数学人教版九年级下册三角函数中方位角坡脚问题

九下数学28.2.3用解直角三角形解方位角、坡角
的教学设计
一、新课导入
1.课题导入
情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P有多远？
问题：怎样由方向角确定三角形的内角？
2.学习目标
（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.
（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题. 3.学习重、难点
重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.
难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.
二、分层学习
第一层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P76例5.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.
（4）自学参考提纲：
①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.
b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A= 65°，∠B= 34°，PA= 80
c.作高构造直角三角形：如图所示.
d.写出解答过程：
在Rt△APC中，PC=PA•cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（n mile）.
在Rt△BPC中，∠B=34°,PB= ≈130（n mile）.
②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.
∴AE=AD•sin60°=12× =(海里)＞8海里.
∴无触礁的危险.
2.自学：
结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.
第一层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P77.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结.
（4）自学参考提纲：
①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
a.将实际问题抽象为数学问题；
b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；
d.得到实际问题的答案.
②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：
a.坡角α和β的度数；
b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).
2.自学：
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生解答问题的情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化
（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.
（2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4 m”，你能求出坝底BC的长吗？（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
三、评价
1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等. （2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.
评价作业
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）
A.南偏东50°
B.南偏东40°
C.北偏东50°
D.北偏东40°
2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5 m，则这两棵树在坡面上的距离AB为m．（结果保留根号）
3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB= ，则这个菱形的面积为65 .
4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).
解：∵i= ,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.
∴AB= ≈9(m).
5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.
解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,
AB=25×4=100.
在Rt△ABC中，BC= AB=50，AC= AB=50 .
在Rt△ACP中，CP=AC=50 .
∴BP=BC+CP=50( +1)(n mile).
二、综合应用（20分）
6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE•tan30°= ,BD= ≈5.77(m).
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA= °,
∴AF=CF=5.00,∴AC= CF=5 ≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF= +3.40-5.00≈1.29(m).
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB= AP=16(n mile).
∴PB＜16 n mile.∴轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16 ,∴∠PAC=45°,∴α=15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.。