sy误差理论与数据处理1

实验对比法 组内残余误差观察法 残余误差校核法 不同公式计算标准差法 发现系统误差的方法 t检验法 F检验法 组间 计算数据比较法，正态检验法 秩和检验法
(2 2 )
d 1
2 P( ) P(t ) 2
t：置信系数；

t
0
e
t 2
2
dt 2(t )
P:置信概率或置信水平
2.算术平均值的极限误差
lim x t x
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六.不等精度测量
1.权的概念
各个测量结果的可靠程度 p 2.权的确定方法 最简单确定权的方法：按测量的次数确定权。 前提：测量条件和测量水平皆相同。
指明显超出统计规律预期值的误差。又 称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。 某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。
测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按 规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、 雷电干扰、机械冲击和振动等）。
由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准 则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值） 予以剔除。
i
加权单次测量的标准差：

2 p v i xi i 1
m
m 1
2 p v i xi i 1 m
加权算术平均值的标准差：
x
(m 1) pi
i 1
m
30
七.随机误差的其他分布 正态分布是随机误差最普遍的一种分布规律， 但不是唯一的分布规律。
几种常见的非正态分布： 1.均匀分布 2. 反正弦分布 3. 三角形分布
21
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差 第二节 系统误差 第三节 粗大误差 第四节 测量结果的数据处理实例
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第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因 二、随机误差的分布及其特性
三、算术平均值
四、测量的标准差 五、测量的极限误差
六、不等精度测量
七、随机误差的其他分布
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一.随机误差的产生原因
13
随机误差的性质
随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。 因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据， 对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措 施减小随机误差对测量结果的影响。
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粗大误差（Gross
定义
产生原因
Error）
1
误差理论与数据处理
第一章 第二章 绪论 误差的基本性质与处理
第三章 第四章 第五章 第六章
误差的合成与分配 测量不确定度 线性参数的最小二乘法 回归分析
课程目的
正确认识误差的性质，分析误差产生的原因 减小或抑制误差 正确处理实验数据，合理计算所得结果 给出科学可信的实验结果 正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法 根据目标确定最佳方案
随机误差（Random Error）
定义 特征 产生原因 测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限 多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。 在相同测量条件下，多次测量同一量值时， 绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。 实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪 声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、 地面振动等。
2
(2 2 )

12 22 ... n2
n
2 v i i 1 n

2 i 1in来自正态分布的随机误差分布密度
n

n 1
（Bessel公式）
2.测量列算术平均值的标准差
x

n
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五.测量的极限误差 1.单次测量的极限误差
1 2



e
2
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准确度、精密度和精确度三者之间的关系
(a)
弹着点全部在靶 上，但分散。相 当于系统误差小 而随机误差大， 即精密度低，准 确度高。
(b)
(c)
弹着点集中靶心。 相当于系统误差 与随机误差均小， 即精密度、准确 度都高，从而精 确度高。
弹着点集中，但偏 向一方，命中率不 高。相当于系统误 差大而随机误差小， 即精密度高，准确 度低。
② 环境方面的因素
③ 测量方法的因素
④ 测量人员的因素
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二 系统误差的特征
在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号 保持不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。 1 不变的系统误差 2 线性变化的系统误差 3 周期性变化的系统误差 4 复杂规律变化的系统误差
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三 系统误差的发现
2 4. 分布
5. t 分布 6. F 分布
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第二节 系统误差
随机误差处理方法的前提：测量数据中不含有系统误差
实际情况：系统误差与随机误差同时存在 研究系统误差的特征与规律性，找出产生系统误差的原因， 提出减加或消除系统误差的方法 一 系统误差产生的原因 给出科学结论
二 系统误差的特征
三 系统误差的发现 四 系统误差的减小和消除
2
先修课程：
线性代数、概率论和数理统计、电路 理论、电子电工实验等.
3
课程目标：
对误差理论体系有一个全面的把握；掌握误 差的概念、性质及分类方法；通过对固定量测量数 据的处理学习误差处理的基本方法；能利用最小二 乘法进行参数估计。掌握线性回归方法处理测量数 据；能将以上理论运用于具体测量实践。
教材
1、研究误差的意义
2、误差的基本概念 3、误差与精度 4、有效数字与数据运算

7
第一章 绪论
第一节 研究误差的意义 第二节 误差的基本概念
误差的定义 误差的分类
误差的来源
一、误差的定义及表示法
误差
8
＝
测得值
－
真值
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 误差
粗大 误差
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument） 定义
《误差理论与数据处理》（第6版） 费业泰等 机械工业出版
社
研究误差的意义
门捷列夫 (1834-1907)
科学始于测量, 没有测量，便没 有精密的科学。
门捷列夫
研究误差的意义
钱学森(1911- )
信息技术包括测量 技术、计算机技术 和通信技术，测量 技术是信息技术的 关键和基础。
钱学森

