部编版七年级数学上册一元一次方程及其应用(专题讲义)(27)
人教部编版七年级数学上册32解一元一次方程合并同类项与移项全套优质课件
解：设所求三个数分别是x，-3x，9x. 由三个数的和是-1701，得 x - 3x + 9x = -1701. 合并同类项，得 7x = -1701. 系数化为1，得 x = -243. 所以-3x = 729 , 9x= -2187.
答：这三个数是-243，729，-2187.
若设所求的三个数中，中间的一个数为x， 则它前面的一个数为 x ，它后面的一个数
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
约公元820年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子 米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本书 的拉丁文译本取名为《对消与还原》. “对消” 与“还原”是什么意思呢？
某校三年共购买计算机140台，去年购买 数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2 倍．前年这个学校购买了多少台计算机？ 方法一：
合并同类项，得 － 1 x＝4. 2
系数化为1，得 x＝－8.
例4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺， 则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如 用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为2∶5，两种 工艺的废水排量各是多少？
分析：因为新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，所以可设它们分别为2x t和5x t，再根据 它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
如何将此方程转化为x＝a（a为常数）的形式? 把含有x的项合并同类项，得 7x＝140.
x+2x+4x=140 合并同类项
7x=140 系数化为1
等式的性质2 理论依据？
x=20
回顾本题列方程的过程，可以发 现：“总量=各部分量的和”是一个 基本的相等关系.
2023-2024学年人教部编版七年级数学上册第三章教案列一元一次方程解决隧道(过桥)问题
一、出示问题：一列火车匀速行驶，经过一条长1200米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口），需要1分钟的时间，车身完全在隧道里的时间为40秒。
根据以上所给数据，你能提出什么样的数学问题？
二、多向互动，精讲点拨：（分析问题、提出问题）：
1、先让所有学生齐读题目内容三遍。
设计意图：本题的关键在于读懂题目的意思，所以让学生多读几遍题目。
通过从学生比较熟悉的身边问题开始，激发学生的探究欲望，能给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，为本节课的继续探索做好准备。
也让学生注重观察生活，知道数学来源于生活。
2、让学生上黑板展示火车前进的模式，摆放好两种教具，并运用线形示意图来帮助分析问题（分组讨论，组内选派一个代表发言）。
3、学生分析其中内含的已知量与未知量及等量关系，找到关键字词，老师在大屏上勾画出条件和关键字词。
设计意图：带领学生阅读分析题中的已知条件，对有价值的信息进行整理归纳，目的在于培养学生提取有效信息的能力和提升学生数学阅读的能力。
还要注意：应用题里单位不统一的要统一。
设计意图：利用线形示意图来分析实际问题中的数量关系，把线形示意图作为建模策略，分析行程问题中的数量关系，让学生感受到利用限行示意图分析实际问题的直观性和优越性，为列方程解决实际问题打好基础。
两种状态下，火车所走的路程是解决整个问题关键，也是难点，将这一环节设置成小组活动，让学生动手操作、合作交流，找出两种状态下，火车所走的路程意在突破难点。
人教部编版七年级数学上册《三章 一元一次方程 数学活动》优质课课件_4
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活动
解题后回顾反思： （1）解决本题用到什么知识？ （2）解决本题用到什么方法？ （3）解决本题可能遇到的障碍是什么？如何解决？ （4）试想，如果教科书中直接给出最后一段的问题， 你认为题目是变简单了还是变难了？为什么？教科 书中的实验起到了什么作用？
活动
总结 （1）在实践中找到规律，总结知识，运用知识解决 问题 （2）明确问题中的已知量和未知量，分析实际问题 中的等量关系，根据等量关系，列出方程
支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与b；
（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后
把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录
此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与重复以上操作和
记录.
