2019-2020学年汕头市潮阳区八年级下学期期末数学试卷

2019-2020学年汕头市潮阳区八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若式子√4−3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A. x>4
3B. x<4
3
C. x≥4
3
D. x≤4
3
2.下列运算正确的是()
A. 8√3÷4√2×1
√2
=2√3
B. √(−4)×(−9)=√−4×√−9=6
C. √(2−√5)2=2−√5
D. √8−√2=√2
3.我市武夷山与松溪某八天的空气质量指数(AQI)如下表所示：(其中0<a<32)
第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天武夷山3233363647484848松溪a32−a363647484848则这两个样木数据的平均数，中位数，众数，方差对应相等的是()
A. 平均数，中位数
B. 平均数，众数
C. 方差，众数
D. 中位数，众数
4. 下列根式中，不是最简二次根式的是()
A. √17
B. √0.1
C. √26
D. 3
2
√2
5. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是
A. 三条边的比为1:2:3
B. 三条边满足关系a 2=b 2−c2
C. 三个角的比为1:2:3
D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
6. 如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，
若∠EFG=64°，则∠EGD的大小是()
A. 132°
B. 128°
C. 122°
D. 112°
7. 如图，点D在△ABC边延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直
线EF//BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于E.当点O 在线段AC上移动(不与点A，C重合)时，下列结论不一定成立的是()
A. 2∠ACE=∠BAC+∠B
B. EF=2OC
C. ∠FCE=90°
D. 四边形AFCE是矩形
8. 已知y−1与x成正比例，当x=3时，y=2.则当x=−1时，y的值是()
A. −1
B. 0
C. −1
3D. 2
3
9. 如图，已知⊙的半径为4，点O到直线的距离为5，点P是直
线上的一个动点，切⊙于点则长的最小值
是()
A. 5
B. 3
C. 4
D. 2
10. 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=112°，则∠EAF为
()
A. 38°
B. 40°
C. 42°
D. 44°
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a−b|+a的结果是______．
12. 观察下列等式：√3+1
1=2
1
√1；√4+1
2
=3
2
√2；√5+1
3
=4
3
√3；……，则第n(n为正整数)个等式
是______．
13. 已知：三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，连结各边中点所成三角形的周长=______．
14. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，M是AB的中点，P是对角线BD
上的一个动点．若PM+PA的最小值是6，则AB的长为________．
15. 如图，直线y=−x与y=ax+3a(a≠0)的
交点的横坐标为−1.5，则关于x的不等式
−x>ax+3a>0的整数解为______．
16. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(0,2)，C为x轴上的一
个动点，以BC为一边作等腰Rt△BCD，使得∠BCD=90°，CB=
CD，连接AD，则AD+BD的最小值为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
18. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。

近日A市气象局测得沙尘暴
中心在A市正西300公里的B处以10海里/时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。

(1)通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？
(2)若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？
四、解答题（本大题共4小题，共30.0分）
19. 计算
(1)计算：2−1+(π−√2)0+√16−(−1)2014；
(2)解方程：2
x +1=x
x+2
．
20. 先将√x−2
x−2÷√x
x3−2x2
化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．
21. 为创建全国卫生城市，我市某单位全体职工利用周末休息时间参加社会公益活动，并对全体职
工参加公益活动的时间(单位：天)进行了调查统计，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据信息回答下列问题：
(1)该单位职工共有______名；
(2)补全条形统计图；
(3)职工参加公益活动时间的众数是______天，中位数是______天；
(4)职工参加公益活动时间总计达到多少天？
22. 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=2x+6交x轴于点B，交y轴于点A，
且AO=BC．
(1)求直线AC的解析式；
(2)如图2，点P在线段AC上，连接PB交OA于点D，设点P的横坐标为t，△ABP的面积为S，求
S与t之间的函数解析式；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点A作∠CAO的平分线交DP于点E，点L在BP的延长线上，连接
