2024年湖北省统一中考数学适应性模拟试卷(元调卷三)(含解析)

2024年湖北省统一中考数学适应性模拟试卷（元调卷三）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形的各条边均相等，其中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）；通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰.下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件
B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件
D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
3．解一元二次方程x2-6x-1=0，配方后正确的是（ ）
A．（x-3）2=8B．（x-6）2=37C．（x-3）2=10D．（x-6）2=35
4．已知一元二次方程x2-3x-15=0的两根分别为m，n，则mn-m-n的值是（ ）A．18B．-12C．-18D．12
5．如图，⊙O和直线l1，直线l2在同一平面内，AB是⊙O的直径，直线l2是⊙O的切线，直线l1经过点A，下列条件不能判定直线l1与⊙O相切的是（ ）
A．l1∥l2B．l1⊥AB
C．l1与⊙O只有一个公共点D．点O到l1上某点的距离等于半径
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（ ）
A．1+x+x2=73B．（1+x）2=73
C．x+x2=73D．1+（1+x）+（1+x）2=73
7．如图，在平面直角坐标系中，将点P（1，3）绕点A（2，0）顺时针旋转90°后得到点P1，再将点P1绕点A顺时针旋转90°后得到P2，再将点P2绕点A顺时针旋转90°后得到P3，依此类推，则P2023
的坐标是（ ）
A．（5，1）B．（3，-3）C．（-1，-1）D．（1，3）
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a>0）的图象上有四点A（-1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（-2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y2
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，∠ACB=60°，AB=5
3，BC=8，则△BDE的面积是（ ）
A．10B．85C．253
4
D．53
10．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（ ）
A．1
3B．1
2
C．3
3
D．2
3
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P（1，-3）关于原点对称的点的坐标是
12．一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则该直角三角形的斜边长为 . 13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠CAB=29°，则∠P的大小是 .
14．经过某三岔路口的汽车，可能向左转或向右转.如果这两种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个三岔路口时，至少有2辆车向左转的概率是 .
15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a<0）经过点（2，0），且2<c<3.下列四个结论：
①方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
②若对任意的实数m，都有bm-b≥am2-a，则―3
8<a<―1
4
.
③若抛物线经过点（-1，0），在抛物线上有且仅有2个点到x轴的距离等于n（n>0），则n>―9
4 a；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c>0，则（x1-x2）（y1-y2）>0.
其中正确的是 （填写序号）.
16．如图，在四边形ACBD中，BC=5，∠ACB+∠ADB=90°，连接AB，CD，若AB=AD，△ABC的
面积为15
2
，则CD的长为 .
三、解答题（17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分）
17．若关于x的一元二次方程x2+bx-6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点E在AB上，若∠ABC=32°，求∠ABD的大小.
19．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片.
（1）直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率；
（2）请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率，
20．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.
（1）求证：AD=BC；
（2）连接OM，BD，若BD是⊙O的直径，AB=2AD=8，求OM的长.
21．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过格点A，B，点C为⊙O与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）画出该圆的圆心O，并画弦AD，使AD平分∠BAC；
（2）先将弦AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，再在圆上画点E，使AC=BE.
22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段AB表示水平的路面，O为AB的中点，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：抛物线底面宽度AB=12米，该抛物线的顶点P到AB的距离为9米.
（1）求抛物线的解析式：
（2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯.已知照明灯M，N的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度：
（3）如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的LED电子显示屏CDEF，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求.
23．
（1）问题背景如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，D为BC边上的一动点，将线段AD
绕点A逆时针旋转a得到线段AE，连接CE.求证：BD=CE；
（2）尝试运用如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上的一动点，以AD为斜边在AD右侧构造Rt△AMD，∠AMD=90°，∠ADM=30°.连接CM，设BD=a，CD=b，求△CDM的
面积（用a，b表示）；
（3）拓展创新如图，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=30°，∠BAD=30°，AB=1，AD=23，直接写出△ABC的面积.
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且顶点坐标为（2，-4）.