实验次数
小物体数 右左
a与b的 值
ab
n与a之间的关系
第1次 1 1
第2次 1 2
活动2
练习： 为了给一本厚书标上页码，印刷工人用了2 989个
数字.这本书有多少页？
解：印一你本能有估9计页出的这书本需书要的9个页数码字的；范围吗？ 印一本有印9一9页本的有书9页需的要书9+需(9要9-9多)×少2个=1数8字9（？个）数字； 印一本有印9一99本页有的9书9页需的要书需要多少个数字？
第三章 一元一次方程
数学活动
活动
用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下
列实验：
什么是平衡？
（1）在木杆中间栓绳，水平将静木止杆状吊态起. 来并使其左右
平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保
持平衡；
（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这
两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时
七年级数学上册《一元一次方程》课件
（6）3b-3<10 ；
例2 若关于x的方程 2x n 1 9 0 是一元一次方程，则 n 的值为 2或－2. 变式：方程 (m 1)x m 1 0是关于x的一元一次方程，则
m= 1 .
方法：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
考考你 1.方程3x5-2k -8=0是关于x的一元一次方程，则k=__2___. 2.方程x|m| +4=0是关于x的一元一次方程，则m=_1_或__-1_. 3.方程(m-1)x -2=0是关于x的一元一次方程，则m__≠_1__.
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87
列方程：1.2 0.8x 2 0.960 x 87 .
思考：1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2. 列方程的依据是什么？
抓关键句子找等量关系
实际问题
一元一次方程
设未知数列方程
试一试 根据下列问题，设出未知数，列出方程： (1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25 米，求这个足球场的宽．
等量关系：女生人数- 男生人数=8， 列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
例4 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售 价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动， 铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果 两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
买甲种共用的钱+买乙种共用的钱=9元 甲种支数+乙种支数=20支
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支. 0.3x+0.6(20－x)=9
七年级上册数学一元一次方程应用题知识点
七年级上册数学一元一次方程应用题的知识点主要包括以下几个方面：
1.方程的概念：了解方程的基本定义，即含有未知数的等式。
2.一元一次方程的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将一元一
次方程化为标准形式，并求解。
3.方程的解与解集：理解方程的解是指使方程成立的未知数的值，而解集则是指所有
满足方程的未知数的值的集合。
4.实际问题的数学模型：能够将实际问题转化为数学问题，通过建立一元一次方程来
求解。
在应用题方面，通常会涉及到以下几种类型：
1.相遇问题：两个物体在某一点相遇，需要求出它们的速度和时间等参数。
2.追及问题：一个物体追赶另一个物体，需要求出追赶的速度和时间等参数。
3.利润与折扣问题：涉及到商品的利润和折扣计算，需要建立一元一次方程来求解。
4.工程的分配问题：需要分配一定量的工程任务给多个工人或机器，需要根据各自的
效率或能力进行分配，需要建立一元一次方程来求解。
总之，七年级上册数学一元一次方程应用题的知识点包括方程的概念、一元一次方程的解法、方程的解与解集以及实际问题的数学模型等。
通过掌握这些知识点，可以更好地解决实际问题。
初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文五篇
初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文五篇星星从不嫉妒太阳的灿烂辉煌，它在自己的岗位上尽力发光。
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初中七年级上册数学《解一元一次方程》教案优质范文一教材分析:《解一元一次方程(一)合并同类项与移项》是义务教育教科书七年级数学上册第三章第二节的内容。