CE、CL，若∠ABP=2∠ACE，CL=AC，求DL的长．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得：4−3x≥0，再解即可．
解：由题意得：4−3x≥0，
解得：x≤4
3
，
故选D．
2.答案：D
解析：解：A、原式=2√3×1
2×1
2
=√3，所以A选项错误；
B、原式=√4×9=√4×√9=2×3=6，所以B选项错误；
C、原式=√5−2，所以C选项的计算错误；
D、原式=2√2−√2=√2，所以D选项的计算正确．
故选：D．
利用二次根式的乘除法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3.答案：D
解析：解：武夷山8个数据的平均数为：(32+33+36+36+47+48+48+48)÷8=41，
从小到大排列此数据，第4、第5个数据分别是36，47，所以中位数是(36+47)÷2=41.5，
48出现了3次，次数最多，所以众数为48，
方差S2=1
8
[(32−41.5)2+(33−41.5)2+2×(36−41.5)2+(47−41.5)2+3×(48−41.5)2]，松溪8个数据的平均数为：(a+32−a+36+36+47+48+48+48)÷8=36.875，
从小到大排列此数据，第4、第5个数据分别是36，47，所以中位数是(36+47)÷2=41.5，
48出现了3次，次数最多，所以众数为48，
[(a−36.875)2+(32−a−36.875)2+2×(36−36.875)2+(47−36.875)2+
方差S2=1
8
3×(48−36.875)2]，
比较可得，这两个样木数据的中位数，众数对应相等．
故选：D．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义分别求出这两个样木数据的平均数，中位数，众数，方差，再比较即可．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差，掌握定义及其计算公式是解题的关键．
4.答案：B
解析：解：A、√17是最简二次根式，不符合题意；
B、√0.1=√10
不是最简二次根式，符合题意；
10
C、√26是最简二次根式，不符合题意；
√2是最简二次根式，不符合题意；
D、3
2
故选：B．
根据最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式，由此判断各选项可得出答案．
本题考查最简二次根式的知识，属于基础题，注意掌握二次根式的满足的两个条件．
5.答案：A
解析：根据直角三角形的判定方法：判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可，对选项进行逐一分析，排除错误答案．
解：A、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误；
B、三条边满足关系a2=b2−c2，故正确；
C、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，故正确；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故正确．
故选：A．
6.答案：C
解析：解：∵AB//CD，∠EFG=64°，
∴∠BEF=180°−∠EFG=116°，
∵EG平分∠BEF交CD于点G，
∠BEF=58°，
∴∠BEG=1
2
∵AB//CD，
∴∠EGD=180°−∠BEG=122°．
故选：C．
∠BEF=根据平行线的性质得到∠BEF=180°−∠EFG=116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=1
2 58°，由平行线的性质即可得到结论．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．
7.答案：D
解析：
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠BAC+∠B，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACD=2∠ACE，
∴2∠ACE=∠BAC+∠B，故A选项正确；
∵EF//BC，CF平分∠BCA，
∴∠BCF=∠CFE，∠BCF=∠ACF，
∴∠ACF=∠EFC，
∴OF=OC，
同理可得OE=OC，
∴EF=2OC，故B选项正确；
∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD，
×180°=90°，故C选项正确；
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=1
2
∵O不一定是AC的中点，
∴四边形AECF不一定是平行四边形，
∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误，
故选：D．
依据三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质，即可得到2∠ACE=∠BAC+∠B，EF= 2OC，∠FCE=90°，进而得到结论．
此题主要考查了矩形的判定等腰三角形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．8.答案：D
解析：解：设y−1=kx(k≠0)，
则由x=3时，y=2，得到：2−1=3k，
解得k=1
3
．
则该函数关系式为：y=1
3
x+1；
把x=−1代入y=1
3x+1得到：y=−1
3
+1=2
3
；
故选：D．
设y−1=kx(k≠0)，把x=3，y=2代入求出k的值，把x=−1代入函数关系式即可得到相应的y 的值；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式．解决本题的关键是得到y与x的函数关系式．
9.答案：B
解析：⊙O的半径为4，点O到直线的距离为5，点P是直线上的一个动点，PC切⊙O于点C，那么△OCP是直角三角形，由勾股定理得，要使PC 取的最小值，因为OC是圆的半径为4，固定不变的，只有当OP取得最小值时，PC取的最小值，即O点到直线的距离为OP的最小值，
故选B
10.答案：D
解析：解：∵∠BAC=112°，
∴∠C+∠B=68°，
∵EG、FH分别为AC、AB的垂直平分线，
∴EA=EB，FC=FA，
∴∠FAC=∠C，∠EAB=∠B，
