第五章时域分析、零极点分析和根轨迹法

定义函数，求超调量sigma，峰值 时间tp和调节时间ts function[sigma,tp,ts]=ste(y,t)%函 数定义 [mp,tf]=max(y); cs=length(t); yss=y(cs); sigma=100*(mp-yss)/yss tp=t(tf) cs=length(t) i=cs+1; n=0; while n==0,i=i-1; if i==1,n=1; elseif y(i)>1.05*yss n=1; end end

有左边参数调用，返回仿真计算结果。

y=step(sys,t) [y,t]=step(sys) [y,t,x]=step(sys)

使用help step命令，了解函数的调用方法。
step(sys) t = 0:dt:Tfinal step(sys,t) step(sys1,sys2,...,sysN) step(sys1,sys2,...,sysN,t) step(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN') [y,t,x] = step(sys) a = [-0.5572 0.7814;0.7814 0]; b = [1 -1;0 2]; c = [1.9691 6.4493]; sys = ss(a,b,c,0); step(sys)
sys=tf(1.25,[1 1 0]) Gc=feedback(sys,1) [y,t]=step(Gc)
y m y ( ) % 100% y ( )
[mp,tf]=max(y); cs=length(t);
yss=y(cs);
sigma=100*(mp-yss)/yss tp=t(tf)
例子：对离散系统
G(z)=0.632/(z^2-1.368z+0.568)
，输入信号为幅值正负1的方波信号,求输出信号。
num=0.632; den=[1 -1.368 0.568]; u1=[ones(1,50),1*ones(1,50)]; u=[u1 u1 u1]; figure(1) dlsim(num,den,u)
第五章 时域分析、零极点分析 和根轨迹法
获得控制系统的瞬态响应和稳态响应 对系统的瞬态和稳态性能分析 根轨迹绘制和分析
产生信号gensig()


[u,t]=gensig(type,Ta) [u,t]=gensig(type,Ta,Tf,T) Type：信号序列．sin正弦；square方波；pulse脉 冲 Ta：信号周期 Tf：信号的持续时间 T：采样时间
5.2 系统动态及稳态性能的时域分析 1. 稳定性分析MATLAB实现的方法
MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此 可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否 为最小相位系统进行判断。
roots()、 pzmap()
已知开环传函
对系统闭环稳定性判别
[n1,d1]=zp2tf(z,p,k) n1 = 0 d1 =
例5-1
G=1/(s2+2s+1)
num=1;y=zeros(200,1);i=0;
for bc=0.1:0.1:1
den=[1,2*bc,1];sys=tf(num,den);t=[0:0.1:19.9]; i=i+1;y(:,i)=step(sys,t); end plot(y) legend('zeta=0.1','zeta=0.2','zeta=0.3','zeta=0.4','zeta=0.5','zeta =0.6','zeta=0.7','zeta=0.8','zeta=0.9','zeta=1.0',-1) 注意：Lengend:pos = -1表示 places the legend outside the axes boundary on the right side.
1 P= 1 21 120 200
100( s 2) G( s) s( s 1)(s 20)
>> roots(P) ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010
k=100;z=[-2];p=[0,-1,-20];
0 100 200
21 20 0
>> P=n1+d1
G=tf(n1,d1) sys=feedback(G,1) Transfer function: 100 s + 200 -------------------------s^3 + 21 s^2 + 120 s + 200 >> roots(sys.den{1}) ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010
zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2)
5. 调节时间Ts
Ts：进入稳态值附近±5%或±2%的误差带而不 再超出的最小时间
if t2<tp cs=length(t) j=cs+1; if t1>t2 i=cs+1; n=0; n=0; ts=t1 while n==0,j=j-1; while n==0,i=i-1; end if j==1,n=1; if i==1,n=1; elseif y(j)<0.95*yss elseif t2>tp elseif y(i)>1.05*yss if t2<t1 n=1; n=1; ts=t2 end end else ts=t1 end end end t2=t(j); t1=t(i); end
2. 稳态值
1 bm y () lim sG ( s ) G(0) s 0 s an
1 y ( ) lim sG ( s ) lim C ( sI A) 1 B D CA1B D s 0 s s 0
K=dcgain(num,den)%k为稳态增益，即： 当s趋近于零时num(s)/den(s)=k 对于状态空间 K=dcgain(a,b,c,d)
例5-2
3. 其他输入下的时域响应
sys=系统模型


