高等代数第四版习题答案

高等代数第四版习题答案【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】
xt>一、判断题
1. 对于任意n阶矩阵a，b，有a?b?a?b.
错.
2. 如果a2?0,则a?0.
错.如a11?2?,a?0,但a?0.
1?1?
23. 如果a?a?e，则a为可逆矩阵.
正确.a?a2?e?a(e?a)?e，因此a可逆，且a?1?a?e.
4. 设a,b都是n阶非零矩阵，且ab?0，则a,b的秩一个等于n，一个小于n. 错.由ab?0可得r(a)?r(b)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.
5．a,b,c为n阶方阵，若ab?ac, 则b?c.
错.如a11??21??32?,b?,c，有ab?ac,但b?c.
1?1?2?1?3?2?
6．a为m?n矩阵，若r(a)?s,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵q，使?ispaq0?0??. 0??
正确.右边为矩阵a的等价标准形，矩阵a等价于其标准形.
7．n阶矩阵a可逆，则a*也可逆.
*?a*a?|a|e正确.由a可逆可得|a|?0，又aa.因此a*也可逆，且
(a*)?1?
1a. |a|
8．设a,b为n阶可逆矩阵，则(ab)*?b*a*.
正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e.又
(ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.
因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*).由a,b为n阶可逆矩阵可得ab可逆，两边同时左乘式ab的逆可得(ab)*?b*a*.
二、选择题
1．设a是n阶对称矩阵，b是n阶反对称矩阵(bt??b),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（b ）.
(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab
(a)(d)为对称矩阵，（b）为反对称矩阵，（c）当a,b可交换时为对称矩阵.
2. 设a是任意一个n阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵.
(a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a
3．以下结论不正确的是（ c ）.
(a) 如果a是上三角矩阵，则a也是上三角矩阵；
(b) 如果a是对称矩阵，则 a也是对称矩阵；
(c) 如果a是反对称矩阵，则a也是反对称矩阵；
(d) 如果a是对角阵，则a也是对角阵.
4．a是m?k矩阵, b是k?t矩阵, 若b的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（b ）
(a) ab的第j行元素全等于零；(b)ab的第j列元素全等于零；
(c) ba的第j行元素全等于零； (d) ba的第j列元素全等于零；2222tt2t
5．设a,b为n阶方阵，e为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（d ）
(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)
(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)
6．下列命题正确的是（b ）.
(a) 若ab?ac，则b?c
(b) 若ab?ac，且a?0，则b?c
(c) 若ab?ac，且a?0，则b?c
(d) 若ab?ac，且b?0,c?0，则b?c
7. a是m?n矩阵，b是n?m矩阵，则（ b）.
(a) 当m?n时，必有行列式ab?0；
(b) 当m?n时，必有行列式ab?0
(c) 当n?m时，必有行列式ab?0；
(d) 当n?m时，必有行列式ab?0.
ab为m阶方阵，当m?n时，r(a)?n,r(b)?n,因此r(ab)?n?m，所以ab?0.
8
．以下结论正确的是（ c）
(a) 如果矩阵a的行列式a?0,则a?0；
(b) 如果矩阵a满足a?0，则a?0；
(c) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；
(d) 对任意方阵a,b，有(a?b)(a?b)?a?b
9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，a?(?1,?2,?3,?4),a*为a
的伴随矩阵，222已知ax?0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组
a*x?0的基础解系为（ c ）.
（a）?1,?2,?3.（b）?1??2,?2??3,?3??1.
（c）?2,?3,?4.（d）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.
10t由ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得
(?1,?2,?3,?4)0,?1?2?3?0. ?2?0?
因此（a），（b）中向量组均为线性相关的，而（d）显然为线性
相关的，因此答案为（c）.由
a*a?a*(?1,?2,?3,?4)?(a*?1,a*?2,a*?3,a*?4)?o
可得?1,?2,?3,?4均为a*x?0的解.
10.设a是n阶矩阵，a适合下列条件（ c ）时，in?a必是可逆矩
阵
nn(a) a?a (b) a是可逆矩阵 (c) a?0
(b) a主对角线上的元素全为零
11．n阶矩阵a是可逆矩阵的充分必要条件是（ d）
(a) a?1 (b) a?0 (c) a?a (d)a?0
12．a,b,c均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ a）
(a) 若a是可逆矩阵，则从ab?ac可推出ba?ca
(b) 若a是可逆矩阵，则必有ab?ba
(c) 若a?0，则从ab?ac可推出b?c
(d) 若b?c，则必有ab?ac
13．a,b,c均是n阶矩阵，e为n阶单位矩阵，若abc?e，则有（c ） (a) acb?e （b）bac?e（c）bca?e (d) cba?e
14．a是n阶方阵，a是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ d ）
(a) 若a是可逆矩阵，则a也是可逆矩阵；
(b) 若a是不可逆矩阵，则a也是不可逆矩阵；
***t
**(c) 若a?0，则a是可逆矩阵；（Ｄ）aa?a.
aa*?ae?a.
*15．设a是5阶方阵，且a?0，则a?（Ｄ）
234n(a) a (b) a (c) a(d) a
16．设a是a?(aij)n?n的伴随阵，则aa中位于(i,j)的元素为（Ｂ） (a) **?a
k?1njkaki (b) ?ak?1nkjaki (c) ?ajkaik (d) ?akiakj k?1k?1nn
应为a的第i列元素的代数余子式与a的第j列元素对应乘积和.
a11a1na11a1n17.设a, b,其中aij是aij的代数余子式，则（c ） an1?ann???an1?ann??
(a) a是b的伴随 (b)b是a的伴随(c)b是a?的伴随
(d)以上结论都不对
18．设a,b为方阵，分块对角阵ca0?*,则c? ( Ｃ ) ??0b?
0? *?bb?
0?? abb*??a*(a) c0?aa*0?(b)c??*?b??0?ba*(c)
c0?aba*0?? (d) c??ab*??0
利用cc*?|c|e验证.
19．已知a46??135?，下列运算可行的是
（ c ） ,b1?2??246?
(a) a?b (b)a?b (c)ab(d)ab?ba
【篇二：高等代数第4章习题解】
题4.1
1、计算（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?
1
(1,0,1,5) 2
（2）5(0,1,2)?(1,
1
,0)?(1,1,1) 2
15517(1,0,1,5)?(,?3,?,?) 2222
解：（1）(2,0,3,1)?3(0,1,2,4)?
（2）5(0,1,2)?(1,
19
,0)?(1,1,1)?(0,,9) 22
2、验证向量加法满足交换律、结合律。