在此之前，学生已学会了有理数运算，掌握了单项式、多项式的有关概念及同类项、合并同类项，和等式性质，进一步将所学知识运用到解方程中。
这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
合并同类项与移项是解方程的基础，解方程它的移项根据是等式性质1、系数化为1它的根据是等式性质2，解方程是今后进一步学习不可缺少的知识。
因而，解方程是初中数学中必须要掌握的重点内容。
设计思路：《数学课程标准》中明确指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
基于以上理念，结合本节课内容及学生情况，教学设计中采用了探究发现法和多媒体辅助教学法，在学生已有的知识储备基础上，利用课件，鼓励和引导学生采用自主探索与合作交流相结合的方式进行学习，让学生始终处于积极探索的过程中，通过学生动手练习，动脑思考，完成教学任务。
其基本程序设计为：复习回顾、设问题导入探索规律、形成解法例题讲解、熟练运算巩固练习、内化升华回顾反思、进行小结达标测试、反馈情况作业布置、反馈情况。
教学目标：1、知识与技能：(1)通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步认识方程模型的重要性;(2)、掌握移项方法，学会解“a·+b=c·+d”的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想。
2、过程与方法：通过解形如“a·+b=c·+d”形式的方程，体验数学的建模思想。
3、情感、态度与价值观：通过合作探究，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
教学重点：建立方程解决实际问题，会解“a·+b=c·+d”类型的一元一次方程。
新部编版初中七年级数学上册第三章3.4 实际问题与一元一次方程精品优质公开课课件
探究新知
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉
x × 1 200 ＝ 1 200 x
螺母
22－x × 2 000 ＝ 2 000(22－x)
人数和为22人 如果设x名工人生产 螺母，怎样列方程？
列方程： 2 000(22－x)＝2×1 200x
螺母总产量 是螺钉的2倍
探究ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 22－x × 1 200 ＝ 1 200 (22－x)
螺母
x × 2 000 ＝ 2 000x
人数和为22人 如果设x名工人生产 螺母，怎样列方程？
列方程： 2 000x＝2×1 200(22－x)
螺母总产量 是螺钉的2倍
列表分析：
的关系考虑问题.
人均效率 人数 时间 工作量
前一部 分工作
后一部 分工作
1 40
× x ×4＝
4x 40
1 40
×(x＋2 )× 8 ＝
8(x 2) 40
4x ＋ 8( x＋2)＝1 40 40
工作量之和等 于总工作量1
探究新知
解：设安排 x 人先做4 h. 依题意得： 4x ＋ 8( x＋2)＝1
本课时学习了一元一次方程与配套问题和工程问题，在 配套问题中，要弄清楚数量之间的关系，在工程问题中， 要弄清工作量、工作时间、工作效率之间的关系.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包 括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程 ，解方程，检验所得结果，确定答案.正确分析问题中 的相等关系是列方程的基础.
(完整版)七年级上数学第1讲一元一次方程的解法及应用
七秋第1讲一元一次方程的解法及应用11一、 知识要点一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1,系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元” 是指未知数，"次”是指含未知数的项的最高次数.解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为 1.这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根 据方程的特点灵活运用.二、 例题精选一元一次方程的概念：【例1】(1)若(a 1)x 冋a 5是关于x 的一元一次方程，则 a 的值是 ____________________________ .【巩固1】⑴若kx 3 2k 2k 3是关于x 的一元一次方程，则k2⑵ 若(m 2)x m 3 5是关于x 的一元一次方程，则 (3)关于 x 的方程(m-1 ) x 2- (m-1) x+1=0 是一元 元一次方程的解:k -3x有相同的解，求k 的值.【例2】若关于x 的方程2x-3=1和【巩固2】若关于x 的一元一次方程 2x313 x 3k =1的解为x=-1，则k 的值为() 2(2)已知(2 m 3)x 2 (2 3m)x 1是关于x 的一元一次方程，则 m(3)方程(m 1)x lm| 1 A.—4 2n 是关于x 的一元 B . 