∴∠FAC+∠EAB=68°，
∴∠EAF=44°，
故选：D．
根据三角形内角和定理求出∠C+∠B=68°，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EA，FC=FA，根据等腰三角形的性质得到∠FAC=∠C，∠EAB=∠B，计算即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
11.答案：b
解析：解：通过数轴得到a<0，b>0，|a|<|b|，
∴a−b<0，
∴|a−b|+a=−a+b+a=b，
故答案为b．
首先根据数轴可以得到a、b的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．
本题主要考查了实数与数轴的对应关系、整式的加减法则及数形结合的方法，难度适中．
12.答案：√(n+2)+1
n =n+1
n
√n
解析：解：∵√3+1
1=√4
1
=2
1
√1；√4+1
2
=√9
2
=3
2
√2；√5+1
3
=√16
3
=4
3
√3，
∴第n(n为正整数)个等式是√(n+2)+1
n =√n2+2n+1
n
=√(n+1)2
n
=n+1
n
√n．
故答案为：√(n+2)+1
n =n+1
n
√n．
根据算术平方根和数字变化的规律，即可解答．
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是找到变化的规律．13.答案：15cm
解析：解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE=1
2AC，DF=1
2
BC，EF=1
2
AB，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=1
2(AC+BC+AB)=1
2
×(8+10+12)cm=
15cm．
答：以各边中点为顶点的三角形的周长是15cm，
故答案为：15cm．
由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．
本题考查了三角形中位线定理．解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．
14.答案：4
解析：
本题考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度．先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利用特殊角60°的三角函数值求解．
解：连接PC，AC，
∵PA=PC，
∴PM+PA=PM+PC，
连接MC，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，
∴这个P点就是要的P点，
又∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵M为AB的中点，
∴MC⊥AB，
∵MC=6，
∴BC=MC÷sin60°=6÷√3
=4，
2
∴AB=BC=4．
故答案为4．
15.答案：x=−2
解析：解：∵直线y=−x与y=ax+3a(a≠0)的交点的横坐标为−1.5，
∴关于x的不等式−x>ax+3a>0的解集为x<−1.5，
∵y=ax+3a=0时，x=−3，
∴ax+3a>0的解集是x>−3，
∴−x>ax+3a>0的解集是−3<x<−1.5，
所以不等式−x>ax+3a>0的整数解为x=−2，
故答案为x=−2．
满足不等式−x>ax+3a>0就是直线y=x位于直线y=ax+3a的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，关键是根据不等式−x>ax+
3a>0就是直线y=−x位于直线y=ax+3a的上方且位于x轴的上方的图象来分析．
16.答案：13
2
解析：解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边=√52+122=13，
则斜边中线长是13
，
2
．
故答案为：13
2
根据勾股定理求出斜边，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用和直角三角形的性质的运用，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
17.答案：√29
解析：解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，截取BO=CF=2，连接DF，作点A关于直线DF的对称点A′，连接A′B交直线DF于点D′，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCO+∠DCE=90°，又∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠DCE=∠OBC，
在△BCO和△CDE中，
{∠OBC=∠DCE
∠BOC=∠CED=90°BC=CD
，
∴△BCO≌△EDE(AAS)，
∴OC=DE，CE=BO=2，
∵OF=BO=2，
∴OF=CE，
∴EF=OC=DE，
又∵DE⊥EF，
∴∠DFE=45°，
∴点D在过点(2,0)，且与x轴所成的锐角为45°的直线上运动，∵点A关于直线DF的对称点A′，
∴A′B的长是AD+BD的最小值，
∵点A(−1,0)，
∴点A′(2,−3)，
又∵点B(0,2)，
∴A′B=√(2−0)2+(−3−2)2=√29，
故答案为：√29．
过点D作DE⊥x轴于E，截取BO=CF=2，连接DF，作点A关于直线DF的对称点A′，连接A′B交直线DF于点D′，由“AAS”可证△BCO≌△EDE，可得OC=DE，CE=BO=2，可求DE=EF，可得点D在过点(2,0)，且与x轴所成的锐角为45°的直线上运动，则可得A′B的长是AD+BD的最小值，由两点距离公式可求解．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形和确定点D的运动轨迹是本题的关键．
18.答案：(1)如图1，过点A作AC⊥BF于点C，依题意得∠ABC=90°−60°=30°，
∴AC=1
2AB=1
2
×300=150<200，
∴A市必然会受到这次沙尘暴的影响；
(2)如图2，以A为圆心，200为半径画弧(或作圆)，交BF于点D、E，
则AD=AE=200km.
