线性代数2.1矩阵的概念

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行列式与矩阵的区别
1. 行列式是一种算式，它最终表示的是一个 “值”；矩阵是一张“表”，排列起来它是一个矩形 “表2”. 。行列式要求行数与列数相同，而矩阵就没有 这个限制。
3. 行列式用 “ ” 表示，而矩阵用 “或 ”
表示。
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转化思想
复杂问题
转 化
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a11 a12 L
0
a22 L
M M
0
0L
a1n
a2n
M
ann
a11 0 L
a21
a22
L
M M
an1
an2
L
0
0
M
ann
方阵的主对角线
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三角矩阵
方阵的次对角线
二、几类特殊矩阵
4．行（列）矩阵
A a1, a2,L , an
行矩阵 （或n维行向量）
b1
1 1
二、几类特殊矩阵
2. 零矩阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵。一般记为：
Om n 或者就直接记成 O
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
注意：不同型的零矩阵是不相等的。
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二、几类特殊矩阵
3. 方阵
对于 Amn 当 m n 时，这个矩阵称为n阶矩阵
或n阶方阵。一阶方阵可以看作一个数。
a21 M
am1
a12 L a22 L M am2 L
a1n
a2n
M
amn
m n 矩阵简记为： A aij m n
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矩阵的表示方法:
矩阵的元素
行数
A aij m n
行标
列标
列数
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矩阵的表示方法
有时，为了表明矩阵的行数、列数，把m 行 n 列矩阵记作
B
b2
M
bm
列矩阵 （或维列向量）
行向量与列向量统称为向量，一个n维向量含n个有次序的数。
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二、几类特殊矩阵
5. 对角矩阵
例如:
a11 0 L
An
0 M
a22 M
L
0
0L
0
0
M
ann
记作：An diag(a11, a22 ,L , ann )
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第二章 矩阵及其运算
2.1 矩阵的概念 2.2 矩阵的运算
2.3 逆矩阵及其基本 2.4 分块矩阵 求法
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2.1 矩阵的概念
一 矩阵的概念
二 几类特殊矩阵
一、矩阵的概念
线性方程组
将其系数按在方程组中原有的相应位置排成一个矩形数
表如下：
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
1．同型矩阵
5．对角矩阵
2. 零矩阵
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3. 方阵
4.行（列）矩阵
二、几类特殊矩阵
1．同型矩阵
若两个矩阵的行数相同，且列数也相同，则称它
们为同型矩阵。
；
1 2 3
2 2 1
A
6
5
4
B 3 1 5
1 2 3 C 2 3 4
0 2 1
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1 1 D 1 1
1 0 0
A
0
2
0
0 0 3
1 0 L 0
n
0 M
2
M
L
0
M
0
0L
n
MM
M
am1 am2 L amn 这样的矩形数表 称为 矩阵。
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一、矩阵的概念
定义1 : 由 m n 个数
排成的m 行、n 列的数表
m n 称为 m 行n 列矩阵，简称
矩阵。
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矩阵的表示方法:
一般用大写字母A，B，C …… 等表示，
并记为：
a11
A=
它们的对应元素也都相等，则称它们为相等矩阵。即：
定义2 设有A
aij
mn
，B
bij
如果
pq
1）m p ；n q ；
2）aij bij（ i 1, 2, , m ；j 1, 2, , n）
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A B 。
例如，若
a c
b d
1
3
2
1
，则 a 1,b 2, c 3, d 1
矩阵问题
用矩阵来研究线性变换
• 设 n个变量 x1, x2,L , xn 与 n 个变量 y1, y2 ,L , ym
之间的关系式为:
y1 a11x1 a12 x2 L a1n xn
y2
a21 x1
a22 x2 LL
L
a2n xn
线性变换
ym am1x1 am2 x2 L amn xn
Amn 或 Amn
以数aij为 (i, j) 元的矩阵记作
(aij ) 、(aij )mn 或 (aij )mn
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实矩阵与复矩阵
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵。
[注]本书中的矩阵，除特别说明外，都是指 实矩阵。
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相等矩阵
两个矩阵，如果它们的行数与列数分别相等，且
a11 a12 L
Amn
a21 M1 am2 L
a1n
a2n
M
amn
矩阵
单位矩阵与恒等变换
y1 x1
y2 L
x2 L
yn xn
1 0 L 0
En
0
M
1 M
L
0
M
0
0
L
1
线性变换
单位矩阵
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二、几类特殊矩阵