54 次方程，若 n 是它的解，贝U n m ().D. ? 4 C. 3 4 m 的值是次方程，则 2m-1 =七秋第1讲一元一次方程的解法及应用11解一元一次方程:【例3】⑴ 方程（3x 2) 2(2 x 1)0去括号正 1确的是 ( )A . 3x 22x 1 0 B . 3x 2 4x 1 0C. 3x 24x 2 0 D . 3x 2 4x 2 0⑵ 方程x 32 x 1 x 去分母正确 的是（ )5 2 A . 2(x 3) 2 x 5(x :1) B . 2x 3 20 10x 5x 1C . 2(x 3) 20 10x 5(x 1)D . (x 3) 20 10x (x 1) x 14 x 【巩固3】①解方程 =1时，去分母正确的是( )32 A. 2 (x-1 ) -3 (4x-1 ) =1 B . 2x-1-12+x=1 C . 2 (x-1 ) -3 (4-x ) =6 D . 2x-2-12-3x=6②解方程2 4x 3 5 6 3x 22 x 1时，去完括号之后得到的是:【巩固4】解方程5【例5】解方程：1丄丄y ? 33 1 2 24 2【例4】⑴解方程y 口 2 口23⑵解方程专1专 2x 1 5解一元一次方程:1 12 【例6】解方程：一(2x 3) (3 2x) x11 19 133 13三、回家作业【练习1】(1)下列选项是一元一次方程的是( )A. x 0B. m 3nC. x 1D. x 2(2)关于x的方程(n 1)x2 nx x 8 0是一元一次方程，则n的值是___________________________⑶若关于x的方程(2 |m|)x2 (m 2)x (5 2m) 0是一元一次方程，求m的解.【练习2] 解方程：2 4x 3 5 6 3x 2 2 x 1【练习3] 解方程：△4— 14 6 18【练习4] 解方程：1) 6] 2 03 4 3【练习5] 解方程：3(x 1) [(x 1) 2(x 1) -(x 1)3 2。
一元一次方程的应用ppt课件
知1－练
3-1. [期末·上海松江区]甲、乙两个车间工作人员的人数之
知1－练
比是3∶ 4，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，
即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是
乙车间人数的 ，甲车间原有多少人？
解：设甲车间原有3x人，则乙车间原有4x人，
(1) 求八年级选取的人数；
解：设八年级选取x人，则九年级选取2x人，
由题意，得25＋x＋2x＝100，解得x＝25.
答：八年级选取25人．
知1－练
(2)如果下一次学校选取志愿者，七年级的人数至少要
30人，则七年级志愿者人数至少要增加百分之几？
解：(30－25)÷25＝20%.
答：七年级志愿者人数至少要增加20%.
若甲、乙同时出发，则相遇时，甲用的时间 = 乙用的时间 .
(2) 追及问题中的相等关系： ①当快者追上慢者时，快者走的
路程 －慢者走的路程 = 追及路程；②若同时出发，当快者
追上慢者时，快者用的时间 = 慢者用的时间 .
(3) 航行问题中的相等关系： 顺水(顺风)速度 = 静水(无风) 速度
+ 水(风)速，逆水(逆风)速度 = 静水(无风)速度 －水(风)速 .
速度为 60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为 90 km/h.
(1)若两车相向而行，慢车先开 30 min，快车开出几小时
后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距
1 800 km ？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小
时后两车相距 1 200 km(此时快车在慢车的后面)？
同向：两列火车所行路程的差 = 两列火车车身长的和 .
七年级数学上册第五章《一元一次方程》全章各课时课件
边)，已知项集中于方程的另一边(右边).
2020年4月25日星期六 15:58:42
例 题 讲 解
2020年4月25日星期六 15:58:44
巩 固 练 习
2020年4月25日星期六 15:58:45
如果设2000年第五次全国人口普查时每10万
人中约有x人具有大学文化程度，那么可以得到 方程： x(1+147.30%)=8 930 .
2020年4月25日星期六 15:58:18
某长方形操场的面积为5 850 m2，长和宽之
差为25 m，这个操场的长与宽分别是多少米？
探
如果设这个操场的宽为x m，那么长为(x
归 纳 小 结
2020年4月25日星期六 15:58:46
2020年4月25日星期六 15:58:47
情 境 导 入 一听果奶饮料多少钱？
这个方程你会解吗？ 如果设1听果奶饮料x元，那么可列出方
程： 4(x+0.5)+x=10-3..
2020年4月25日星期六 15:58:49
第 五 章
一 元 一 次 方 程
2020年4月25日星期六 15:58:29
等式的基本性质：
探
等式两边同时加上（或减去）同一个
索 代数式，所得结果仍是等式.
新
等式两边同时乘同一个数（或除以同
知 一个不为0的数），所得结果仍是等式.