（1）求抛物线的解析式
（2）如图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段AB绕抛物线顶点A逆时针旋转90°得到
线段AC，若AQ平分∠OAC交抛物线于点Q.求点Q的坐标；
（3）如图（2），过点H（1，0）作PH⊥x轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上两动点（点E在点
P左侧，点F在点P右侧），直线PE，PF分别交x轴于点M，N.若HM·HN=3，求证：直线EF过一
个定点.
答案解析部分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形的各条边均相等，其中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，对称中心是正方形对角线的交点，不符合题意；
C、是中心对称图形，对称中心是正六边形的中心，不符合题意；
D、是中心对称图形，对称中心是平行四边形对角线的交点，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可.
2．有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）；通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰.下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）都是随机事件
B．（1）（2）都是必然事件
C．（1）是必然事件，（2）是随机事件
D．（1）是随机事件，（2）是必然事件
【答案】D
【知识点】随机事件
【解析】【解答】解：事件（1）：一本书的页数可以是奇数页，也可以是偶数页.故随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件；
通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰.故事件（2）是必然事件；
故答案为：D.
【分析】根据随机事件和必然事件的定义即可判断.
3．解一元二次方程x2-6x-1=0，配方后正确的是（ ）
A．（x-3）2=8B．（x-6）2=37C．（x-3）2=10D．（x-6）2=35
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x-1=0，
配方得：x2-6x+32－32-1=0，
即（x-3）2－10=0，
（x-3）2=10
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式进行配方即可.
4．已知一元二次方程x2-3x-15=0的两根分别为m，n，则mn-m-n的值是（ ）A．18B．-12C．-18D．12【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：一元二次方程x2-3x-15=0的两根分别为m，n，
∴m+n=―b
a =3，mn=
c
a=―15，
∴mn－m－n = mn－(m+n)=－15－3=－18.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可求出m+n，mn的值，问题即可解决.
5．如图，⊙O和直线l1，直线l2在同一平面内，AB是⊙O的直径，直线l2是⊙O的切线，直线l1经过点A，下列条件不能判定直线l1与⊙O相切的是（ ）
A．l1∥l2B．l1⊥AB
C．l1与⊙O只有一个公共点D．点O到l1上某点的距离等于半径
【答案】D
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：A、∵直线l2是⊙O的切线，
∵l1//l2，
∴l1⊥AB，
又∵直线l1经过点A，
∴直线l1与⊙O相切.A不符合题意；
B、∵l1⊥AB，直线l1经过点A，
∴直线l1与⊙O相切.B不符合题意；
C、l1与⊙O只有一个公共点，直线l1与⊙O必定相切，C不符合题意；
D、点O到l1上某点的距离等于半经，直线l1经过点A，AO=半径，不能说明直线l1与⊙O相切.D 符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据切线的定义判断即可.
6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（ ）
A．1+x+x2=73B．（1+x）2=73
C．x+x2=73D．1+（1+x）+（1+x）2=73
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个支干长出x个小分支，那个主干也长出x个支干，所以一共有x2个小分支，根据题意可列方程：1+x+x2=73.
故答案为：A.
【分析】根据题意得到小分支的总个数，再根据和为73，即可列出方程.
7．如图，在平面直角坐标系中，将点P（1，3）绕点A（2，0）顺时针旋转90°后得到点P1，再将点P1绕点A顺时针旋转90°后得到P2，再将点P2绕点A顺时针旋转90°后得到P3，依此类推，则P2023的坐标是（ ）
A．（5，1）B．（3，-3）C．（-1，-1）D．（1，3）
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：如图：
P（1，3）绕点A（2，0）顺时针旋转90°后得到点P1，∴点的坐标为：P1（5，1）；
P1（5，1）绕点A（2，0）顺时针旋转90°后得到点P2，∴点的坐标为：P2（3，-3）；
P2（3，-3）绕点A（2，0）顺时针旋转90°后得到点P3，∴点的坐标为：P3（-1，-1）；
P3绕点A（2，0）顺时针旋转90°后得到点P4，观察发现P4回到P1的位置；
...
故规律为点P每旋转4次就会回到P(1，3).
2023÷4=505⋯3即经过505个循环后又旋转3次，故到点（-1，-1）的位置.
故答案为：C.
