2017北京卷高考理数试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出得四个选项中，选出符合题目要求得一项。

（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B=
（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}
（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}
（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应得点在第二象限，则实数a得取值范围就是（A）(–∞，1)
（B）(–∞，–1)
（C）(1，+∞)
（D）(–1，+∞)
（3）执行如图所示得程序框图，输出得s值为
（A）2
（B）3 2
（C）
5
3
（D ）85
（4）若x ，y 满足
，则x + 2y 得最大值为
（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9
（5）已知函数1(x)33x
x f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则(x)f
（A ）就是奇函数，且在R 上就是增函数 （B ）就是偶函数，且在R 上就是增函数 （C ）就是奇函数，且在R 上就是减函数
（D ）就是偶函数，且在R 上就是减函数
（6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”就是“m n 0⋅＜”得 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥得三视图如图所示，则该四棱锥得最长棱得长度为
（A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度得上限M 约为
，而可观测宇宙中普通物质
得原子总数N 约为
、则下列各数中与
M
N
最接近得就是 （参考数据：lg3≈0、48）
（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若双曲线2
2
1y x m
-=3m =_______________、 （10）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则
2
2
a b =__________、 （11）在极坐标系中，点A 在圆2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，点P 得坐标为(1,0)，则|AP|得最小值为 、
（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们得终边关于y 轴对称。

若1
sin 3
α=
，cos()αβ-= 、 （13）能够说明“设a ，b ，c 就是任意实数、若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c ”就是假命题得一组整数a ，b ，c 得值依次为______________________________、
（14）三名工人加工同一种零件，她们在一天中得工作情况如图所示，其中点A i 得横、纵坐标分别为第i 名工人上午得工作时间与加工得零件数，点B i 得横、纵坐标学科&网分别为第i 名工人下午得工作时间与加工得零件数，i =1，2，3。

①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工得零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大得就是_________。

②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工得零件数，则p 1，p 2，p 3中最大得就是_________。

三、解答题共6小题，共80分、解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分） 在△ABC 中，A =60°，c =3
7
a 、 （Ⅰ）求sin C 得值；
（Ⅱ）若a =7,求△ABC 得面积、 （16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ,P A =PD =6,AB=4、
(I)求证：M 为PB 得中点； (II)求二面角B-PD-A 得大小；
(III)求直线MC 与平面BDP 所成角得正炫值。

（17）（本小题13分）
为了研究一种新药得疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。

一段时间后，记录了两组患者得生理指标xy 与得学科、网数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者、
（Ⅰ）从服药得50名患者中随机选出一人，求此人指标y 得值小于60得概率；
（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记ξ为选出得两人中指标x 得值大于1、7得人数，求ξ得分布列与数学期望E （ξ）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据得方差与未服药者指标y 数据得方差得大小、（只需写出结论） （18）（本小题14分）
已知抛物线C ：y 2=2px 过点P (1,1)、过点(0,
1
2
)作直线l 与抛物线C 交于不同得两点M ,N ，过点M 作x 轴得垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ,B ，其中O 为原点、 （Ⅰ）求抛物线C 得方程，并求其焦点坐标与准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 得中点、 （19）（本小题13分） 已知函数f (x )=e x cos x −x 、
（Ⅰ）求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处得切线方程； （Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,2
π
]上得最大值与最小值、 （20）（本小题13分）
设{a n }与{b n }就是两个等差数列，记
c n =max{b 1–a 1n ,b 2–a 2n ,…,b n –a n n }(n =1,2,3,…)，
其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大得数．
（Ⅰ）若a n =n ，b n =2n –1，求c 1,c 2,c 3得值，并证明{c n }就是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，n
c M n
>；或者存在正整数m ，使得c m ,c m +1,c m +2,…就是等差数列．
2017年北京高考数学（理科）参考答案与解析
1．A
【解析】集合{}|21=-<<A x x 与集合{}|13=<->或B x x x 得公共部分为{}|21-<<-x x ，
故选A ．
2．B
【解析】(1i)(i)(1)(1)i -+=++-a a a ，Q 对应得点在第二象限，∴10
10
+<⎧⎨->⎩a a 解得：1<-a
故选B ．
3．C
【解析】当0=k 时，3<k 成立，进入循环，此时1=k ，2=s ；
当1=k 时，3<k 成立，继续循环，此时2=k ，32=s ； 当2=k 时，3<k 成立，继续循环，此时3=k ，5
3
=s ；
当3=k 时，3<k 不成立，循环结束，输出s ．
故选C ．
4．D
【解析】设2=+z x y ，则122
=-+
z
y x ，由下图可行域分析可知，在()33，处取得最大值，代入可得max 9=z ，故选D ．
5．A
【解析】奇偶性：()f x 得定义域就是R ，关于原点对称，
由()()113333--⎛⎫
⎛⎫
-=-=-=- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
x
x
x x f x f x 可得()f x 为奇函数． 单调性：函数3=x
y 就是R 上得增函数，函数13⎛⎫
= ⎪⎝⎭
x
y 就是R 上得减函数，根据单
调性得运算，增函数减去减函数所得新函数就是增函数，即()1=33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
x
x
f x 就是R 上
得增函数．综上选A
6．A
【解析】由于u r m ，r n 就是非零向量，“存在负数λ，使得λ=u r r
m n ．”根据向量共线基本定理
可知u r m 与r n 共线，由于0λ<，所以u r m 与r n 方向相反，从而有0⋅<u r r
m n ，所以就是充分条件。