initial() 零输入响应 [y,t,x]=initial(sys,x(0)) help initial命令了解命令的使用方法。
initial(sys,x0) initial(sys,x0,t) initial(sys1,sys2,...,sysN,x0) initial(sys1,sys2,...,sysN,x0,t) initial(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN',x0) [y,t,x] = initial(sys,x0)
t1=t(i); j=cs+1; n=0; while n==0,j=j-1; if j==1,n=1; elseif y(j)<0.95*yss n=1; end end t2=t(j); if t2<tp if t1>t2 ts=t1 end elseif t2>tp if t2<t1 ts=t2 else ts=t1 end end
3. 稳态误差 目标值与稳态响应之差， ess lim e(t ) lim sE (s) 称为稳态误差。 t s 0
单位阶跃响应
ess 1 h()
单位斜坡响应
ess t y
4. 峰值时间Tp和超调量
Tp：0到阶跃响应曲线h（t） 超过稳态值而达第一个峰值之 间的时间
x0=初始 状态
[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0)
y(t)=时间输出响应 x(t)=时间状态响应 sys=系统 模型 u=输入 t=计算信号 响应时间
Lsim(num,den,u,t)

u为给定输入序列构成的矩阵，它的每列对 应一个输入，每行对应一个时间点，其行数 与时间t的长度相等。
[y,t,x] = step(num,den,t)
y(t)=时间输出响应 x(t)=时间状态响应 the state trajectory x t=仿真时间
t=计算阶跃 响应时间
G(s)=num/den
step的其他调用形式

无左边参数调用，绘制仿真计算图形。

step(sys);step(sys,t);step(sys1,sys2,…,t)
例5-1
例5-1
mesh(y)
2. impulse()


计算系统对单位脉冲输入的响应
调用方法与step()函数类似，用help impulse命令例了解 其调用规则 y=impulse(num,den) impulse(num,den) t=计算脉冲 [y,t,x]=impulse(num,den,t)
5.1 系统的时域分析
时域分析法是研究系统对典型输入的时间响 应曲线，常用的输入信号有：



阶跃信号step 脉冲信号impulse 任一信号lsim
1. step():

计算系统对单位阶跃输入的响应
y=step(num,den) step(num,den) [y,t,x]=step(num,den,t)
[y,t,x]=impulse(num,den,t)
y(t)=时间输出响应 x(t)=时间状态响应 t=仿真时间 G(s)=num/den
响应时间
例5-2 分析系统的脉冲响应
num=1;y=zeros(200,1);i=0;
for bc=0.1:0.1:1
den=[1,2*bc,1];t=[0:0.1:19.9]';sys=tf(num,den); i=i+1;y(:,i)=impulse(sys,t); end plot(y) legend('zeta=0.1','zeta=0.2','zeta=0.3','zeta=0.4','zeta=0.5','zeta =0.6','zeta=0.7','zeta=0.8','zeta=0.9','zeta=1.0',-1)
>> sys1=zpk(sys)
Zero/pole/gain: 100 (s+2) -----------------------(s+12.9) (s+5) (s+3.101) >> sys1.p{1} ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010 >> G=ss(sys) >> eig(G.a)
例子：

产生一个周期为５秒，持续时间为３０秒， 采样为０.1秒的方波.



[u,t]=gensig('square',5,30, 0.1); plot(t,u) Axis([0,30,-0.5,1.5])
产生正弦波：


[u,t]=gensig('sin',5,30, 0.1); plot(t,u) Axis([0,30,-1.5,1.5])
1.25 G ( s) 2 s s
sigma = 20.9121 tp = 3.0920 >> yss
yss =
0.9987
二阶系统的超调量的计算
% e


1 2
100%
2
sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))*100
ln(1 / %) ln(1 / %)2 2
例子：

a1=[-0.5572 0.7814;0.7814 0]; b1=[1 -1;0 2]; c1=[1.9691 6.4493]; sys1=ss(a1,b1,c1,0); a2=[-0.8572 0.7814;0.7814 0]; b2=[3 -1;0 2]; c2=[6.9691 6.4493]; sys2=ss(a2,b2,c2,0); step(sys1,sys2)
x0=初始状态
a = [-0.5572 -0.7814;0.7814 0]; பைடு நூலகம் = [1.9691 6.4493]; x0 = [1 ; 0]; sys = ss(a,[],c,[]); initial(sys,x0)
lsim()计算系统对任意输入的响应

[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0) y=lsim(sys,u,t) lsim(sys,u,t)
例5-3
close t=[0:0.1:10]; num=[1]; zeta=0.4;
系统对斜坡输入的响应 G=1/(s2+2s+1)
den=[1 2*zeta 1];
u=t; %单位斜坡输入 y=lsim(num,den,u,t); plot(t,y,'b-',t,u,'r:'); legend('zeta=0.4','u=t',0)