2020年4月25日星期六 15:58:31
下列用等式性质进行的变形中，那些是正
确的，并说明理由
巩 （1）若x=y，则5+x=5+y ； 固 （2）若x=y，则5-x=5-y； 练 （3）若x=y，则5x=5y； 习 （（45） ）若 若xax=y，ay则，5x则b5yx=；by；
初一数学《一元一次方程的应用》PPT课件
192 x 12 6
2 2
2
• 变式1、一标志性建
筑的底面是边长为6 米正方形，在其四 周铺上花岗石，形 成一个宽为3米的正 方形边框，已知铺 上这个边框恰好用 了x块边长为0.75米 的正方形花岗石， 求X是多少? 怎样根据等量关系列出方程？
3
0.75 x 12 6
2 2
2
小结：
原有人数 23 17 增加人数 20-x x 增加后人数 23+x 17+20-x
甲处增加后人数=2×乙处增加后人数
在解决实际问题时,我们一般可以 通过分析实际问题, 抽象出数学问题, 然后运用数学思想方法解决问题.用列 表分析数量关系是常用的方法.
•
例1、一标志性建筑的 底面是正方形，在其四 周铺上花岗石，形成一 个宽为3米的正方形边 框，已知铺上这个边框 恰好用了192块边长为 0.75米的正方形花岗石， 问标志性建筑的底面边 长是多少米？
3
X
3
2x 6 3 4 0.75 0.75 192 2
•
例1、一标志性建筑的 底面是正方形，在其四 周铺上花岗石，形成一 个宽为3米的正方形边 框，已知铺上这个边框 恰好用了192块边长为 0.75米的正方形花岗石， 问标志性建筑的底面边 长是多少米？
3
X
3
4 3 x 32 0.75 0.75 192
•
例1、一标志性建筑的 底面是正方形，在其四 周铺上花岗石，形成一 个宽为3米的正方形边 框，已知铺上这个边框 恰好用了192块边长为 0.75米的正方形花岗石， 问标志性建筑的底面边 长是多少米？
3
X
3
4 3 x 3 0.75 0.75 192
部编数学七年级上册专题07一元一次方程的应用(12大考点)专题讲练(解析版)含答案
专题07 一元一次方程的应用（12大考点） 专题讲练一元一次方程的应用题属于人教版七年级上期期末必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、行程问题、工程问题、方案优化选择、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题、动态问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1、知识储备2、经典基础题考点1. 分段计费问题考点2. 行程问题考点3. 工程问题考点4. 方案优化问题考点5. 商品销售问题考点6. 比赛积分问题考点7. 配套问题考点8. 调配问题考点9. 数字与日历问题考点10．和、差、倍、分（比例）问题考点11. 几何问题（等积问题）考点12. 动态问题3、优选提升题1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题¾¾¾®分析抽象方程¾¾¾®求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 2 .建立书写模型常见的数量关系1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。
在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。
我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。
我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量等。
3.分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
人教部编版七年级数学上册《第三章 一元一次方程【全章】》精品PPT优质课件
（2）一台计算机已使用1700 h，预计每月 再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时 间达到规定的检修时间2450 h？
解： 设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h， 那么在x月里这台计算机使用了150x h.
列方程
1700 + 150x = 2450
5. 列方程：
（1）某校七年级（1）班共有学生48人，
其中女生人数比男生人数的
4 5
多3人，这个班
有男生多少人？
解：设这个班有男生x人 x+（ 4 x+3）=48 5
（2）把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名 学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50 元，获得一等奖的学生有多少人？ 解：设获得一等奖的学生有x人
（4）x的三分之一减y的差等于6
x y6
____3______________
（5）比a的3倍大5的数等于a的4倍
___3_a_+__5_=__4_a_______
（6）比b的一半小7的数等于a与b的和
1
___2__b_-_7_=__a_+__b_____
4. x=3，x=0，x=-2，各是下列哪个方程的解？ （1）5x+7=7-2x; （2）6x-8=8x-4; （3）3x-2=4+x.