∵AC⊥DE，
∴DC=CE，
在Rt△ADC中，
DC=√AD2−AC2=√2002−1502=50√7，
∴DE=2DC=100√7，
∴A市受沙尘暴影响的时间=√7
10√7
=10，
所以，A市受沙尘暴影响的时间约为10小时．
解析：(1)过点A作AC⊥BF于点C，则∠ABC=90°−60°=30°，根据含30°的直角三角形三边的关
系得到AC=1
2AB=1
2
×300=150，即A市到沙尘暴移动路线的最短距离为150km，而距沙尘暴中
心200km的范围内是受沙尘暴严重影响的区域，由此判断A市必然会受到这次沙尘暴的影响；
(2)以A为圆心，200为半径画弧(或作圆)，交BF于点D、E，即沙尘暴在DE段移动对A市都有影响；根据垂径定理得到DC=CE，在Rt△ADC中，AD=200km，AC=150km，利用勾股定理计算出DC=√AD2−AC2=√2002−1502，最后根据速度公式求出移动的时间即可．
19.答案：解：(1)原式=1
2+1+4−1=41
2
；
(2)去分母得：2x+4+x2+2x=x2，
解得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
解析：(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及乘方的意义计算即可求出值；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.答案：解：原式=√x−2
x−2÷1
√x2−2x
=√x−2
x−2
⋅√x2−2x
=
√x−2
x−2
⋅√x⋅√x−2=√x
取x=4时，原式=2．
解析：根据分式的约分方法和二次根式的除法法则进行化简，再进一步取x的值代入计算．注意：取x的值的时候，必须保证分式和二次根式有意义，即x>2．
21.答案：(1)40
(2)公益活动时间为8天的有40−(6+11+9)=14(天)，
补全图形如下：
(3)88.5
(4)参加公益活动时间总计达到6×7+14×8+11×9+9×10=343(天)．
解析：解：(1)该单位职工共有11÷27.5%=40名，
故答案为：40；
(3)参加公益活动时间的众数是8天，中位数是8+9
2
=8.5天，
故答案为：8、8.5；
(1)用9天的人数除以其所占百分比可得；
(2)总人数减去7、9、10天的人数求得8天的人数即可补全条形图；
(3)根据众数和中位数的定义求解可得；
(4)根据条形图可得．
本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．22.答案：解：(1)由题可求A(0,6)，B(−3,0)，
∴AO=6，BO=3，
∵AO=BC，
∴BC=6，
∴CO=BC−BO=3，
∴C(3,0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，将点C与A代入，可得
{0=3k+b
6=b，
∴{k=−2
b=6，
∴y=−2x+6；
(2)过点P作PM⊥x轴交于点M，
∵点P的横坐标为t，
∴P(t,−2t+6)，
∴PM=−2t+6，
∴S△PBC=1
2×BC⋅PM=1
2
×6×(−2t+6)=−6t+18，
S△ABC=1
2
×BC⋅AO=18，
∴S=S△ABC−S△PBC=6t；
(3)过点B作BF平分∠ABD，且BF=CE，连接AF ∵∠ABD=2∠ACE，
∴∠ABF=∠ACE ∵BO=CO，AO⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABF≌△ACE(SAS)，
∴AF=AE，∠BAF=∠CAE，
∵AE平分∠OAC，
∴∠OAE=∠CAE，
∵∠BAO=∠CAO，
∴∠BAF=∠FAO，
过点F作FG⊥AB于点G，FK⊥AD于点K，FH⊥
BD于点H，
∵AF平分∠BAD，
∴FG=FK，
∵BF平分∠ABD，
∴FG=FH，
∴FH=FK，
∴DF平分∠ADB，
∴∠BDF=∠ADF，
∵AF=AE，∠FAD=∠EAD，AD=AD，
∴△AFD≌△AED(SAS)，
∴∠ADF=∠ADE，
∴∠ADF=∠ADE=∠BDF=60°，
∴∠CDP=∠CDO=60°，
过点C作CN⊥BP于点N，
∵CO⊥AO，
∴CN=CO=3，
∵CA=CL，
∴△AOC≌△LNC(HL)，
∴NL=AO=6，
∵tan∠NDC=CN
DN
，
∴√3=3
DN
，
∴DN=√3，
∴DL=6+√3．
解析：(1)由题可求A(0,6)，B(−3,0)，C(3,0)，再由待定系数法求AC直线的解析式即可；
(2)过点P作PM⊥x轴交于点M，P(t,−2t+6)，可求S△PBC=1
2×BC⋅PM=1
2
×6×(−2t+6)=
−6t+18，S△ABC=1
2
×BC⋅AO=18，则有S=S△ABC−S△PBC=6t；
(3)过点B作BF平分∠ABD，且BF=CE，连接AF，证明△ABF≌△ACE(SAS)，过点F作FG⊥AB于点G，FK⊥AD于点K，FH⊥BD于点H，再证明△AFD≌△AED(SAS)，过点C作CN⊥BP于点N，
再证明△AOC≌△LNC(HL)，可得tan∠NDC=CN
DN ，√3=3
DN
，DN=√3，DL=6+√3．
本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造三角形解题是关键．。