【分析】找到每次旋转后的点坐标，并找到规律：每4次为一个循环，用2023÷4，余3，说明最后一个循环后又旋转了3次，即可得到最后的点坐标.
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a为常数，且a>0）的图象上有四点A（-1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（-2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1<y2<y3B．y2<y1<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y2
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得，A，B两点纵坐标相等，故关于对称轴对称，
=1.
∴对称轴为x=―1+3
2
∵a>0，∴到对称轴距离越远的点，对应的函数值越大.
1－(－1)=2，2－1=1，1-（-2）=3，
∴点A和B到对称轴的距离是2，点C到对称轴的距离是1，点D到对称轴的距离是3，
故y2<y1<y3.
故答案为：B.
【分析】先根据A，B坐标求出对称轴，再求出各个点到对称轴的距离，根据距离判断每个点对应的y值大小即可.
9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，∠ACB=60°，AB=5 3，BC=8，则△BDE的面积是（ ）
A．10B．85C．253
D．53
4
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点E是△ABC的内心，
∴∠DAB=∠DAC，∠EBA=∠EBC.
∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，
∴∠DAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，
即∠DEB=∠DBE.
又∵∠ACB=∠ADB=60°，
∴△DBE 是等边三角形.
过O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
AH =BH =12AB =532
.∵AO=BO ，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OB=5.
连接OD 交BC 于点G.
∴OD=OB=5
∵∠DAB=∠DAC ，
∴BD=CD ，
∴OD 垂直平分BC ，
∴BG =CG =12
BC =4.∴OG=3，
∴DG=2.在直角三角形BDG 中，BD =BG 2+GD 2=25.∴S △BDE =12×BD ×32ED =34×(25)2=53.故答案为：D
【分析】根据三角形内角的性质可证得∠DBE=∠DEB ，利用∠ADB=∠ACB=60°，得△DBE 是等边三角形. 过O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，可得∠AOB=120°，于是可求得外接圆半径OB 的长度.连接OD 交BC 于点G ，根据∠DAB=∠DAC ，可证得OD ⊥BC ，根据垂径定理可求得OG 长，从而得到DG 长，在直角三角形BDG 中利用勾股定理可求出BD 长，从而可求△BDE 的面积.10．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（ ）
A ．13
B ．12
C ．33
D ．23
【答案】A 【知识点】几何概率；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图：
如图，点O 为正六边形的内心.连接AO ，BO ，过O 作OD ⊥AB 于点D.
正六边形每个内角的度数为(6―2)×180°6
=120°，又∵大正六边形由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成，
∴每个直角三角形的较小的锐角度数为120°－90°=30°.
∴设BC=a ，则AB =3a ，OD =32
a .∴S 大正六边形=6×12×32a ×3a =932
a 2S 小正六边形=S 大正六边形―6×S △=932a 2―6×12×a ×3a =332a 2.S 小S 大=13
故答案为：A.
【分析】计算得三角形ABC 为含30°角的直角三角形，设出一直角边长，从而可表示出大正六边形和小正六边形的面积，即可得到点取自小正六边形的概率.
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点P （1，-3）关于原点对称的点的坐标是　
【答案】(―1，3)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，-3）关于原点对称的点的坐标是(－1，3).
故答案为：(－1，3).
【分析】根据关于原点对称的点纵坐标和横坐标都互为相反数，即可得到答案.
12．一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则该直角三角形的斜边长为 .【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设该直角三角形的两直角边长分别是a和b，斜边长为c，
ab=24，
则a+b=14，1
2
∴c=a2+b2=(a+b)2―2ab=142―24×4=10
故答案为：10.
【分析】根据题意得a+b和ab的值，可利用完全平方公式计算c值，也可以先求出a和b的值，再计算c值.
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠CAB=29°，则∠P的大小是 .
【答案】58°
【知识点】三角形内角和定理；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OP，如图：
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，
∴PA=PB，PA⊥AC.
∴∠OAP=90°.
∵∠CAB=29°，
∴∠ABP=∠BAP=90°－29°=61°.
∴∠APB=180°－2×61°=58°.
故答案为：58°.
【分析】根据切线长定理得PA=PB ，再由切线得∠CAP=90°，于是可得∠BAP 度数，根据等腰三角形性质即可得∠P 的度数.