证明：设??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn),??(c1,c2,?,cn), 则
(a1,a2?,,a)?b(,2?,nb,?)a?1ba??b,a?,n b)n1b1(2,2n
(b1a1,b2a2,,bnan)(b1,b2,,bn)(a1,a2,,an)
(??
)(a(1a,2,a)b,,nb,))cc(,n c,n,1(b212
((a1b1,a2b2,,anbn))(c1,c2,,cn) (a1b1c1,a2b2c2, ,anbncn) (a1(b1c1),a2(b2c2),,an(bncn)) (a1,a2,, an)?((b1?c1,b2?c2,?,bn?cn)) ?(a1,a2,?,an)?((b1,b2,?,bn)?(c1,c 2,?,cn))
()
,)
3、证明性质4.1.5。

性质4.1.5的内容是：对任意n维向量?,?及数k，有
(?k)??k(??)??k?，k()?k??k?
证明：设??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn)
那么
(?k)??(?k)(a1,a2,?,an)?((?k)a1,(?k)a2,?,(?k)an)
(ka1,ka2,,kan)(k(a1),k(a2),,k(an)) k((a1),(a2),,( an))k((a1,a2,,an))k()
其次k(??)?k(?(a1,a2,?,an))??k(a1,a2,?,an)??k? 最后：
k()?k((a1,a2,?,an)?(b1,b2,?,bn))
k(a1b1,a2b2,,anbn)(ka1kb1,ka2kb2,,kankbn)(ka1, ka2,?,kan)?(kb1,kb2,?,kbn)?k(a1,a2,?,an)?k(b1,b2,?,bn)?k??k?
4、设?1?(1,0,1),?2?(0,1,0),一的一组数a1,a2,a3使
3(0,0,1)，求证：对任意的??f3，在f中都有唯
a1?1?a2?2?a3?3
解：设?的坐标为(a1,a2,a3)，那么
(a1,a2,a3)?(a1?0,0?a2,0?a3)?(a1,0,0)?(0,a2,a3)
(a1,0,0)(00,a20,0a3)(a1,0,0)(0,a2,0)(0,0,a3) a1(1,0,0)
a2(0,1,0)a3(0,0,1)a11a22a33
由于给定向量的坐标是唯一的，所以上面等式中的数a1,a2,a3是唯
一的。

n
5、设??f,k,l?f，证明(k?l)??k??l?。

证明：设??(a1,a2,?,an)，那么
(k?l)??k??l??(k?l)(a1,a2,?,an)?((k?l)a1,(k?l)a2,?,(k?l)an) ?((k?l)
a1,(k?l)a2,?,(k?l)an)?(ka1?la1,ka2?la2,?,kan?lan)
(ka1,ka2,,kan)(la1,la2,,lan)k(a1,a2,,an)l(a1,a2,,an)k
l
3
n
6、设??f，称方程x有解，如果存在??f，使，证明对
任
意?,??fn，方程x有唯一解当且仅当关于加法算律中的3）、4）成立。

