3第三章 时域分析法

时域分析法
闭环极点（特征根）：-1/T
r(t) (t) r(t) 1(t)
r(t) t
c(t)
1
1t
eT
T
1t
c(t) 1 e T
1t
c(t ) t T Te T
r(t) 1 t2 2
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)Hale Waihona Puke 2时域分析法3.5 二阶系统的暂态响应 用二阶微分方程描述的控制系统称为二阶系统。 它是控制系统常见的组成形式，许多高阶系统在一 定的条件下常近似地用二阶系统来表征。
时域分析法
特征根为： s1,2 n n 2 1
➢ 当 1 时，s1,2 n
特征根为两个相等的负实根
C(s)
1 s
s2
n2 2 n s
n2
1 s
s
1
n
(s
n n)2
c(t) 1 ent (1 nt)
临界阻尼情况
阶跃响应为非振荡单调上升过程。 t=0时切线斜率为0。
时域分析法
稳态分量和暂态分量两部分
组成，当时间t→∞时，暂
1
态分量衰减为零。
这是一条单调上升的指
数曲线，初始值为0，稳态
值为1。
0
t
时域分析法
一阶系统的单位阶跃响应具备两个重要的特点：
1）当t=T时，c(t) 1 e1 0.632
即当t等于时间常数T时，响应 C(t)
1
c(t)达到稳态值的63.2%。
时域分析法
第三章 时域分析法
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量
的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态和稳 态性能。
由于时域分析是直接在时间域中对系统进 行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确 的优点。
时域分析法
典型初始状态 规定控制系统的初始状态均为零状态， 即在 t 0 时 c(0 ) c(0 ) c(0 ) 0
c(∞)之间的偏差达到允
tp
许范围（一般取2%或5%）
并维持在此允许范围之
内所需的最小时间。
0.02c() 或0.05c()
ts t
时域分析法
5.最大超调量（简称超调量） M p
暂态过程中输出响应的 最大值超过稳态值的百 分数。
M
p
c(t p ) c() c()
100%
c(t) c(t p )
理想单位脉冲函数：
定
义
：
(t
)
0
t0 t 0
(t)
且 (t)dt 1 ，
即 积 分 面 积 为1 。
0
t
拉氏变换： L[ (t)] 1
时域分析法
理想的脉冲函数在现实中是不存在的，它 只有数学上的意义。
在实际中，如果系统的脉动输入量值很大， 而持续时间与系统的时间常数相比非常小时，可 以用脉冲函数去近似表示这种脉动输入。如脉冲 电压信号、冲击力、阵风等。
时域分析法
一阶系统的单位阶跃响应具备两个重要的特点：
2）响应曲线的初始斜率等于1/T。
C(t)
因为 dc(t)
1
t
eT
1
1 0.8
d t t0 T
T
t 0
0.6
斜率=1/T C(∞)
0.95 0.98 0.632
上式表明：如果系统输出响应一 0.4
直以初始速度1/T上升，则达到 0.2
t
稳态值所需的时间恰好为T。
故抛物线函数又称为等加速度函数。
时域分析法
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
A (t) d [ A 1(t)] d 2 [ At] d 3 [1 At 2 ]
dt
dt 2
dt 3 2
上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
函数响应
微分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
0 1T 2T 3T 4T 5T
这也是在单位阶跃响应曲线上确定一阶系统 时间常数的方法之一。
时域分析法
一阶系统单位脉冲响应
r(t) (t)
g(t) c(t)
1
t
eT
T
一阶系统的单位脉冲响应曲线是一条单调衰减的 指数曲线。
只包含瞬态分量！！！
时域分析法
一阶系统单位斜坡响应
r(t) t
t
c(t ) (t T ) Te T
1 2 t tg1
12
),
t0
此时阶跃响应为衰减振荡过程。
时域分析法
➢ 当 0 1时，s1,2 n jn 1 2
c(t) 1
e nt
12
sin(n
1 2 t tg1
12
),
t0
阶跃响应为 衰减振荡过程
欠阻尼情况
极点的负实部 n决定了指数衰减的快慢；
虚部 d n 1 2 是振荡频率，称为阻尼振荡频率。