14．经过某三岔路口的汽车，可能向左转或向右转.如果这两种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个三岔路口时，至少有2辆车向左转的概率是　
　.
【答案】12
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：作树状图如下：
一共有8种等可能的情况，其中有两辆汽车左转的情况有3种，三辆汽车左转的情况有1种，故至少有2辆车向左转的概率是3+18=12
.故答案为：12
.【分析】根据题意表示出所有可能的结果数，以及满足条件的结果数，利用简单事件的概率计算公式计算即可.
15．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a<0）经过点（2，0），且2<c<3.下列四个结论：①方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
②若对任意的实数m ，都有bm-b≥am 2-a ，则―38<a <―14
.③若抛物线经过点（-1，0），在抛物线上有且仅有2个点到x 轴的距离等于n （n>0），则n >―94a ；
④点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上，且都在y 轴右侧，若4a+c>0，则（x 1-x 2）（y 1-y 2）>0.其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①②③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c 的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵a<0， 2<c<3，
∴∆=b 2―4ac >0，
∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根 ，结论①正确；
②∵y=ax 2+bx+c ，经过点（2，0），∴4a+2b+c=0.
若对任意的实数m ，都有bm-b≥am 2-a ，即－am 2+bm+a －b≥0总成立，
则∆=b 2―4×(―a )(a ―b )=b 2+4a 2―4ab =(b ―2a )2≤0，
∵(b ―2a )2≥0总成立，
∴b －2a=0，b=2a.
∴4a+2b+c=8a+c=0，c=－8a.
∵2<c<3，
∴2<－8a<3，
∴―38<a <―14
，结论②正确；③∵抛物线经过点（-1，0） 和 点（2，0）时，对称轴为x =12
，∴4a+2b+c=0，a-b+c=0，
解得：a+b=0，
∴b=－a ，
c=-a+b=－2a ，
当x =12时，抛物线有最大值y =14a +12
b +
c =―94a 当 n <―94
a 时，抛物线上有4个点到x 轴的距离等于n ；当 n =―94
a 时，抛物线上有3个点到x 轴的距离等于n ；当 n >―94
a 时，抛物线上有且仅有2个点到x 轴的距离等于n ；结论③正确；④∵4a+2b+c=0，∴4a+c=－2b>0，∴b<0，
故对称轴x =―b 2a
<0，∵a<0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小.
∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上，且都在y 轴右侧，
故x 1<x 2时，y 1>y 2，即（x 1-x 2）（y 1-y 2）<0，结论④错误；
故答案为：①②③.
【分析】①利用∆的正负判断即可.∆>0，就说明有两个不等的实数根；
②根据题意，得对任意m ，－am 2+bm+a －b≥0总成立，可判断∆≤0，可得b ―2a =0，根据函数图象过点（2，0），把b=2a 代入，可得c=－8a ，根据2<c<3，即可得到a 的取值范围；
③根据抛物线与x 轴的两个交点得到对称轴x =12
，以及b=－a ，可得此时的最大函数值―94a ，如此即可判断"在抛物线上有且仅有2个点到x 轴的距离等于n(n>0)"时，n 的取值范围；
④根据4a+2b+c=0以及4a+c>0，得对称轴x =―b 2a
<0，再根据a<0，知道对称轴右侧y 随x 的增大而减小，从而可判断（x 1-x 2）（y 1-y 2） 的正负.
16．如图，在四边形ACBD 中，BC=5，∠ACB+∠ADB=90°，连接AB ，CD ，若AB=AD ，△ABC 的面积为152，则CD 的长为 .
【答案】61
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
将线段AC 饶点A 顺时针旋转α，使α=∠DCB.连接CE ，BE.
所以有AE=AC ，∠EAC=∠BAD ，∠ACE=∠ADB ，
∴∠EAB=∠CAD.
又∵AB=AD ，
∴△EAB ≌△CAD(SAS).
∴BE=CD.
∵∠ACE=∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ACE=90°，
即△BCE是直角三角形.
过点A作AG⊥CB于点G，AF⊥EC于点F，∴四边形AFCG为矩形，
∴CF=AG.