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了（20x）支，
0.3x+0.6（20-x）= 9
3.一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm， 面积是40 cm2，求上底．
解：设上底为x cm，
1（x+x+2）×5 = 40 2
4.用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯， 大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的 单价各是多少元？
部编数学七年级上册专题3.4一元一次方程与动点问题(强化)(解析版)含答案
专题3.4 一元一次方程与动点问题【例题精讲】【例1】如图，数轴上的点O 和点A 分别表示0和10，点P 是线段OA 上一动点．点P 从点O 出发沿O A ®的方向以每秒2个单位的速度向A 运动，B 是线段OA 的中点，设点P 运动时间为t 秒(t 不超过5秒）．若点P 在运动过程中，当2PB =时，则运动时间t 的值为( )A ．72B ．32C ．3或7D ．32或72【解答】解：Q 动点P 所表示的数是2t ，2PB =Q ，B Q 是线段OA 的中点，\点B 所表示的数是5，|25|2t \-=，252t \-=-，或252t -=，解得32t =或73．故选：D ．【例2】如图，已知线段40AB cm =．动点P 从点A 出发以每秒3cm 的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度向点A 运动，有一个点到达终点时另一点也随之停止运动．当15PQ cm =时，则运动时间 5秒或11秒 ．【解答】解：设运动的时间为t 秒，当15PQ cm =时，分两种情况：①P 与Q 相遇之前，PQ AB AP BQ =--Q ，403215t t \--=，解得5t =；②P 与Q 相遇之后，15AP BQ AB +=+Q ，324015t t \+=+，解得11t =．故答案为：5秒或11秒．【例3】已知|1||5|0a b ++-=，点A 、B 在数轴上对应的数分别是a 、b ．（1）求a 、b 的值，并在数轴上标出点A 和点B ；（2）若动点P 从点A 出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒1个单位长度，求几秒后点P 与点B 的距离是3个单位长度；（3）在（2）的条件下，动点Q 同时以每秒2个单位长度的速度，从点B 出发向数轴负方向运动，求几秒后点P 与点Q 的距离等于3个单位长度．【解答】解：（1）因为|1|0a +…，|5|0b -…，且|1||5|0a b ++-=，所以10a +=，50b -=，所以1a =-，5b =；（2）因为1a =-，5b =，所以6AB =，根据题意，当点P 在点B 左侧3个单位长度时，(63)13AP =-¸=（秒)，当点P 在点B 右侧3个单位长度时，(63)19AP =+¸=（秒)．答：3秒或9秒后点P 与点B 的距离是3个单位长度；（3）设t 秒后点P 与点Q 的距离等于3个单位长度，①当点P 与点Q 相遇前时，根据题意得：236t t ++=，解得1t =；②当点P 与点Q 相遇后时，根据题意得：236t t +-=，解得：3t =，综上所述，1秒或3秒后，点P 与点Q 的距离等于3个单位长度．【题组训练】一．选择题（共7小题）2．如图，已知数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a 、b 满足2(10)|6|0a b -++=．动点P 从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．若点P 、Q 同时出发，当P 、Q 两点相距4个单位长度时，t 的值为( )A ．3B ．5C ．3或5D ．1或53【解答】解：2(10)|6|0a b -++=Q ，100a \-=，60b +=，10a \=，6b =-，Q 动点P 从点A 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒，P \表示的数是108t -，Q 表示的数是64t --，|(108)(64)|4t t \----=，即|164|4t -=，解得3t =或5t =，故选：C ．3．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为10-，2OB OA =，点M 以每秒1个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒3个单位长度的速度从点B 向左运动（点M 、点N 同时出发）．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？( )A ．5秒B ．5秒或者4秒C ．5秒或304秒D ．304秒【解答】解：Q 点A 表示的数为10-，2OB OA =，\点B 表示的数为20，设点M 、点N 运动时间是t 秒，根据题意，M 表示的数是10t -+，N 表示的数是203t -，Q 点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，|10||203|t t \-+=-，10203t t \-+=-或10(203)t t -+=--，解得304t =或5t =，故选：C ．