《高数》斯托克斯(stokees)公式

20
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E

q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
作业:P183: 1-(1)(3), 2-(1), 3-(2),4-(1)
22
五、积分学四大公式比较
Newton-Leibnitz公式
b df dx f ( x) b
a dx
a
Green公式 Gauss公式

D
(
Q x

P y
)dxdy

Pdx Qdy;
D
ab
D
D

1 x

由于的法向量的三个方向余弦都为正，
y 1
7
解 按斯托克斯公式, 有
z 1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

o
1 x
y 1
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
y
zdx xdy ydz
1
dydz dzdx dxdy
cos



x
P
cos

y Q
cos
z
dS Pdx Qdy Rdz
R
2. Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
3. (当Σ是 xoy面的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
此时， n {cos ,cos ,cos } {0, 0, 1}.
dzdx

P y
dxdy

(

P z
cos


P y
cos
)dS
又 cos f y cos (P44), 代入上式得


P z
dzdx

P y
dxdy




(
P y

P z
f y )cosdS




(
P y
P z
f y )dxdy
PQR
24
思考与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div (grad r)
2 r
; rot (grad r)
0.
提示: grad r x , y , z
rrr
x
(
x r
)

r xxr
r2
z
(
z r
)

r2z2 r3

r 2 x2 r3
,
y

R x
dzdx


R(
x
,
y
,
z
)dz
,
R Q
P R
Q P


(
y

z
)dydz

( z

)dzdx x

( x

)dxdy y
Pdx Qdy Rdz ..

故有结论成立. 14
二、简单的应用
P179-2
例 2 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
三代：
x
y z
3 2
.


9 2
.
S Dxy
1 2
1 8

3 4
.
17
三、物理意义---环流量与旋度(Circulate and Rotation)
1. 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
点, 建立坐标系如图,则
(0, 0, ), r (x, y, z)
z l M
点 M 的线速度为
o
r y
i jk
x
v r 0 0 ( y, x, 0)
xy z
i jk
rot v
x
y
z
(0, 0, 2) 2
y x 0 (此即“旋度”一词的来源)
一、斯托克斯公式 二、简单应用 三、小结
1
复习:
格林公式: 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成,函数
P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连续偏导
数, 则有
格林公式
(
DD
Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
y
格林公式的实质：
L
沟通了沿闭曲线的积分与二重积分 之间的联系.
则沿场 A 中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz
称为向量场 A 沿曲线C按所取方向的环流量.
利用stokes公式, 有

i jk
环流量



CA
ds



x
y

dS
z
PQR
18
2. 旋度的定义:
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面,
右手规则
n
的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)

在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式

(
R y
3 由斯托克斯公式
1
1
1
y
x

y

3 2
3
3
3
I
x
y
z
dS
y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
o1
x
x
2
y

1 2

4 3
( x


y

z)dS

4 3

Dxy
3 2

3dxdy
一投： 投影, 得Dxy; 二换： dS 3 dxdy;
其中 是平面
x

y

z

3 2
截立方体:
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 的表面所得的截
痕,若从 ox 轴的正向看去,取逆时针方向.
解
取Σ为平面
x

y

z

3 2
z
1
的上侧被 所围成的部分.
则单位法向量 n 1 {1, 1, 1}. 3
o
1
x
1y
15
z
解
取Σ为平面 x
3 x d z AB 1
30 (1 z)dz
oC
A
y
x
9
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3

x
y
yz


1 3

(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
10
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为 边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式
(
R y

Q z
)dydz

(
P z

R x
)dzdx

(
Q x

P y
)dxdy

Pdx Qdy Rdz

证明思路
---- 斯托克斯公式
曲面积分
二重积分
曲线积分
11
证明 曲面积分
二重积分
曲线积分
1
2
记 : z = f (x, y)



P z
( y) r

r2y2 r3
三式相加即得div(grad r)
i jk
rot (grad r)
x
y
z
(0, 0, 0)
xyz
rrr
25
练例习（ 3 2001年数学一考研题， 8分）计算
I ( y 2 z 2 )dx (2z 2 x 2 )dy (3 x 2 y 2 )dz L
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.
21
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos

x
y
z
ds

PQR
dydz dzdx dxdy

x
y
z
Pdx Qdy Rdz

PQ R
斯托克斯公式成立的条件.

3 d
Dxy

3 2
.
Dxy o
x 1
8
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
( P x

Q y

R z
)dV



Pdydz Qdzdx Rdxdy;
Stokes公式


(
R y

Q z
)dydz

( P z

R x
)dzdx

(
P y

Q x
)dxdy

Pdx Qdy Rdz.



23
六、 场论中的三个重要概念
而

P P
y P[ x, y, f ( x, y)] y z f y
故
P dzdx P dxdy P[x, y, f ( x, y)]dxdy ,
z
y
Dxy y
1
12
n
根椐格林公式



P[ x, y, f ( x, y)]dxdy P[ x, y, f ( x, y)]dx
Dxy y
c
即
P
P


z
dzdx

y
dxdy

cP[
x,
y,
f
(
x,
y)]dx
2
平面有向曲线


P z
dzdx

P y
dxdy


P(
x,
y,
z)dx,
空间有向曲线
13
同理可证


Q x
dxdy

Q z
dydz


Q(
x,
y,
z)dy,


R y
dydz


1. 便于记忆形式
dydz dzdx dxdy


x
y
z
Pdx Qdy Rdz

PQ R
cos cos cos
或



x
y
z
dS Pdx Qdy Rdz
PQR
其中 n {cos ,cos ,cos }.
5
D

y

6)dxdy
12 dxdy 24.
D

设 u u (x, y, z),
A (P, Q, R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
gradu
u x
,

u y
,
u z
u
散度:
div A
P x

Q y

R z


A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
其中L是平面x y z 2与柱面 x y 1的交线， 从z轴正向看，L为逆时针方向。
解 ：I （ 2 y 4z）dydz (2z 6x)dzdx Stokes公 式 Σ (2 x 2 y)dxdy
2

3
(4 x
Σ

2y

3z)dS

2 (x

i jk
称向量


为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
PQR
i jk
rotA x y z
PQR

(R

Q
)i

(P

R)
j

(Q

P
)k .
y z z x x y
19
旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一
6
P178-1
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面x y z 1被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
o
dydz dzdx dxdy

Q z
)dydz

(
P z

R x
)dzdx

(
Q x

P y
)dxdy

Pdx Qdy Rdz

---- 斯托克斯公式
4

(
R y


Q z
)dydz
(
P z

R x
)dzdx

(
Q x

P y
)dxdy n
Pdx Qdy Rdz
o
D x
2
问题:
如果 平面区域 D 变为空间曲 面区域 呢?
有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线Γ上的曲线 积分有什么关系吗?
z
o
x
n
Γ

y
(****)dydz (**)dzdx (**)dxdy