山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三数学上学期第一次教学诊断试卷理(含解析).doc

山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三数学上学期第一次教学诊断试卷理（含解
析）
山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析由题意可得集合，所以，故选择 C 考点集合的运算 2.是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A. 64B. 100C. 110D. 120 【答案】B 【解析】试题分析a1a24，a7a828，解方程组可得考点等差数列通项公式及求和【此处有视频，请去附件查看】 3.若函数存在与直线平行的切线,则实数取值范围是A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析有解。

，，故选C．考点导数与切线斜率的关系，存在性问题的转化,对勾函数的值域． 4.若，则是的条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若，则成立，即必要性成立又当，时，成立，但即反之不一定成立，即充分性不成立即是的必要不充分条件，本题正确选项【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键． 5.
如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，则的面积等于（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，令，得，故；又函数的最小正周期为，所以．∴．选A．6.在中，，，的面积为则 A. 13B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值．【详解】，，的面积为解得，由余弦定理可得本题正确选项【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数 A. 13B. 10C. 9D. 6 【答案】D 【解析】∵数列{an}的通项公式是，则据此可得，求解关于的方程可得n＝6. 本题选择D选项. 8.已知函数，若，则实数的取值范围 A. B.
C. D. 【答案】A 【解析】【分析】求出，得到，根据函数在递增，求出的范围即可. 【详解】函数，即即而在递增，故解得本题正确选项【点睛】本题考查了函数的单调性问题，求出和的关系是解题的关键，是一道中档题．9.已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________. 【答案】3 【解析】试题分析由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B. 考点平面向量. 【此处有视频，请去附件查看】10.已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ，【答案】D 【解析】【分析】根据题意，作出函数的图象草图，而直线恒过定点，
分析可得若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，据此分情况讨论的取值范围，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数，其图象如图直线恒过定点若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点分析可得当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限则有，即，变形可得令，解得或（舍）则有综合可得的取值范围为本题正确选项【点睛】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数的图象，通过图象分析出直线需满足的条件. 11.已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】记函数在上的最小值为的定义域为. . 令，得或. ①时，对任意的,，在上单调递增，的最小值为②当时，的最小值为; ③当时，对任意的,在上单调递减，的最小值为. 由①②③可知易知在上单调递减，且, 故实数的取值范围为. 故选 C. 点睛导数问题经常会遇见恒成立的问题（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）. 12.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”现给出下列函数；；；是定义在实数集上的奇函数，且对一
切，均有其中是“倍约束函数”的序号是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查阅读题意的能力，根据倍约束函数的定义对各选项进行判定比较各个选项，发现只有选项①③④，根据单调性可求出存在正常数满足条件；而对于其它选项，不等式变形之后，发现都不存在正常数使之满足条件，由此即可得到正确答案．【详解】对于①，是任意正数时都有，是倍约束函数，故①正确；对于②，，，即，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误；对于③，要使成立，即，当时，可取任意正数；当时，只须，因为，所以故③正确．对于④，是定义在实数集上的奇函数，故是偶函数，因而由得到，成立，存在，使对一切实数均成立，符合题意，故正确．本题正确选项【点睛】本题重点考查了函数的最值及其性质，对各项逐个加以分析变形，利用函数、不等式进行检验，方可得出正确结论.深刻理解题中倍约束函数的定义，用不等式的性质加以处理，找出不等式恒成立的条件再进行判断，是解决本题的关键所在，属于难题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量与满足，则则与的夹角为________。

【答案】【解析】试题分析有题意得，考点求平面向量的夹角. 【此处有视频，请去附件查看】14.在中，，，，则的角平分线，则______．【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可求，可得，利用三角形内角和定理及已知
可求，进而可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．【详解】中，，，由正弦定理可得，为的角平分线，在中，由正弦定理可得本题正确结果【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．15.函数有极值，则实数的取值范围是______. 【答案】【解析】【分析】求出的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，得到函数的单调性，从而确定的范围即可．【详解】令函数有极值，则在区间上有实数根当时，，则函数在区间单调递增时，；时，故存在，使得在递减，在递增故的极大值是，符合题意；当时，令，解得令，解得，此时函数单调递增令，解得，此时函数单调递减当时，函数取得极大值．当趋近于与趋近于时，要使在区间上有实数根，则，解得综上实数的取值范围是本题正确结果【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，是中档题．16.定义若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期若为线周期函数，则的值为______. 【答案】1 【解析】【分析】根据线周期函数定义，建立方程，然后利用对比法进行求解即可．【详解】若为线周期函数则满足对任意，恒成立即，即则本题正确结果【点睛】本题主要考查函数周期的应用，新定义问题.结合新定义线周
期函数，建立方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为．1求函数的单调增区间；2将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得的解析式，再利用正弦函数的单调性求得的单调增区间；（2）由题意根据的图象变换规律，求得的解析式，再利用定义域和单调性，求得函数的值域．【详解】（1）由题意可得由题意知由解得的单调增区间为（2）由题意，把的图象向左平移个单位，得到再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的值域为【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．18.已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和. 【答案】1；2. 【解析】试题分析（1）由可得化为．由成等比数列，可得化为联立解得即可得出（2）利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．试题解析（1）因为，即即，①因为为等比数列，即所以，化简得②联立①和②得，所以（2）因为所以19.已知函数，．若，函数的图象与函数
的图象相切，求的值；若，，函数满足对任意，，都有恒成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）. 【解析】【分析】（1）设切点为，得到切线方程，可得，求解可得值；（2）当，时，，利用导数研究函数单调性，不妨设，原不等式，即，令，把原不等式转化为在上递减，由在上恒成立，分离参数后利用函数的单调性求最值得答案．【详解】（1）若，函数的图象与的图象相切设切点为，则切线方程为得（2）当，时，在上单调递增不妨设，原不等式即设，则原不等式在上递减即在上恒成立在上恒成立．函数在上递减又【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查数学转化思想方法，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．在求解恒成立问题时，通过分离变量方式得到参数与最值的比较是常用方式. 20.在中，是边上的点，，. （1）求；（2）若，求的面积. 【答案】1；2. 【解析】试题分析（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积．试题解析（1）在中，，得由，得在中，由正弦定理得，所以（2）因为，是锐角，所以设，在中，即化简得解得或（舍去）则由和互补，得所以的面积21.设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列已知，，，．1求和的通项公式；2设数列的前项和为，求；证明【答案】1，；2（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析（1）由题意得到关于的方程，
解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（2）（i）由（1），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解（1）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（1），有，故. （ii）因为，所以. 点睛本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.已知函数．当时，求的单调区间；令，在区间，为自然对数的底．（i）若函数在区间上有两个极值，求的取值范围；（ii）设函数在区间上的两个极值分别为和，求证．【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减；（2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求导，从而确定函数的单调性及单调区间；（2）（i），函数在区间上有两个极值，即在上有两个实数根；（ii）求得，等价于，即，得，不妨设，则，设，，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式．【详解】（1）时，，可得函数在上单调递增；上单调递减（2）在区间，为自然对数的底（i）函数在区间上有两个极值在上有两个实数根化为可得函数在上单调递增，在上单调递减时，取得极大值即最大值，由，时满足条件．（ii）证明设函数在区间上的两个极值分别为和，①则②等价于即③由①②③得不妨设，则，上式转化为设，则故函数是上的
增函数即不等式成立，故所证不等式成立【点睛】本题主要考查函数单调性、极值和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数的最值和零点问题.解题关键是能够构造出合适的新函数，从而将问题转化为函数最值的求解，综合性较强，整体运算量较大，属于难题．。