证明：(?)如果方程x有唯一解，则取，那么满足方程
x的唯一解是零向量，即加法算律3）成立；取??0，那么满足
方程x0的唯一解是?的负向量，即加法算律4）成立。

、4）成立，那么向量?的负向量唯一存在：??，于是方程(?)如果加法算律3）
x的唯一解为。

7、设?,?,??fn，证明：（1）如果，则；（2）如
果，则。

证明设??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn),??(c1,c2,?,cn), （1）则
由，
即(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)?(a1?c1,a2?c2,?,an?cn), 那么
ai?bi?ai?ci,i?1,2,?,n?bi?ci,i?1,2,?,n （2）由
即(a1?b1,a2?b2?,a,n?bn?)c(c1,?2,cn,
),
那么：ai?bi?ci,i?1,2,?,n?ai?ci?bi,i?1,2,?,n
习题4.2
1、判断以下命题是否正确：
（1）如果?1,?2,?,?m线性相关，则它们中的任何一个向量都可以
由其余的向量线性表出；
（2）由于0?1?0?20?m?0，所以?1,?2,?,?m线性无关；（3）如果?1,?2,?,?m线性无关，则它的任何部分组也线性无关；（4）
如果?1,?2,?,?m线性相关，则它的任何部分组也线性相关。

解：（1）这个命题不正确，例如向量
组?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(2,0,0)线性相
关，但向量?2却不能由?1,?3线性表出。

（2）这个命题也不正确，因为当?1,?2,?,?m线性相关时，照样有
0?1?0?20?m?0；
（3）这个命题正确，因为：若它的某个部分组线性相关，不妨
设?1,?2,?,?s(s?m)线性相关，则有不全为零的数k1,k2,?,ks使
k1?1?k2?2ks?s?0，
从而k1?1?k2?2ks?s?0?s?10?m?0 即?1,?2,?,?m线性
相关，这与前提矛盾。

（4）这个命题不正确。

事实上：取??(1,0,0),??(0,1,0),??(1,1,0)，
显然?,?,?线性相关，但?,?却线性无关。

2、设向量组?1,?2,?3线性无关，证明：?1??2,?2??3,?3??1也线性无关。

证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，
即(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，但?1,?2,?3线性无关，所以有
k1k30
k1k20 kk0
3?2
它的系数行列式为
101d?110?2?0
011
所以这个齐次线性方程组只有零解，从而?1??2,?2??3,?3??1也线性无关。

3、如果n维单位向量组?1,?2,?,?n可以由n维向量
组?1,?2,?,?n线性表出，则
1,2,,n线性无关。

证明：由于单位向量组?1,?2,?,?n可以由n维向量组?1,?2,?,?n线性表出，所以秩（?1,?2,?,?n）≤秩（?1,?2,?,?n），
但在n维空间中，每个向量都可以由单位向量组?1,?2,?,?n线性表出。

即?1,?2,?,?n
可以由?1,?2,?,?n线性表出，所以
秩（?1,?2,?,?n）≥秩（?1,?2,?,?n），于是秩（?1,?2,?,?n）= 秩（?1,?2,?,?n），
由于?1,?2,?,?n线性无关,且?1,?2,?,?n的个数与?1,?2,?,?n相同, 所以?1,?2,?,?n线性无关。

习题4.3
1、判断向量组?1,?2,?3是否线性相关：
（1）?1?(2,1),?2?(?1,4),?3?(2,3)；
（2）?1?(2,1,1),?2?(1,2,?1),?3?(?2,3,0)
（3）?1?(1,?1,2,4),?2?(0,3,1,2),?3?(3,0,7,14)
解：（1）由于这组向量的个数大于它们的维数，所以，这组向量一定线性相关；（2）作变换：
212032001，所以这组向量线性无关；
123?033?0111?10??1?10??1?10
（3）作变换
1124031
300
017
2140
0312
3??1??3??001
20
0100
3??1?
，所以这组向量线性相关。

