河北冀州中学高二数学A卷上学期期中试题 文 新人教A版

试卷类型：A 卷冀州市中学2013－2014学年上学期期中考试高二数学
（文）试题
本试卷满分150分，考试时间为120分钟
一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分. 1.函数)45(log 2
1-=
x y 的定义域是（ ）
A.[1,)+∞
B.4(,)5+∞
C.4[,1]5
D.4(,1]5
2. 已知命题:,sin p x R x x ∀∈>则p 的否定形式为 A ． 000,sin x R x x ∃∈< B ． 000,sin x R x x ∃∈≤ C ． ,sin x R x x ∀∈≤ D ． ,sin x R x x ∀∈<
3.下列命题（1）函数1(0)y x x x =
+<的值域是(,2]-∞-；
（2）函数2
2122
y x x =+++最小值是2；（3）若,a b 同号且a b ≠，则2a b
b a
+≥。

其中正确的命题是
A.(1)(2)(3)
B. (1)(2)
C. (2)(3)
D. (1) (3)
4．某正三棱柱的三视图如右图所示，其中正视图是边长为2的正方形，则该正三棱柱的表面积为（ ）
A 、63+
B 、1223+
C 、123+
D 、2423+
5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c ＝( ) A ．(2,1)
B ．(1,0)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12 D ．(0，－1)
6．数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若31
22
n n S a =
-，则n a =（ ） A 、2n
B 、3n
C 、1
2
n - D 、13n -
7．函数3
()24x
f x x =+-的零点所在区间为（ ）
A 、(1,0)-
B 、(0,1)
C 、(1,2)
D 、(2,3) 8．．将函数sin(2)3
y x π
=+的图像平移后所得的图像对应的函数为cos 2y x =，则进行的平
移是（ ） A 、向右平移12
π
个单位 B 、向左平移
12π
个单位
C 、向右平移
6
π
个单位 D 、向左平移
6
π
个单位
78
9. 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a>0,b>0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）
A.y=±2x
B.y=±
1
3
x C.y=±
1
2
x D.y=±x
10.设,x y 满足不等式组10102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩
，则22
x y +的最小值为（ ）
A 、1
B 、5
C 、
22 D 、12
11. 执行右图的程序框图，若输出的5n =，
则输入整数p 的最大值是（ ）
A ．15
B ．14
C ．7
D ．6
12.某地区高中分三类，A 类学校共有学生2000人，B 类学校共有学生3000人，C 类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A 类学校中的学生甲被抽到的概率为 （ ）
A ．101
B ．209
C ．20001
D ． 21
13．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足
(21)f x -＜1
()3f 的x 取值范围是（ ）
A ．（13，23）
B ．［13，23］
C ．（12，2
3
）
D ．［
12，2
3
］ 14．设函数f （x ）满足f （x ）= f （4–x ），当x>2时，f （x ）为增函数，则a = f （1.10.9
）、
b = f （0.91.1
）、c = f （log 42
1）的大小关系是
（ ） A ．a>b>c B ．b>a>c C ．a>c>b
D ．c>b>a
15.已知椭圆
)20(142
2
2<<=+b b y x ，左右焦点分别为21F F ，，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是 A.1 B.2 C.2
3
D.3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上。

16．已知函数12,0
()21,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩
，则((1))f f =__________.
17.如图是2013年元旦歌咏比赛，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_ _．
18.过双曲线
22
136
x y -=的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，则_____.AB =
19.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒l m ⊥ ②α⊥β⇒l βP ③ l m P ⇒α⊥β ④l m ⊥⇒α∥β 其中正确命题的序号是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 20. (本小题满分10分)
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足()2cos cos .b c A a C -= （1）求角A 的大小；
（2）若2,b c ==，求||AB CA +u u u r u u u r
.
21. (本小题满分12分)一次数学模拟考试,共12道选择题,每题5分,共计60分,每道题有四个可供选择的答案,仅有一个是正确的.学生甲只能确定其中10道题的正确答案,其余2道题完全靠猜测回答.
学生甲所在班级共有40人,此次考试选择题得分情况统计表如下:
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析. （1）应抽取多少张选择题得60分的试卷? （2）求学生甲得60分的概率；
（3）若学生甲选择题得60分,求他的试卷被抽到的概率. 22. (本小题满分12分)
数列{}n a 是首项为1000，公比为
1
10
的等比数列，数列{b }n 满足 121
(lg lg lg )k k b a a a k
=+++L *()k N ∈，
（1） 求数列{b }n 的前n 项和的最大值； （2） 求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．
23. (本小题满分12分)
已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,
1
//,,12AB CD AD AB AD AB CD ⊥===,
PD ABCD ⊥面
,PD =E 是PC 的中点
（1）证明：//BE PAD 面； （2）求二面角E BD C --的大小.
24. (本小题满分12分) 已知函数f (x )＝4x ＋a ·2x
＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围。