如指令的突然转换，电源的突然接通， 负载的突变等，都可视为阶跃作用。
时域分析法
⒊ 斜坡函数
x(t)
0 , t 0
r(t
)
At
,
t0
A
A=1时称为单位斜坡函数。
0
1
t
拉氏变换： L[ At] A
s2
L[t ] 1 s2
斜坡函数的一阶导数为常量A，这种函数表
示由零值开始随时间t作线性增长（恒速增长）
-1<ξ<0 振荡发散
ξ < -1 单调发散
时域分析法
特征根为： s1,2 n n 2 1
➢ 当 0 时，s1,2 jn
特征根为一对共轭虚根
C(s)
2 n
s(n2
s2)
1 s
s2
s
2 n
c(t) 1 cosnt , t 0
无阻尼情况
此时输出将以频率 n做等幅振荡，所以 n
当描述脉冲输入时，脉冲的面积或者大小是 非常重要的，而脉冲的精确形状通常并不重要。
时域分析法
⒉ 阶跃函数：
0 , t 0
r(t)
A
,
t0
A为阶跃幅度
A=1时称为单位阶跃函数，记为1(t)。
拉氏变换：
r(t)
A
L[r(t)] A s
1(t)
1
L[1(t)] 1 s
0
t0
t
时域分析法
发生在t=0时的阶跃函数，相当于在时 间t=0时，把一个定常信号突然加到系统上。
Ts 1
可见一阶系统相当于一个惯性环节，式中T为 时间常数。
时域分析法
单位阶跃响应
r(t) 1(t), R(s) 1 s
C(s) 1 1 1 T 1 1 , Ts 1 s s Ts 1 s s 1
c(t ) L1[1
1
t
]1e T
T
s s 1
T
可见系统的输出响应由 c(t)
c()
0
A
Mp
100 B
%
A
0.02c()
或0.05c()
B
tp
ts t
时域分析法
在上述几种性能指标中， td , t p , tr , ts 表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标； 而 M p 反映瞬态过程的振荡程度，是稳定性 指标。其中 M p 和 t s 是两种最常用的性能 指标。
时域分析法
A 超调量Mp =
A B
×100%
0.02c()
或0.05c()
峰值时间tp B
上升 时间tr
调节时间ts
时域分析法
3-4 一阶系统的暂态响应
用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
⒈ 结构图
R(s) E(s) 1 C(s)
-
Ts
2.闭环传递函数
(s) C(s)
1 Ts
1
R(s)
1
1 Ts
微分
时域分析法
⒌ 正弦函数
r(t ) ASin t
A为振幅，为角频率。
拉氏变换： L[Asin t] A
s2 2
用正弦函数作输入信号，可以求得系统对 不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此分 析系统的性能。（第五章 频域分析）
时域分析法
分析系统特性究竟采用何种典型输入信 号，取决于实际系统在正常工作情况下最常 见的输入信号形式。
特解与微分方程和输入有关。一般来说，当时间趋于 无穷大时特解趋于一个稳态的函数。
时域分析法
系统的稳态过程和暂态过程
对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时 间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态 的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程上称 为进入稳态过程。
系统达到稳态过程之前的过程称为暂态过程 （瞬态过程）。暂态分析是分析暂态过程中输出响 应的各种运动特性。
称为无阻尼振荡频率。
时域分析法
特征根为： s1,2 n n 2 1
➢ 当 0 1时，s1,2 n jn 1 2
特征根为一对具有负实部的共轭复根
C(s)
1 s
s2
n2 2 ns
n2
1 s
s2
s n 2 ns n2
s2
n
2
n
s
2 n
c(t) 1
e nt
12
sin(n
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对 静止的（处于稳定状态），被控制量及其各阶导 数相对于平衡工作点的增量为零。
时域分析法
3-1 典型输入信号
⒈ 脉冲函数：
0 , t 0和t
r(t
)
A
,
0 t
当A=1时，记为 (t) 。
当 0 时， (t) (t)
(t)
1
0
t
时域分析法
经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近似 c(t )