∵BC=5，S△ABC=1
2×BC×AG=15
2
，
∴AG=3=CF.
∵AE=AC，AF⊥EC，
∴EF=CF=3.
∴BE=BC2+CE2=52+62=61.
即CD=61.
故答案为：61
【分析】将线段AC饶点A顺时针旋转α，使α=∠DCB.连接CE，BE.可得全等的△EAB和△CAD，
于是有EB=CD，∠EAB=90°.过点A作AG⊥CB于点G，AF⊥EC于点F，可得矩形AFCG，于是有CF=AG。

根据△ABC的面积可得AG长，根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=CF，利用勾股定理求得BE 长，即得CD长.
三、解答题（17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分）
17．若关于x的一元二次方程x2+bx-6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根.
【答案】解：设方程另一个根是x2，则
2+x2=―b，2x2=―6，
∴x2=―3，b=1，
即b的值为1，方程的另一个根为-3.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系，代入两根，建立方程，求解即可.
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点E在AB上，若∠ABC=32°，求∠ABD的大小.
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=32°，∴∠BAC=58°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴△ABC≅△ADE，
∴AB=AD，∠DAB=∠BAC=58°
∴∠ABD=∠ADB=180°―58°
2=61°.
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据直角三角形的性质得∠BAC=58°，根据旋转得△ABC≅△ADE，于是AB=AD，利用等腰三角形性质可求∠ABD的度数.
19．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片.
（1）直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率；
（2）请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率，
【答案】（1）14
（2）解：依题意列表如下：
1236
1（1，1）（2，1）（3，1）（6，1）
2（1，2）（2，2）（3，2）（6，2）
3（1，3）（2，3）（3，3）（6，3）
6（1，6）（2，6）（3，6）（6，6）
由上表可知，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，共有16种等可能的结果，其中“第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍”的结果有9种，
∴P（第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍)=9
16
.
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）抽取的两张卡片上的数字情况如下：
共有16种等可能的结果，其中两张卡片上的数字相同的结果有4种，故概率为4
16=1 4
.
【分析】（1）列树状图表示出所有可能的结果，从中选出“两张卡片上的数字相同”的结果，即可得到概率；
（2）列表格表示出所有可能的结果，从中选出“第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍”的结果，即可得到概率.
20．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.
（1）求证：AD=BC；
（2）连接OM，BD，若BD是⊙O的直径，AB=2AD=8，求OM的长.
【答案】（1）证明：∵AB=CD，
∴
⌢
AB=
⌢
CD
∴AB―AC=CD―AC，
即AD=BC；
∴AD=BC.
（2）解：如图，BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°.∵AB=2AD=8，
∴AD=4，BD=45，
∴OD=OB=25，设AM=x，则BM=8―x.
∵
⌢
AD=
⌢
BC.
.∴∠ABD=∠BDC
.
∴DM=BM=8―x.
在Rt△ADM中，由勾股定理得42+x2=(8―x)2，
解得x=3，∴DM=5，
∵DM=BM，
∴OM⊥BD.
∴在Rt△ODM中由勾股定理得OM=5.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据同圆或等圆中，弦，弧，圆心角的关系进行证明即可；
（2）根据圆周角定理得∠BAD=90°，结合AB=2AD=8可得AD，BD，OD的长.设AM=x，根据（1）的结论可得DM=BM=8－x，在Rt△ADM中利用勾股定理求x的值.于是得DM长.有等腰三角形的性质得MO⊥BD，再在△ODM中利用勾股定理即可得OM长.
21．如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点.⊙O经过格点A，B，点C为⊙O与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）画出该圆的圆心O，并画弦AD，使AD平分∠BAC；
（2）先将弦AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，再在圆上画点E，使AC=BE.
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
【知识点】垂径定理；圆周角定理；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）连接AB，AB=8，取中点M也在格点上，故通过垂直AB的格线可得直径；找到过点A且与直径平行的格线与圆的交点A'，则A'，B关于圆心对称.A'B也是直径，两个直径的交
点即为圆心O.