25. (本小题满分12分)已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率3
6
=e ，过点(0,)A b -和
(,0)B a 的直线与原点的距离为
2
3． （1）求椭圆的方程．
（2）已知定点(1,0)E -，若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．
高二数学期中数学【文】试题答案 【A 卷】DBDBA DCBCD AAADD
①③ 20. 解：（1）由正弦定理可得：
2sin cos sin cos cos sin ,B A C A C A =+ -------------------------2分
2sin cos sin()sin B A A C B ∴=+=
1sin 0,cos .2B A ≠∴=
Q .3A π∴=
-------5分 222(2)2cos()AB CA AB CA AB CA A π+=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
7=- ------------------------------8分
AB CA ∴+=u u u r u u u r
-------------------------10分
21.解（1）得60分的人数为40×10%=4.设抽取x 张选择题得60分的试卷,则20
40
x =
， x=2,故应抽取2张选择题得60分的试卷…………………4分 （2）其余两道题每道题答对的概率为14，两道同时答对的概率为116
，所以学生甲得60分的概率为
1
16。

…………………8分 （3）设学生甲的试卷为a 1,另三名得60分的同学的试卷为a 2,a 3,a 4,所有抽取60分试卷的方法为:(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,a 4),(a 2,a 3),(a 2,a 4),(a 3,a 4)共6种,其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种,故小张的试卷被抽到的概率为P=31
62
=…………12分 22. 解：（1）由题意：410
n
n a -=，∴lg 4n a n =-，
∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-
L ，∴1(1)7[3]22
n n n n
b n n --=-=
由100
n n b b +≥⎧⎨
≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为6721
2S S ==……4分
（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，
∴当7n ≤时，212731132()244
n n n
S b b b n n n -+
'=+++==-+L 当7n >时，
12789n n S b b b b b b '=+++----L L 2712113
2()2144
n S b b b n n =-+++=-+L
∴22113
(7)4411321(7)44
n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩………8分
23. (本小题满分12分)
证明：取PD 的中点为,F 连接,EF
,2
1
,//CD EF CD EF =------------2分
又,,//CD 21
AB //AB EF AB EF CD AB =∴=
，
且 BE //,
ABEF AF ∴∴是平行四边形，
---------4分
BE PAD AF PAD BE //PAD.
⊄⊂∴又面，面，面
----------------------6分
（2）建系：以DA ，DB ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴，
),2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(P C B 则2
(0,1,)
2E -------------------7分 2(1,1,0),(1,0,)................82DB BE ==-u u u r u u u r 分
(,,)
n x y z =r
设平面EDB 的法向量为
0202
x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
(,,2)(1,1,2)n x x x x ∴=-=-r
---------------------- -------10分
令 x=1,则(1,1,2)n ∴=-r
又因为ABCD (0,0,1),m =u r
平面的法向量为
,22,cos =
n m
二面角C BD E --为.450 ------------------12分
24.解: 设2x
＝t (t >0)，则函数可化为g (t )＝t 2
＋at ＋a ＋1，t ∈(0，＋∞)，函数f (x )在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于函数g (t )在(0，＋∞)上有零点．…….4分
(1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足
F
y
z
x
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝a 2－4a ＋1≥0，
－a 2>0，g 0＝a ＋1>0，
解得－1<a ≤2－22…………6分
(2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足
g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1…………..8分
(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1，a ＝－1，此时可求得函数g (t )的另一个零点是1，符合题目要求……………………10分
综合(1)(2)(3)知a 的取值范围是a ≤2－22…………….12分 25. 解（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．
依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
+=
2336
22b
a a
b a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为 1322=+y x ．………4分
（2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=0
3322
2y x kx y ，得)31(2
k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(2
2
>+-=∆k k ． ①
设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+-=+⋅2212
213193112k x x k k x x ， ② … 8分
而4)(2)2)(2(21212
2121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
11
12211
-=++⋅x y x y ， 即0)1)(1(2121=+++x x y y ．………………10分
∴ 05))(1(2)1(21212
=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，6
7
=k ，使①成立． 综上可知，存在6
7
=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．………………………12分。