反之，若0⋅<u r r m n ，u r m 与r n 方向相反或夹角为钝角时，u r m 与r
n 可能不共线，
所以不就是必要条件。

综上所述，可知λ=m n ”就是“0⋅<m n ”得充分不必要条件，所以选A ．
7．B
【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长得棱为PA ，
所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ．
8．D
【解析】由于36180lg
lg lg lg3lg103610.488093.28=--⨯-=M
M N N
=≈， 所以
93.2810M
N
≈，故选D ． 9．2
【解析】∵3∴
3c
a
∴223=c a
∵1=a ，b m ，222+=a b c
∴222223312==-=-=-=b m c a a a
10．1
【解析】∵{}n a 就是等差数列，11=-a ，48=a ，
∴公差3=d ∴212=+=a a d
∵{}n b 为等比数列，11=-b ，48=b ∴公比2=-q ∴212==b b q 故
2
2
1=a b 11．1
【解析】把圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=改写为直角坐标方程222440+--+=x y x y ，化
简为22(1)(2)1x y -+-=，它就是以()1,2为圆心，1为半径得圆。

画出图形，连结圆心O 与点P ，交圆于点A ，此时AP 取最小值，A 点坐标为()1,1，1=AP ．
12．79
-
【解析】∵因为角α与角β得终边关于y 轴对称
∴1sin sin 3
αβ==，cos cos αβ=- ∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+
2227
cos sin 2sin 19
ααα=-+=-=-
13．1-，2-，3-
【解析】由题意知a ，b ，c 均小于0，所以找到任意一组负整数，满足题意即可． 14．① 1Q ② 2p
【解析】①设线段i i A B 得中点为()，i i i C x y ，则2=i i Q y ，其中123=，
，i ． 因此只需比较1C ，2C ，3C 三个点纵坐标得大小即可． ②由题意，=i
i i
y p x ，123=，
，i ，故只需比较三条直线1OC ，2OC ，3OC 得斜率即可．
15．
【解析】（1）37
=Q c a
由正弦定理得：33333
sin sin 77==⨯=
C A （2）37
=<Q c a a
60∴∠<∠=︒C A ∴∠C 为锐角
由33
sin =
C 得：13cos 14=C
sin sin[π()]sin()B A C A C ∴=-+=+
sin cos cos sin A C A C =+
313133
142=⨯+⨯
43
=
又337377
==⨯=Q c a
1
sin 2
ABC S ac B ∆∴=
143
732=
⨯⨯⨯
63=
16．
【解析】（1）取AC 、BD 交点为N ，连结MN ．
∵PD ∥面MAC PD ⊂面PBD
面PBD ∩面MAC MN = ∴PD MN ∥
在PBD △中，N 为BD 中点 ∴M 为PB 中点 （2）方法一：
取AD 中点为O ，BC 中点为E ，连结OP ，OE ∵PA PD =，∴PO AD ⊥ 又面PAD ⊥面ABCD 面PAD ∩面ABCD AD = ∴PO ⊥面ABCD
以OD 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标
可知()200D ，，，()200A -，，，()240B -，，，()
002P ，， 易知面PD 得法向量为()010m =u r
，
， 且()202PD =-u u u r ，，，()
242PB =--u u u r
，，
设面PBD 得法向量为()n x y z =r
，， 220
2420x z x y z ⎧-=⎪⎨
-+-=⎪⎩ 可知()
112n =r
，，
∴()
2
2
2
2
1
1cos 2
1112m n <>=
=
⨯++
u r r ， 由图可知二面角得平面角为锐角 ∴二面角B PD A --大小为60︒ 方法二：
过点A 作AH PD ⊥，交PD 于点E ，连结BE ∵BA ⊥平面PAD ，∴PD BA ⊥， ∴PD ⊥平面BAH ，∴PD BH ⊥，
∴AEB ∠即为二面角B PD A --得平面角
AD PO AE PD ⋅=⋅，可求得43
AE =
tan 343
AEB ∠=
=
∴60AEB ∠=︒ （3）方法一：
点2122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()240C ，， ∴232MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ，， 由（2）题面BDP 得一个法向量()
112n =r
，
， G
N
F
P
H
M
A
设MC 与平面BDP 所成角为θ
∴sin cos MC n θ=<>=
u u u u r r
，方法二：
记AC BD F =I ，取AB 中点N ，连结MN ，FN ，MF 取FN 中点G ，连MG ，易证点G 就是FN 中点，∴MG PO ∥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PO AD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ∴MG ⊥平面ABCD 连结GC
，GC
122
MG PO ==
∴MC =
∵PD
，BD =
，PB =
cos PDB ∠
∴sin PDB ∠
，∴1sin 2PDB S PD DB PDB =⋅⋅∠=△设点C 到平面PDB 得距离为h ，
1
3
P DBC PDB V S h -=⋅△
又1
3
P DBC C PDB BCD V V S PO --==⋅△，求得2h =
记直线MC 与平面BDP 所成角为θ
∴sin h MC θ=
==
17． 【解析】（1）50名服药者中指标y 得值小于60得人有15人，故随机抽取1人，此人指标y
得值小于60得概率为
153
5010
= （2）ξ得可能取值为：0，1，2
()222
106ξ===C P C ，()1122242163ξ⋅====C C P C ，()222
41
26
ξ===C P C ()0121636
ξ=⨯+⨯+⨯=E
（3）从图中服药者与未服药者指标y 数据得离散程度观察可知，服药者得方差大。