连接BC于格线交于点N，则射线ON⊥BC，交圆于点D，于是AD平分∠BAC；
（2）连接CO并延长交圆于点Q，连接AQ，可在AQ上找到点F，使AF=AC.根据对称性可得点E. 22．现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段AB表示水平的路面，O为AB的中点，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：抛物线底面宽度AB=12米，该抛物线的顶点P到AB的距离为9米.
（1）求抛物线的解析式：
（2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点M，N处分别安装照明灯.已知照明灯M，N的水平距离为10米，求照明灯距地面的高度：
（3）如图，现需在隧道上方安装一块高度为1米、宽度为3米的LED电子显示屏CDEF，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少6米，并且距左右墙需各留至少1米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求.
【答案】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为y=a x2+k（a≠0），
点A(―6，0)，P(0，9)，代入得
y=―1
4x
2+9.
（2）解：依题意，点N的横坐标为5，令x=5，解得y=―25
4+9=11
4
.
M和N的纵坐标相同，都是11
4
米，
所以两个照明灯距地面的高度为11
4
米.
（3）解：依题意，电子显示屏安装高度越低，屏的宽度可以越大，
∵电子显示屏距地面至少6米，高度CF=DE=1米，令y=6+1=7，解得x=±22，
此处两侧墙壁相距2×22=42米
∵电子显示屏距左右墙壁需留至少各1米的安全距离，
∴电子显示屏的宽度最大为2×22―2×1=42―2>3，
∴能满足安装设计要求.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意得到点A和P的坐标，设函数表达式为y=a x2+k（a≠0），再用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，M和N的纵坐标相等，横坐标互为相反数，有MN=10设N的横坐标为x=5，代入函数表达式，求出y值，即为到地面的距离.
（3）根据题意知道，电子显示屏安装高度越低，屏的宽度可以越大.设安装高度为最低的6米，得到屏上边框点D到地面距离，令y=7，求出此时两侧墙壁间的距离，该距离减2再与3比较，即可得到结论.
23．
（1）问题背景如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，D为BC边上的一动点，将线段AD 绕点A逆时针旋转a得到线段AE，连接CE.求证：BD=CE；
（2）尝试运用如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上的一动点，以AD 为斜边在AD右侧构造Rt△AMD，∠AMD=90°，∠ADM=30°.连接CM，设BD=a，CD=b，求△CDM 的面积（用a，b表示）；
（3）拓展创新如图，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=30°，∠BAD=30°，AB=1，AD=2 3，直接写出△ABC的面积.
【答案】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针施转α得到线段AE，
∴AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，
又AB=AC，
∴△BAD≅△CAE(SAS).
∴BD=CE.
（2）解：如图（1），延长DM到点E，使ME=DM，连接AE，CE，过点E作EH⊥BC于点H，
∵Rt△AMD中，∠AMD=90°，∠ADM=30°，
∴△ADM≌△AEM(SAS)，
∴∠DAM=∠EAM=60°.
∴△DAE是顶角为120°的等腰三角形.
由（1）可得△BAD≅△CAE.
∴CE=BD=a，∠ACE=∠ABD=30°，∠DCE=∠ACD+∠ACE=60°，∴∠CEH=30°，
∴CH=a
2，EH=
3a
2
，
∴S△DCE=1
2⋅CD⋅EH=1
2
⋅3a
2
⋅b=3ab
4
，
又∵DM=EM，
∴S△CDM=1
2S△DCE =3ab
8
，
即△CDM的面积为3
8
ab.
（3）53
8
.
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）如图，构造顶角为120°的等腰△ADE和等腰△BDF，过B作BH⊥AF于点H.
则△BDE≅△FDA，
∴AF=BE，∠FAD=∠BED=∠DAE=30°，
∴AF=BE=AE―AB=3AD―AB=3×23―1=5，∠FAB=60°，
∵AB=1，
∴BH=3 2.
∴S△FAB=1
2×
3
2×5=
53
4，S△ABC=
1
2S△FAR=
53
8.
【分析】（1）根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，从而可利用SAS证明△BAD≅△CAE，可得DB=CE.
