2023年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷及答案解析

2023年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，本大题共10题，共30分）
1．（3分）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（）
A．a＜b＜﹣c B．b＜﹣c＜a C．﹣a＜c＜b D．a＜c＜﹣b 2．（3分）下列计算正确的是（）
A．＝2B．＝﹣2C．＝2D．＝±2 3．（3分）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）
A．1B．2C．3D．5
4．（3分）要使分式有意义，x的取值应满足（）
A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥﹣2D．x＞﹣2
5．（3分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A．B．C．D．
6．（3分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2 7．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣4B．C．D．4
8．（3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）
A．9B．6C．6+πD．9﹣π
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）
A．∠B＝∠BCD B．CB＝CD
C．DE+DC＝AE D．∠BCD+∠ADC＝90°
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，已知∠B＝60°，AB＝2cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设在此过程中运动时间为x秒，△APQ的面为y．则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题3分，本大题共6题，共18分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
12．（3分）分解因式：xy2﹣x＝．
13．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007mm2.将0.0000007用科学记数法表示为．14．（3分）在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，
方差分别为S
甲2＝1.45，S
乙
2＝0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是．（填“甲”、
“乙”中的一个）．
15．（3分）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若点A为圆的切点，AB＝2，则光盘的直径是．
16．（3分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A（x，y），我们把点B（，
）称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为（3，0），顶点E在y轴上，函数y＝（x＞0）的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．（4分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
18．（4分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
19．（6分）已知T＝+．
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
20．（6分）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
21．（8分）我市某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级．现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．
22．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB 交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求▱OABC的周长．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及cos∠ACD的值．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2，并求此时点M，N的坐标．
25．（12分）（1）如本题图①，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
（2）如本题图②，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB ＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
（3）如本题图③，在四边形ABCD中，BC＝6，CD＝5，对角线AC平分∠BAD，∠BCA ＝2∠DCA，点E为AC上一点，∠EDC＝∠ABC．若DE＝DC，求AB的长．
2023年广东省广州市番禺区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，本大题共10题，共30分）
1．【分析】从数轴得出b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c，据此判断即可．
【解答】解：由题意可知，b＜0＜c＜a，且|a|＞|b|＞|c，
∴b＜﹣c＜a，故选项A不合题意；
∴a＞﹣c＞b，故选项B合题意；
∴﹣a＜b＜c，故选项C不合题意；
∴c＜﹣b＜a故选项D符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数．
2．【分析】根据平方根和立方根的定义进行化简．
【解答】解：A．正确；符合题意．
B.＝2；不符合题意．
C.＝﹣2；不符合题意．
D.＝2；不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，平方根和立方根的定义．
3．【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴，
故选：D．
【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．
4．【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零，即可得出答案．
【解答】解：要使分式有意义，则x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．5．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
红绿
红（红，红）（绿，红）
绿（红，绿）（绿，绿）所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣5＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵﹣5＜0，0＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝12﹣4m＝0，
解得m＝．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．【分析】连接BE，由正方形的性质推出∠ACB＝∠BAC＝45°，由圆周角定理推出△BEC 是等腰直角三角形，得到∠ECB＝∠EBC＝45°，因此弓形BME的面积＝弓形CNE的面积，即可得到阴影的面积＝△ABE的面积，求出△ABE的面积即可．
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝6，
∵BC是圆的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴弓形BME的面积＝弓形CNE的面积，
∴阴影的面积＝△ABE的面积，
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AE＝EC，
∴△ABE的面积＝△ABC的面积×，
∵△ABC＝AB•BC＝×6×6＝18，
∴△ABE的面积＝×18＝9．
∴阴影的面积＝9．
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，关键是连接BE，把阴影的面积转化
成△ABE的面积．
9．【分析】判断出△ADC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAC＝∠EDC＝120°，
∵A，D，E共线，
∴∠ADC＝180°﹣∠EDC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD，
∴DE+DC＝AE．
故选：C．
【点评】本题考查性质的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．【分析】由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC＝AB＝2，∠BAC ＝60°＝∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．
【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，
由题意可得BP＝AQ＝x，
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，
∵sin∠BAC＝，
∴HQ＝AQ•sin60°＝x，
∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；
当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，
由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，
∵sin∠ACD＝＝，
∴NQ＝（x﹣2），
∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，
∴该图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴在2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二、填空题（每题3分，本大题共6题，共18分）
11．【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得x﹣6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
12．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：xy2﹣x，
