高中数学总复习教案12G：离散型随机变量的均值、方差及正态分布

弘宇教育个性化辅导授课
教师：学生时间：2014月日段第次课
高中数学总复习--§12.7 离散型随机变量的均值、方差及正态分布
课题
考点分析
重点难点
授课内容：§12.7 离散型随机变量的均值、方差及正态分布
新课标要求
了解离散型随机变量的均值、方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值、方差或标准差。

理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望；了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

重点难点聚焦
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念；正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望；通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线
的性质。

高考分析及预策
分析近几年的高考题不难发现，几乎每一个考察概率与统计的综合题目都涉及到期望与方差，这个知识点是高考的热点之一，单独命题是以选择、填空形式，综合命题应予以重视。

复习时应注意：
1.求离散型随机变量的期望与方差的步骤
2.正确理解正态分布的公式。

再现型题组
1．若离散型随机变量ξ的分布列为
ξx1x2…x i…x n
…p n
P p1p2…p
i
则称Eξ＝为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的。

把叫做随机变量方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的，记作。

随机变量的
方差与标准差都反映了随机变量取值的 。

其中标准差与随机变量本身有 。

2．若η＝a ξ+b (a,b 为常数)，则E η＝E(a ξ+b )=______________；D η＝D(a ξ+b )=____________；若ξ服从两点分布，则E ξ＝ ，D ξ= ，若X 服从二项分布，即~(,)B n p ξ，则E ξ＝ ，D ξ= 。

3．函数,()______________x μσϕ=的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。

4．对于任何实数a b <，随机变量X 满足()____________,P a X b <≤≈则称X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数 确定。

因此正态分布常记作 ，如果X 服从正态分布，则记为 。

5．正态分布的特点：（1）曲线在 ；（2）曲线关于直线 对称； （3）曲线在x μ=时 ；（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线 ，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线 ，表示总体的分布越 。

巩固型题组
6.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ.
ξ －1
0 1 P
2
1 1－2q
q 2
7. （2008海南、宁夏理）A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2。

根据市场分析，X 1和X 2的分布列
分别为
X 1 5% 10% X 2 2% 8% 12%
P
0.8
0.2
P
0.2
0.5
0.3
（1）在A 、B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1、DY 2；
（2）将x （0≤x ≤100）万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f(x)表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和。

求f(x)的最小值，并指出x 为何值时，f(x)取到最小值。

（注：D(aX + b) = a 2DX ）
提高型题组
8.有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：
ξA 110 120 125 130 135 ξB 100 115 125 130 145 P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
P
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好
【变式与拓展】A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A 机床
B 机床 次品数
ξ1 0
1
2
3
次品数
ξ1 0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
概率P
0.8
0.06
0.04
0.10
问哪一台机床加工质量较好
9．设2~(1,2)N ξ，试求： （1）(13)P ξ-<≤； （2）(35)P ξ<≤；
（3）(5).P ξ≥
［变式训练］（2008安徽理）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2
222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。

则有（ ）
A ． 1212,μμσσ<<
B ．1212,μμσσ<>
C ．1212,μμσσ><
D ．1212,μμσσ>>
反馈型题组
10. （2006年辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
16、12、1
3
;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元,
ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资
十万元一年后的利润.
(I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; (II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围.
11.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π
21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间
的概率
第12章 离散型随机变量的均值、方差及正态分布45分钟单元综合检测题
一、填空题
1. 下面说法中正确的是（ ）
A .离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的概率的平均值。

B .离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的平均水平。

C .离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取值的平均水平。

D .离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取值的概率的平均值。

2.设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是( )
A .Eξ=0.001
B .Dξ=0.099
C .P （ξ=k ）=0.01k ·0.9910
－k
D .P （ξ=k ）=C k
10·0.99k ·0.0110－
k
3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为
（ ）
A .2.44
B .3.376
C .2.376
D .2.4
4．(2007宁夏理)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
123s s s ，，分别
表示甲、乙、丙三名
运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） Ａ．312s s s >>
Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>
Ｄ．231s s s >>
5．设随机变量X 的分布列为
X 1 2 3
P 0.5 x y
甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数
5
5
5
5
乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6
丙的成绩
环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4
若EX ＝
15
8，则DX ＝（ ） A ．3364 B ．5564 C ．732 D ．932
6. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A .9.4, 0.484
B ．9.4, 0.016
C ．9.5, 0.04
D ．9.5, 0.016 二、填空题
7．袋中有4个红球，3个黑球，今从袋中随机取出4个球.设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，则得分ξ的取值为_____________,ξ数学期望等于__________.
8. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_____.
9．（2006年四川卷）设离散性随机变量ξ可能取的值为()()1,2,3,4,1,2,3,4P k ak b k ξ==+=，又ξ的数学期望
3E ξ=，则a b +=_______;
10. 一批电阻的阻值X 服从正态分布N （1000,52）（Ω）。

今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别
为1011Ω和982Ω，可以认为_______（填写正确的序号）
（1）甲、乙两箱电阻均可出厂； （2）甲、乙两箱电阻均不可出厂；
（3）甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂； （4）甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂。

三、解答题
11. 某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额，求： （1）ξ的分布列； （2）ξ的数学期望。