?0?0?
事实上有?3?3?1??2
2、把向量?表示成向量组?1,?2,?3,?4的线性组合：
（1）??(1,2,1,1),?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1,?1),?4?( 1,?1,?1,1)
（2）??(0,0,0,1),?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1 ,?1) 解：（1）设??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4
【篇三：高等代数习题解答(第一章)】
第一章多项式
补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与
g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？
6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555
补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明：f(x)?g(x)?h(x)?0．
证明假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．
1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)：
1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1；
2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2．
1）解法一待定系数法．
由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，
1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于2．于是可设 3
1 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3
根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即
1 x3-3x
2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3
右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得
21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 33
7262解得 a?? , b?? , c?? ，故得 999
17262q(x)?x?, r(x)??x?.3999
解法二带余除法．
3-21 1 -3-1 -1
1 ?
21 3374 -1 337147 399
262 ? 9917 ? 39?
得
17262q(x)?x?, r(x)??x?. 3999
2） q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)??
2．m,p,q适合什么条件时，有
1）x2?mx?1x3?px?q;
2）x2?mx?1x4?px2?q.
1除x3?px1）解 x2?mx得余式为： ?q262x?. 99
r(x)?(p?m2?1)x?(q?m)，
pm210;令r(x)?0，即 ? ?q?m?0.
故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是
mq; 2pm10.
1除x4?px2?q得余式为： 2）解 x2?mx
r(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1)，
2m(p?m?2)?0;令r(x)?0，即 ? 2??q?p?m?1?0.
解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是
m0; 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.?
3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x)：
1）f(x)?2x5?5x3?8x,g(x)?x?3;
2）f(x)?x3?x2?x,g(x)?x?1?2i.
1）解法一用带余除法（略）．
解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -320-50 -8 0
+-618 -39117 -327
2 -61
3 -39109 -327
所以
q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109,r(x)??327.
2）解法一用带余除法（略）．
解法二用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：
f(x)
1-2i 1 -1 -1 0
+ 1-2i -4-2i-9+8i
1 -2i -5-2i-9+8i
所以
q(x)?2 i8.x?2ix?(5?2i),r(x?)??9
4．把f(x)表成x?x0的方幂和，即表成
c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2??
的形式：
1）f(x)?x5,x0?1;
2）f(x)?x4?2x2?3,x0??2;
3）f(x)?x4?2ix3?(1?i)x2?3x?7?i,x0??i.
注设f(x)表成c0?c1(x?x)?c(x?2
0x)??的形式，则c0就是f(x)被x?x0除02
所得的余数，c1就是f(x)被x?x0除所得的商式c1?c2(x?x)?c(x?2 0x)??再被03
x?x0除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到c0,c1,?,cn.
1）解综合除法进行计算
1 100000
+ 11111
1 111111
+ 1234
12345
1+ 136
13610
1+ 14
1410
1 15
所以x5?1?5(x?1)?1x0(?21?)x10?3(
2）3）略
5．求f(x)与g(x)的最大公因式：
1）f(x)?x4?x3?3x2?4x?1,g(x)?x3?x2?x?1;
2）f(x)?x4?4x3?1,g(x)?x3?3x2?1;
3）f(x)?x4?10x2?1,g(x)?x4?3?6x2??1.
1）解用辗转相除法
g(x) f(x)
11 q2(x) ?11 -1 -111-3-4-1 q1(x) 1 0 244?5(?x1) 5?(?1x)1).
131 11-1-1 22
84? ?-1 r1(x)-2-3-1 q3(x) 2233
131? ? ? -2-2 244
33 r2(x)? ? -1-1 44
-1-1
r3(x) 0
所以
(f(x),g(x))?x?1.
2）(f(x),g(x))?1.
3
）(f(x),g(x))?x2??1.
6．求u(x),v(x)使u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x)):
1）f(x)?x4?2x3?x2?4x?2,g(x)?x4?x3?x2?2x?2；
2）f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9,g(x)?2x3?x2?5x?4；
3）f(x)?x4?x3?4x2?4x?1,g(x)?x2?x?1．
1）解用辗转相除法
g(x) f(x)
q2(x) 1 1 1 1 -1-2-2 12-1-4-2 q1(x) 11 0 -201 1-1-2 1 1-2-2 r1(x) 1 0-2q3(x) 1 1 0-20 1 0-2
r2(x) 1 0-2r3(x) 0
由以上计算得
f(x)?q1(x)g(x)?r1(x),
g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x),
r1(x)?q3(x)r2(x),
因此
(f(x),g(x))?r2(x)?x2?2，
且
(f(x),g(x))?r2(x)
g(x)q2(x)r1(x)
g(x)q2(x)[f(x)q1(x)g(x)]
q2(x)f(x)?[1?1q(x2)q(x) g]x()
所以
u(x)??q2(x)??x?1,v(x)?1?q1(x)q2(x)?x?2． 0。