＝x（y2﹣1），
＝x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．
故答案为：7×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．
【解答】解：∵两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为S
甲2＝1.45，S
乙
2＝0.85，
∴S
甲2＞S
乙
2，
∴考核成绩更为稳定的运动员是乙；
故答案为：乙．
【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．15．【分析】光盘的圆心为O点，连接OA，⊙O切直角三角板的斜边于D点，连接OB，如图，先根据切线的性质得到OA⊥AB，再根据切线长定理得到OB平分∠ABC，则利用邻补角的定义可计算出∠ABO＝60°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系计算出OA，从而得到光盘的直径．
【解答】解：光盘的圆心为O点，连接OA，⊙O切直角三角板的斜边于D点，连接OB，如图，
∵⊙O与AB相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵BA与BC为⊙O的切线，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝（180°﹣60°）＝60°，
在Rt△OAB中，OA＝AB＝2，
即光盘的直径为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和含30度角的直角三角形三边的关系．
16．【分析】设点A的坐标为（m，），由“倒数点”的定义，得点B坐标为（，），
分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED∥x轴，得＝
，解出m＝±2，（﹣2舍去），得点B纵坐标为1，此时，S
△OBC
＝×3×1＝；②点
B在DC上，得点B横坐标为3，即＝3，求出点B纵坐标为：＝，此时，S△OBC
＝×3×＝．
【解答】解：设点A的坐标为（m，），
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B坐标为（，），
∵点B的横纵坐标满足＝，
∴点B在某个反比例函数上，
∴点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由ED∥x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即＝，
∴m＝±2（﹣2舍去），
∴点B纵坐标为1，
＝×3×1＝；
此时，S
△OBC
②点B在DC上，
∴点B横坐标为3，即＝3，
∴点B纵坐标为：＝，
＝×3×＝；
此时，S
△OBC
故答案为：或．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
三、解答题（本大题共9题，共72分）
17．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞﹣3．
解不等式②，得x≥﹣1，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为x≥﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
∴AE＝DF．
【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．
19．【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；
（2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．
【解答】解：（1）T＝+＝＝；
（2）由正方形的面积为9，得到a＝3，
则T＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
【点评】本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到AB＝AC是解题的关键．21．【分析】（1）先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补全条形统计图；
（2）条件题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，再画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）调查的总人数为10÷25%＝40（人），
所以获一等奖的人数为40﹣8﹣6﹣12﹣10＝4（人），
条形统计图为：
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，则获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为2，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
22．【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．
（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）．
（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）
∴C（9，0），
∴OC＝9，OA＝＝5，
∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法作图；
（2）根据三角形的中位线的性质，及勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图：OD即为所求；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝10，
∴OD＝OB＝5，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∵O是AB的中点，
∴E平分AC，
∴CE＝，OE＝CB＝3，
∴DE＝OD﹣OE＝2，
在Rt△CDE中，CD＝2，
∴cos∠ACD＝＝＝．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握垂径定理及解直角三角形是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）由y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，即可求解；
（Ⅱ）由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，则（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，即可求解；
（Ⅲ）当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND 最小，进而求解．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；
（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
解得a＝或，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1或y＝x2﹣3x﹣1；
（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a），
作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2，
则F′D′2＝F′H2+D′H2＝（1﹣2a）2+4＝（2）2，
解得a＝（舍去）或﹣，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，﹣），
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x﹣，
当y＝0时，y＝﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣＝m，
则m+3＝，
即点M的坐标为（﹣，0）、点N的坐标为（，﹣1）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
25．【分析】（1）由∠ADC＝60°，得∠ADB＝180°﹣∠ADC＝120°，再证明△ADE≌△ADC，得∠ADE＝∠ADC＝60°，则∠ADE＝∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；
（2）由∠BDE＝∠CDG＝60°，∠B＝∠DCG，证明△BDE∽△CDG，得＝，而DG＝2，ED＝CD＝3，即可求得BD＝；
（3）作CL平分∠BCA交AB于点L，因为∠BCA＝2∠DCA，所以∠LCA＝∠BCL＝∠DCA＝∠BCA，而∠CAL＝∠CAD，AC＝AC，可证明△ACL≌△ACD，得CL＝CD＝5，
AL＝AD，再证明△DCE∽△BCL，因为BC＝6，DE＝DC＝，所以＝＝＝
，则BL＝DE＝3，CE＝CL＝，再证明△EAD∽△DAC，得＝＝＝，
则AD2＝AE•AC，AE＝AD，于是得AD2＝AD（AD+），求得AL＝AD＝，则AB＝AL+BL＝．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝120°，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠BDE，
∴DE平分∠ADB．
（2）解：由（1）得∠BDE＝∠CDG＝60°，ED＝CD，
∵FB＝FC，
∴∠B＝∠DCG，
∴△BDE∽△CDG，
∴＝，
∵DG＝2，CD＝3，
∴ED＝3，
∴BD＝＝＝，
∴BD的长是．
（3）解：如图③，作CL平分∠BCA交AB于点L，则∠LCA＝∠LCB＝∠BCA，
∵∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCA，
∴∠LCA＝∠BCL＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAL＝∠CAD，
∵AC＝AC，
∴△ACL≌△ACD（ASA），
∴CL＝CD＝5，AL＝AD，
∵∠DCA＝∠BCL，∠EDC＝∠ABC，
∴△DCE∽△BCL，
∵BC＝6，DE＝DC＝×5＝，
∴＝＝＝，
∴BL＝DE＝×＝3，CE＝CL＝×5＝，
∵∠CED＝∠CLB，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝180°﹣∠CLB，
∵∠ADC＝∠ALC＝180°﹣∠CLB，
∴∠AED＝∠ADC，
∵∠EAD＝∠DAC，
∴△EAD∽△DAC，
∴＝＝＝，
∴AD2＝AE•AC，AE＝AD，
∴AD2＝AD（AD+），
解得AD＝或AD＝0（不符合题意，舍去），
∴AL＝，
∴AB＝AL+BL＝+3＝，
∴AB的长是．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判
定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键。