6
第一章 绪论
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xi ri xm xm rm xm
仪器某标称刻度值处的 绝对误差 该标称范围（或量程）上限 仪器标称范围（或量程） 内的最大绝对误差
最大引用误差
引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定 值，又称为引用相对误差。 最大引用误差：引用标称范围上限（或量程）得到的，故 该误差又满度误差。 最大引用误差：被用来确定仪表的等级精度
第四节 有效数字与数据运算
一、有效数字
• 测量精度有限 最末一位有效数字应与测量精度同一量级
• 可靠数字 + 一位存疑数字 = 有效数字 • 有效位数是该数中有效数字的个数。指从该数左方第一个 非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取 决于小数点的位置 。 例如： 3.14（3位） 0.0032（2位） 0.00320（3位） • 正确表示： （20.53 0.01）mm （20.534 0.042）mm
pi ni
x
i

ni
: 1
2
p1 : p2 :...: pm
1
1
2 2 x x
:...:
1
2 x
m
结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。
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3.加权算术平均值
x
px
i 1 m i
m
i
p
i 1
加权算术平均值
i
4.单位权概念 若将不等精度测量的各组测量结果 x i 皆乘以自身权数的平方根
三、数字运算规则
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1. 在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所 有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参 考数字（或称为安全数字）。 2. 在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据 位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小 数位数最少的数据小数位相同。 3. 在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位 数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有 效位数最少的数据位数相同。 4. 在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。 5. 在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用 （n+1）位对数表，以免损失精度。 6. 三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而 增多
l1 l2 ... ln x n
l
i 1
n
i
n
随机误差：
i li L0
vi li x 式中：l ——第 i 个测得值， i ＝1，2，，…，n; i
vi —— li 的残余误差（简称残差）。
四.测量的标准差
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1 f ( ) e 2
1.单次测量的标准差
误差的出现没有确定的规律 二.正态分布 统计规律
1 f ( ) e 2
2
2
(2 2 )
2 f ( )d
4 f ( )d 5 1 f ( )d 2

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三.算术平均值
设
l1 , l2 ,..., ln 为n次测量所得的值，则算术平均值 x 为：
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一 系统误差产生的原因 系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成， 这些因素是可以掌握的。 ① 测量装置方面的因素
计量校准后发现的偏差、仪器设计 原理缺陷、仪器制造和安装的不正 确等。 测量时的实际温度对标准温度的偏 差、测量过程中的温度、湿度按一 定规律变化的误差等。 采用近似的测量方法或计算公式引 起的误差等。 测量人员固有的测量习性引起的误 差等。
f (x)
_
3
期望值 均值 某次测得值
+3
奇异值
标准差
第三节
准确度（Correctness）
误差与精度
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测量结果中系统误差的影响程度
精密度（Precision）
测量结果中随机误差的影响程度
精确度（Accuracy ）
表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分 析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合， 误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。 精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但 不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精 度为10-5。
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三类误差的关系及其对测得值的影响
系统误差和随机 误差的定义是科学严 谨，不能混淆的。但 在测量实践中，由于 误差划分的人为性和 条件性，使得他们并 不是一成不变的，在 一定条件下可以相互 转化。也就是说一个 具体误差究竟属于哪 一类，应根据所考察 的实际问题和具体条 件，经分析和实验后 确定。
pi ，此时得到的新值
z 的权数就为1。
z pi xi
5.加权算术平均值的标准差
已知各组测量结果的残余误差为： v xi x i x ， 将各组 x i 单位权化得：
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pi vxi
pi x i－ pi x
等精度测量列的测量结果
等精度测量列的残余误差
用 pi vx 代替 vi 代入等精度测量的公式得：
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3.14 3.210-3 3.2010-3
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二、数字舍入规则
计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照 下述原则进行凑整： 1. 若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末 位数加1。 2. 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末 位数减1。 3. 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末 位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇 数时则末位加1。
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二、误差的来源
误差的起因: 测量过程中，由于实验方法和实验设备的不完善，周围 环境的影响，人们认识能力所限，实验所得数据和被测量 的真值之间存在差异。
主要来源
测量方法 误差 测量装置 误差 测量环境 误差 测量人员 误差
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三、误差分类
系统误差（Systematic Error） 定义
在重复性条件下，对同一被测量进行无 限多次测量所得结果的平均值与被测量 的真值之差。 在相同条件下，多次测量同一量值时， 该误差的绝对值和符号保持不变， 或者在条件改变时，按某一确定规律变 化的误差。
特征
按对误差掌握程度，系统误差可分为
已定系统误差： 误差绝对值和符号已经明确的系统误差。 未定系统误差： 误差绝对值和符号未能确定的系统误差， 但通常估计出误差范围。 例： 直尺的刻度值误差
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按误差出现规律，系统误差可分为
不变系统误差： 变化系统误差： 误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 误差绝对值和符号变化的系统误差。 按其变化规律，可分为线性系统误差、 周期性系统误差和复杂规律系统误差。