（2）延长DM到点E，使ME=DM，连接AE，CE，可得全等三角形△ADM和△AEM，于是能得到顶角为120°的等腰三角形，根据（1）的结论可得BD=CE，∠ACE=∠ABD，故∠DCE=60°.过点E作EH ⊥BC于点H，设CE=a，可求CH，EH的长，从而得到△DCE的面积，再有DM=EM，即可得△DCM 的面积.
（3）根据题意构造顶角为120°的等腰△ADE和等腰△BDF，可证△BDE≅△FDA，得到AF=BE，根据等腰三角形的性质可求AF的长度，过B作BH⊥AF于点H，可求BH的长，从而可得△ABF和△ABC 的面积.
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且顶点坐标为（2，-4）.
（1）求抛物线的解析式
（2）如图（1），B是抛物线与x轴的另一交点，将线段AB绕抛物线顶点A逆时针旋转90°得到线段AC，若AQ平分∠OAC交抛物线于点Q.求点Q的坐标；
（3）如图（2），过点H（1，0）作PH⊥x轴交抛物线于点P，E，F为抛物线上两动点（点E在点P左侧，点F在点P右侧），直线PE，PF分别交x轴于点M，N.若HM·HN=3，求证：直线EF过一个定点.
【答案】（1）解：∵抛物线y=a x2+bx+c的顶点坐标为(2，―4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x―2)2―4，又抛物线y=a x2+bx+c经过原点
∴0=a(0―2)2―4，解得a=1.
∴抛物线的解析式为y=(x―2)2―4，
即y=x2―4x；
（2）解：∵点B是抛物线与x轴的另一交点，令y=x2―4x=0，
得x=0或4，
∴点B（4，0），
又∵A(2，―4)，将线段AB绕抛物线顶点A逆时针旋转90°得到线段AC如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥AD于点E，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
又∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE.
∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，
∴△AEC≅△BDA(AAS)，
∴BD=AE=2，CE=AD=4.
∴C(―2，―2).
连接OC交AQ于点M，
∵OA=AB=AC，AQ平分∠OAC，
∴点M为OC的中点，
∴M(―1，―1).
又∵A(2，―4)，
∴可得直线AQ的解析式为y=―x―2，联立{y=―x―2
y=x2―4x，
解得{x=2
y=―4或{x=1 y=―3，
∴点Q的坐标为(1，―3).
（3）证明：
函数表达式为y=x2―4x，
当x=1时，y=－3，故P（1，－3）.
设直线PE：y=k1(x―1)―3，∴M(1+3k
1
，0)，
设直线PF：y=k2(x―1)―3，∴N(1+3k
2
，0)，∵H(1，0)，
∴HM=―3k
1，HN=
3
k2，
∵HM⋅HN=―3k
1⋅3k
2
=3，
∴k1k2=―3，
由{y=k1(x―1)―3
y=x2―4x得x2―(4+k1)x+k1+3=0，
∴x E⋅x p=k1+3，
∵P的坐标为(1，―3)，即x p=1，
∴x E=k1+3，
同理可得x F=k2+3，
设直线EF的表达式为：y=kx+m，
由{y=kx+m
y=x2―4x，得x2―(4+k)x―m=0，
∴x E+x F=4+k，x E⋅x F=―m，
∴k1+3+k2+3=4+k，(k1+3)(k2+3)=―m，
即k1+k2=k―2，k1k2+3(k1+k2)+9=―m，又k1k2=―3，
∴―3+3(k―2)+9=―m，即3k+m=0，
即直线EF：y=kx+m经过定点(3，0).
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，可设解析式为顶点式，再代入点（0，0），即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意AB绕抛物线顶点A逆时针旋转90°得到线段AC，构造全等的△BDA和△AEC，从而有BD=AE，AD=CE，可得点C坐标，由M为OC中点，可得M点坐标，于是可得直线AM的表达式，联立{y=―x―2
y=x2―4x，即可求得点Q坐标.
（3）先求出点P的坐标，再利用P点坐标表示出PE和PF的函数表达式，PE：y=k1(x―1)―3，PF ：y=k2(x―1)―3，求出M和N的坐标. 根据HM·HN=3得到k1·k2=-3.分别联立PE，PF和二次函
数函数表达式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系得表示出x E和x F.再设直线EF的。