
假设存在0126:,,,Q a a a 为20-连续可表数列，且12620a a a +++< ． ① 如果0Q 的各项均为非负整数，则112620i i i j a a a a a a ++++++++< ≤， 这与0Q 是20-连续可表数列矛盾．所以0Q 有负整数项．
又因为(6)21n =，所以0Q 只有一项为负整数，其余各项均为正整数，且互不 相等．
② 当10a <时，形如1i i i j a a a +++++ 且取值大于0的表达式列表如下：
2a 12a a +
23a a + 123a a a ++ 3a
234a a a ++ 1234a a a a +++ 34a a + 4a
2345a a a a +++ 125a a a +++ 345a a a ++ 45a a + 5a
236a a a +++
126a a a +++
3456a a a a +++
456a a a ++
56a a +
6a
表中表达式的值互不相等，且每一列中的值从上到下增大，每一行中的值 从左到右减小，最大值是236a a a +++ ，且第二大的值是 2345126max{,}a a a a a a a ++++++ ．
由题设，表中所有表达式的值之和为1220210+++= ，
第7 页（共7页）所以125346510()12()6210a a a a a a +++++=． 故1a 是偶数，且12a -≤．
由题设，23620a a a +++= ，所以12620218a a a +++-= ≤． 所以234519a a a a +++=．所以61a =．
因为51a >，所以23418a a a ++<，从而12618a a a +++= ． 综上得12a =-，12517a a a +++= ．
由题设，2343456max{,}16a a a a a a a +++++=． 又125346510()12()6210a a a a a a +++++=， 所以3412a a +=，257a a +=．
当23416a a a ++=时，24a =，53a =．此时345616a a a a +++=， 这与表中表达式的值互不相等矛盾．
当345616a a a a +++=时，53a =，24a =．此时23416a a a ++=， 这与表中表达式的值互不相等矛盾．
所以，当10a <时，0Q 不是20-连续可表数列． ③ 当60a <时，同理可证0Q 不是20-连续可表数列．
④ 当存在{2,3,4,5}l ∈，使得0l a <时，由题设，111,1l l l l a a a a -+++≥≥， 所以112620i i i j a a a a a a ++++++++< ≤． 所以0Q 不是20-连续可表数列．
综上可知，不存在6项的满足题设的20-连续可表数列． 所以7k ≥．。