9-5隐函数的求导公式

y
dy 0, dx x0
d2y dx 2


y
xy y2


y

x( y
x) y


1 y3
,
d2y dx2
x0

1.
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例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解： 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
v (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
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例4 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u ，u ，v 和 v . x y x y
解1： 直接代入公式（略）。
解2： 运用公式推导的方法。（推荐使用）
将所给方程的两边对 x 求导并移项得

x

y
u x u

y x
v x v

u ,
v
x x
x J
y x2 y2,
yx
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u y
u x

v x
x y


xu x2
yv y2
第五节 隐函数的求导公式
(Implicit differentiation)
一、问题的提出 二、一个方程的情形 三、方程组的情形 四、小结
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一、问题的提出
在一元函数微分学中我们已经提出了隐函数的 概念，并且通过举例的方法指出了不经过显化直接 由方程 F( x, y) 求出隐函数的导数的方法。
Fz
F F z , F F z
y
x z x
y z y
由于Fz连续，且Fz ( x , y , z ) ，所以在( x , y , z ) 的某个邻域内，有 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz
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() F( x, y, z) z Fx ,
x Fz
z Fy . y Fz
F( x, y, u,v) () G( x, y, u,v)
我们通常采用两端对自变量求导解方程的方法。
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思考判断题
设 z u sinv， 其 中u和v由 方 程 组 x u v, y u v
然而有一问题没有解决： 在什么条件下该方程可以唯一确定函数
y y( x) 并且函数y y( x) 是可导的？
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二、一个方程的情形 (One equation)
、由F( x, y) 确定的一元隐函数的导数
定理：设函数F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0，Fy ( x0 , y0 ) 0，则
dx Fy
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例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个有连续导数、且 x 0时 y 1的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和 二阶导数在 x 0的值.
解： 令 F ( x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y, 偏导数连续，
设方程在点( x , y )的某邻域内确定了连续 可导函数y y( x), 则有 F[x, y( x)] .
根 据 链 式 法 则 ， 在 方 程两 端 对x求 导 ， 得
F F dy , x y dx
F
x
y
由于Fy连续，且Fy ( x , y ) ，所以在( x , y )的 某个邻域内，有 dy Fx
v G
u v
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在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y) ，
邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，
Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程F ( x, y, z) 0在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个 连续且具有连续偏导数的函数z f ( x, y)，它
满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v ( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv ,
x J ( x,v)
Fu Fv
Gu Gv
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v (F ,G) Fu Fx Fu Fv , x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y, v) Gy Gv Gu Gv
确 定 ， 求 z z . x y
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F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
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依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个有连续导数、且 x 0时 y 1 的函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x ,
dx Fy
方程F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内恒能唯一 确定一个连续且具有连续导数的函数 y f ( x)，它满
足条件 y0 f ( x0 )，并有 dy Fx . dx Fy
隐函数的求导公式（1）
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定理的证明比较细微而繁复，这里从略，仅 推导（1）式。
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
（2）
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定理的证明这里也从略，仅推导（2）式。
设方程在点( x , y , z )的某邻域内确定了连续
可导函数z z( x, y), 则有 F[x, y, z( x, y)] .
x
在 方 程 两 端 对x和y求 导 ， 得
P( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内有对各个变量的连
续偏导数，且F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式 Jacobi）
F F
J

(F ,G) (u, v)

u G

(2 z) x x 2 z
(2 z)2

(2 z)2 x2 (2 z)3 .
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三、方程组的情形
(Equation set)
F( x, y, u, v) G( x, y, u, v)
定理： 设F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v) 在点
,
yx
x
v x
y x
y
u
v y

yu x2
xv y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y

xv x2

yu y2
,
v y


xu x2
yv y2
.
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四、小结
隐函数的求导法则
() F( x, y)
dy Fx dx Fy
则
Fx ( x, y)

x x2

y y2 ,
Fy( x, y)

y x2
x y2 ,
dy Fx x y . dx Fy y x
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、由F( x, y, z) 确定的二元隐函数的偏导数
定理：设函数F ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 )的某一
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例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解： 令 F( x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
2z x 2

(2 z) x z x
(2 z)2
z Fx x , x Fz 2 z