18．
【解析】（1）由抛物线22=y px 过点(1,1)，代入原方程得21=21⨯p ，
所以1
2
=
p ，原方程为2=y x ． 由此得抛物线焦点为1,04⎛⎫
⎪⎝⎭，准线方程为14
=-x ．
（2）
法一：
∵⊥BM x 轴
设()()()()112211,,,,,，，A B M x y N x y A x y B x y ，根据题意显然有10≠x 若要证A 为BM 中点
只需证2=+A B M y y y 即可，左右同除1x 有111
2=+A B M
y y y x x x 即只需证明2=+OA OB OM k k k 成立 其中1,===OA OP OB ON k k k k
当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为零． 设直线()1
02
=+
≠：MN y kx k 联立212⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩
y kx y x
有()221
104+-+=k x k x ， 考虑()2
2
114124
∆=--⨯⨯=-k k k ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所
以12
<k ．
由韦达定理可知：1221-+=
k
x x k ……①， 1221
4=
x x k
……② 21
21
21122112
11
2222+=+=++
++=
+=+OB OM ON OM y y k k k k x x kx kx x x k x x x x 将①②代入上式，有()21212
2
12222121224-++=+
=+-=⨯k
x x k k k k k x x k
即22+=+==ON OM OB OM OA k k k k k ，所以2=+A B M y y y 恒成立 ∴A 为BM 中点，得证． 法二：
当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为零． 设10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为点
，过Q 得直线MN 方程为()1
02
=+
≠y kx k ，设1122(,),(,)M x y N x y ，显然，12,x x 均不为零．
联立方程212⎧=⎪⎨=+
⎪⎩
y x y kx 得22
1(1)04+-+=k x k x ，
考虑，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以1
2
<k ． 由韦达定理可知：122
1-+=
k
x x k ……①， ……②
由题可得,A B 横坐标相等且同为1x ，且2
2
:=
ON y l y x x ，B 在直线ON 上， 又A 在直线OP ：=y x 上，所以121112(,),,⎛⎫
⎪⎝
⎭x y A x x B x x ，若要证明A 为BM 中点，
只需证2=+A B M y y y ，即证12
112
2+=x y y x x ，即证1221122+=x y x y x x ， 将11221212⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩
y kx y kx 代入上式，
即证21121211()()222+++=kx x kx x x x ，即12121(22)()02
-++=k x x x x ， 将①②代入得2211(22)
042k
k k k
--+=，化简有恒成立， 所以2=+A B M y y y 恒成立， 所以A 为BM 中点．
19．
【解析】（1）∵()e cos =-x f x x x
∴(0)1,()e cos e sin 1e (cos sin )1'==--=--x x x f f x x x x x ∴0(0)e (cos0sin0)10'=--=f
∴()f x 在(0,(0))f 处得切线方程为(0)(0)(0)'-=-y f f x ，即10y -=． （2）令()()e (cos sin )1'==--x g x f x x x
()e (cos sin )+e (sin cos )2e sin '=---=-x x x g x x x x x x ∵π02x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，时，()2e sin 0'=-<x g x x
∴()g x 在π02⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减
∴π02x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，时，()(0)(0)0g x g f '<==，即()0'<f x
∴()f x 在π02⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，上单调递减
∴0=x 时，()f x 有最大值(0)1=f ；
π
2
=x 时，()f x 有最小值
2ππππe cos 2222π
⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
f ．
20．
【解析】（1）易知11=a ，22=a ，33=a 且11=b ，23=b ，35=b ．
∴1110=-=c b a ，
{}{}21122max 22max 111=--=--=-，，c b a b a ，
{}{}3112233max 333max 2342=---=---=-，，，，c b a b a b a ．
下面我们证明，对*∀∈N n 且2n ≥，都有11=-⋅n c b a n ． 当*∈N k 且2k n ≤≤时，
()()11-⋅--⋅k k b a n b a n
()211⎡⎤=---+⎣⎦k nk n ()()221=---k n k ()()12=--k n
∵10->k 且20-n ≤，
∴()()11110-⋅--⋅⇒-⋅-⋅k k k k b a n b a n b a n b a n ≤≥．
因此，对*∀∈N n 且2n ≥，111=-⋅=-n c b a n n ，则11+-=-n n c c ． 又∵211-=-c c ，
故11+-=-n n c c 对*∀∈N n 均成立，从而{}n c 为等差数列．
（2）设数列{}n a 与{}n b 得公差分别为a d ，b d ，下面我们考虑n c 得取值．
对11-⋅b a n ，22-⋅b a n ，…，n n b a n -⋅， 考虑其中任意项-⋅i i b a n （*∈N i 且1i n ≤≤）， -⋅i i b a n
()()1111b a b i d a i d n =+--+-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅
下面我们分0=a d ，0>a d ，0<a d 三种情况进行讨论． （1）若0=a d ，则()()111-⋅=-⋅+-⋅i i b b a n b a n i d ①若0b d ≤，则()()()1110-⋅--⋅=-⋅i i b b a n b a n i d ≤ 则对于给定得正整数n 而言，11=-⋅n c b a n 此时11+-=-n n c c a ，故{}n c 为等差数列．
②若0>b d ，则()()()0-⋅--⋅=-⋅i i n n b b a n b a n i n d ≤ 则对于给定得正整数n 而言，1=-⋅=-⋅n n n n c b a n b a n ． 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 为等差数列．
此时取1=m ，则123L ，
，，c c c 就是等差数列，命题成立． （2）若0>a d ，则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 得一次项系数为负数得一次函数．
故必存在*∈N m ，使得当n m ≥时，0-⋅+<a b d n d
则当n m ≥时，()()()()1110-⋅--⋅=--⋅+i i a b b a n b a n i d n d ≤（*∈N i ，
1i n ≤≤）．
因此，当n m ≥时，11=-⋅n c b a n ．
此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．
（3）若0<a d ，则此时-⋅+a b d n d 为一个关于n 得一次项系数为正数得一次函数．
故必存在*∈N s ，使得当n s ≥时，0-⋅+>a b d n d
则当n s ≥时，()()()()0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+≤（*∈N i ，
1i n ≤≤）
因此，当n s ≥时，=-⋅n n n c b a n ． 此时
n
c n -⋅=n n b a n n
=-+n n b
a n
()11-=-⋅+-++
b
a a
b b d d n d a d n
令0-=>a d A ，1-+=a b d a d B ，1-=b b d C 下面证明
=++n c C
An B n n
对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，>n
c M n
． ①若0C ≥，则取1⎡⎤
-=+⎢
⎥⎣⎦
M B m A
（[]x 表示不大于x 得最大整数） 当n m ≥时，
1n M B c An B Am B A B n A ⎛⎫⎡-⎤++=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭≥≥->⋅+=M B
A B M A ， 此时命题成立．
②若0<C ，则取1M C B
m A ⎡--⎤
=+⎢
⎥⎣
⎦
当n m ≥时，
--++++>⋅++--++=n
M C B c An B C Am B C A B C M C B B C M n A
≥≥≥．
此时命题也成立．
因此，对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，
>n
c M n
． 综合以上三种情况，命题得证。