12.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损 失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万 元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两 种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）
参考答案
再现型题组
⒈ 【提示】1122n n x P x P x P ++
+,平均水平,21
()n
i i i D x E P ξξ==-∑,标准差,σξ,偏离于均值的平均程度,相同单位
⒉ 【提示】AE ξ+b ，a 2
D ξ，P ，P （1－P ），nP ，nP(1－P)
3. 【提示】22
()21,2x e
x R μσπσ
--∈
4. 【提示】
,()b
a
x dx μσϕ⎰
，μ和σ，2(,)N μσ，2~(,)X N μσ
5. 【提示】位于x 轴上方，与x 轴不相交，x μ=，达到峰值1
2πσ
，1，越“矮胖”，分散 巩固型题组
6．解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1， 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+,1,1210,121212
2
q p q q 解得q =1－22.
于是，ξ的分布列为
ξ
－1
0 1
P
21 2－1
2
3
－2 所以E ξ=（－1）×
21+0×（2－1）+1×（2
3
－2）=1－2， D ξ=［－1－（1－2）］2×21+（1－2）2×（2－1）+［1－（1－2）］2
×（23－2）
=2－1.
7. 解：（Ⅰ）由题设可知1Y 和2Y 的分布列分别为
Y 1 5 10 P
0.8
0.2
150.8100.26EY =⨯+⨯=，
221(56)0.8(106)0.24DY =-⨯+-⨯=，
220.280.5120.38EY =⨯+⨯+⨯=，
2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY =-⨯+-⨯+-⨯=．
（Ⅱ）12100()100100x x f x D Y D Y -⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2
2
12100100100x x DY DY -⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Y 2 2 8 12 P
0.2
0.5
0.3
22
243(100)100x x ⎡⎤=
+-⎣⎦ 2224(46003100)100
x x =-+⨯， 当600
7524x =
=⨯时，()3f x =为最小值． 提高型题组
8. 分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性 解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为
E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.
所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为
D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2
×0.2=50，
D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2
×0.2=165.
所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好 【变式与拓展】
解：E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差
D ξ1=（0-0.44）2
×0.7+（1-0.44）2
×0.2+（2-0.44）
2
×0.06+（3-0.44）2
×0.04=0.6064,
D ξ2=（0-0.44）2
×0.8+（1-0.44）2
×0.06+（2-0.44）2
×0.04+（3-0.44）2
×0.10=0.9264.
9. 解：
2~(1,2)N ξ，1,2μσ∴==；
（1）(13)(1212)()0.6826.P P P ξξμσξμσ-<≤=-<≤+=-<≤+= （2）(35)(31)P P ξξ<≤=-<≤-
11
(35)[(35)(13)][(1414)(1212)]
22
P P P P P ξξξξξ∴<≤=-<≤--<≤=-<≤+--<≤+1
[(22)()]2P x P x μσμσμσμσ=-<≤+--<≤+ 1
(0.95440.6826)
2
0.1359.
=-= （3）(5)(3).P P ξξ≥=≤-
11
(5)[1(35)][1(1414)]22
P P P ξξξ∴≥=--<≤=--<≤+
1
[1(22)]21
(10.9544)
2
0.0228.
P x μσμσ=--<≤+=-= 【点评】求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给给出的数据进行转
化求值。

【变式与拓展】A 课堂小结
求离散型随机变量的均值、方差都有公式可循，正态分布需注意不同区间的概率。

反馈型题组
10. 解:(I)解法一: 1ξ的概率分布为
1ξ
1.2 1.18 1.17
P
16 12 13
E 1ξ=1.216⨯
+1.1812⨯+1.171
3
⨯=1.18. 由题设得~(2,)B p ξ,则ξ的概率分布为
ξ
0 1 2
P
2(1)p - 2(1)p p - 2p
故2ξ的概率分布为
ξ
1.3
1.25
0.2
P
2(1)p - 2(1)p p - 2p
所以2ξ的数学期望为
E 2ξ=21.3(1)p ⨯-+1.252(1)p p ⨯-+20.2p ⨯=2
0.1 1.3p p --+.
解法二: 1ξ的概率分布为
1ξ
1.2 1.18 1.17
P
16 12 13
E 1ξ=1.216⨯
+1.1812⨯+1.171
3
⨯=1.18. 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下降”(i=1,2),则
P(ξ=0)= 2
12()()(1)P A P A p =-;
P(ξ=1)=1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-; P(ξ=2)=2
12()()P A P A p = 故2ξ的概率分布为
ξ
1.3 1.25 0.2
P
2(1)p - 2(1)p p - 2p
所以2ξ的数学期望为
E 2ξ=21.3(1)p ⨯-+1.252(1)p p ⨯-+20.2p ⨯=2
0.1 1.3p p --+.
(II) 由12E E ξξ<,得:
20.1 1.3 1.18(0.4)(0.3)00.40.3p p p p p --+>⇒+-<⇒-<<
因0<p<1,所以12E E ξξ<时,p 的取值范围是0<p<0.3. 11. 解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
x f x σμσ
π，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大
值为)(μf ＝
σ
π21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布
( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-
45分钟单元综合检测题答案
1-6.CBCBBD 7. 8，7，6，5 ；
3512
8. A 3 9. 1,010a b ==,∴ a b +=110
10. （3）
11.解: (1) ζ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.
3229729
(0)();
101000
19918243
(10)();
101010101000
P P ξξ=====⨯+⨯=
22311818(20);10101000919
(50);1010100011
(60);
101000P P P ξξξ==
⨯===⨯====
7292431891
(2)010205060 3.310001000100010001000
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=(元) 12. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为
1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.
综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.
课后作业：
学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生寄语：
我今天学到
学生签字：________
教师评定：
1、学生上次作业评价：○特别满意○满意○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○特别满意○满意○一般○差
教师寄语：
教师签字：________ 教务处审核
：
教导主任签字：________ 教务主管签字：__________
弘宇教育教务处制。