与输入相同；
一阶系统在单位斜坡信
号输入作用下，误差自零开
始按指数规律增长，最终趋
于常值T。
0
r(t) c(t)
T
t
时域分析法
一阶系统单位加速度响应
r(t) 1 t2 2
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
一阶系统在加速度函数输入作用下，其误差随时 间推移而增长，直到无限大。
⒈ 结构图
R(s) E(s) n2 C(s)
-
s(s 2 n )
2.闭环传递函数
n2
(s) C(s) s(s 2n )
n2
R(s) 1
n2
s 2 2 n s n 2
s(s 2n )
时域分析法
2.闭环传递函数
(s) C(s)
n2
R(s) s 2 2n s n2
这是典型二阶系统的传递函数，其中
当系统的输入具有突变性质时，可选择 阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是 随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型 输入信号。
时域分析法
3-2 线性定常系统的时域响应
时域分析以线性定常微分方程的解来分析系统的性 能。
线性常微分方程的解=齐次方程的通解
+非齐次方程的一个特解
齐次方程的通解，只与微分方程（系统本身的特性或 系统的特征方程的根）有关。对于稳定的系统，当时间趋 于无穷大时，通解趋于零。所以根据通解或特征方程的根 可以分析系统的稳定性。
0.8
C(∞)
0.95 0.98
同样的方法可以算出，当t=2T、 0.6 0.632
3T、4T和5T时， c(t)将分别上 0.4
升到86.5% 、95% 、98.2%和 99.3% 。
0.2
t
0 1T 2T 3T 4T 5T
调整时间： ts=3T（对应5%误差带） 或ts=4T（对应2%误差带）
可见，调整时间只与时间常数T有关。时间 常数越小，系统响应越快。
阶跃响应为非振荡单调上升过程，但上升 速度比临界阻尼时缓慢。
时域分析法
特征根为： s1,2 n n 2 1
的信号，故斜坡函数又称为等速度函数。
时域分析法
⒋ 抛物线函数
0 , t 0
r(t)
1 2
At
2
,
t0
x(t)
A=1时称为单位抛物线函数。
t
0
拉氏变换： L[1 At 2 ] A
2
s3
L[1 t 2 ] 1
2
s3
抛物线函数的二阶导数为常量A，这种函数
表示由零值开始随时间t以等加速度增长的信号，
— 阻尼比 n — 无阻尼自然振荡角频率
时域分析法
二阶系统单位阶跃响应
特征方程为：
s2
2 ns
2 n
0
特征根为： s1,2 n n 2 1
当 不同时，特征根和阶跃响应有不同的
形式。
时域分析法
负阻尼（ξ<0） 特征根为：
s1,2 n n 2 1
极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。
理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入 稳态过程，但在进行分析时，只要输出量的实际值 与希望值之间的偏差不再超过允许的误差范围，就 认为系统进入稳态过程。
时域分析法
稳定的控制系统的单位阶跃响应曲线如图所示：
c(t)
c(t)
c()
瞬态过程
c() 稳态过程
0
衰减振荡
t
0
瞬态过程 稳态过程
t
单调变化
时域分析法
特征根为： s1,2 n n 2 1
➢ 当 1 时，s1,2 n n 2 1
特征根为两个不相等的负实根
C(s)
2 n
1
[s n ( 2 1)][s n ( 2 1)] s
c(t) 1
1
e e ( 2 1 )nt
( 2 1 )nt
2 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
3-3 控制系统时域响应的性能指标
暂态过程的性能指标 通常以单位阶跃响应来衡量系统控 制性能的优劣和定义暂态过程的时域性 能指标。 我们根据衰减振荡的阶跃响应曲线 来定义系统常用的暂态性能指标。
时域分析法
具有衰减振荡的暂态过程如图所示：
⒈ 延迟时间 t d
输出响应第一次
c(t)
达到稳态值的50%
所需的时间。
c()
⒉ 上升时间 tr
c()
2
输出响应第一次达到稳态
值c(∞)所需的时间。
0 td tr
t
或指由稳态值的10%上升
到稳态值的90%所需的时
间。
时域分析法
3.峰值时间 t p
输出响应超过稳态值 c(t)
达到第一个峰值所需 c(t p )
要的时间。
c()
4.调整时间 t s
当输出量c(t)和稳态值
0