4．如图，数轴上点A 和点B 表示的数分别是6-和4，动点M 从A 点以每秒3cm 的速度匀速向右移动，动点N 同时从B 点以每秒1cm 的速度匀速向右移动．设移动时间为t 秒，当动点N 到原点的距离是动点M 到原点的距离的2倍时，t 的值为( )A ．87B ．127C ．87或165D ．127或165【解答】解：当点M 在原点的左侧时，由题意可得：42(63)t t +=-，87t \=，当点M 在原点的右侧时，由题意可得：42(63)t t +=-+，165t \=，综上所述：t 的值为：87或165，故选：C ．5．如图所示，已知数轴上点A 表示的数为8，点B 表示的数为6-．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，点P 运动( )秒追上点Q ．A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：设点P 运动x 秒追上点Q ．线段BA 的距离|68|14=--=．由题意，得3145x x +=．解得7x =．故选：C ．6．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点D ，B 同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了( )A ．252次B ．253次C ．254次D ．255次【解答】解：Q 正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点D ，B 同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，乙的速度为9厘米/秒，甲的速度为3厘米/秒，\甲、乙两点经过4秒第一次相遇，相遇时路程和是48厘米，(244)(93)8´¸+=Q ，\第一次相遇后每过8秒相遇一次，而(20224)8252.25-¸=，\当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇了2521253+=次，故选：B ．7．如图，数轴上的点O 和点A 表示的数分别是0和10，P 是线段OA 上一动点．点P 沿O A O ®®以每秒2个单位长度的速度往返运动1次，B 是线段OA 的中点，设点P 运动的时间为t 秒(10)t …．在点P 运动的过程中，当2PB =时，则点P 运动的时间t 的值为( )A ．32或72B ．3或7C ．32或72或132或172D ．3或132或7或172【解答】解：①当05t ……时，动点P 所表示的数是2t ，2PB =Q ，|25|2t \-=，252t \-=-，或252t -=，解得32t =或72t =；②当510t ……时，动点P 所表示的数是202t -，2PB =Q ，|2025|2t \--=，20252t \--=，或20252t --=-，解得132t =或172t =．综上所述，运动时间t 的值为32或72或132或172．故选：C ．二．填空题（共18小题）8．数轴上A ，B 两点表示的数分别为4-，2，C 是射线BA 上的一个动点，以C 为折点，将数轴向左对折，点B 的对应点落在数轴上的B ¢处．（1）当点C 是线段AB 的中点时，线段AC = 3 ．（2）若3B C AC ¢=，则点C 表示的数是 ．【解答】解：（1）A Q ，B 两点表示的数分别为4-，2，2(4)6AB \=--=．Q 点C 是线段AB 的中点，132AC AB \==．故答案为：3．（2）根据折叠知BC B C ¢=，2B C BC x ¢\==-，|(4)|AC x =--，3B C AC ¢=Q ，23|(4)|x x \-=--，23(4)x x \-=+或23(4)x x -=--，解得 2.5x =-或7x =-．故答案为： 2.5-或7-．10．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-与3．点P 从A 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点Q 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀速运动．设P 、Q 两点的运动时间为t 秒，当12PQ AB =时，t = 2或6或23 ．【解答】解：①Q 点向右运动，t Q 秒后，点P 表示的数12t -+，点Q 表示的数为3t +，|(3)(12)||4|PQ t t t \=+--+=-，又122PQ AB ==Q ，|4|2t\-=，解得：2t=或6；②Q点向左运动，tQ秒后，点P表示的数12t-+，点Q表示的数为3t-，|(3)(12)||43|PQ t t t\=---+=-，又122PQ AB== Q，|43|2t\-=，解得：2t=或23，\当t为2或6或23，12PQ AB=，故答案为：2或6或23．11．如图，C、D、E、F为直线AB上的4个动点，其中10AC=，14BF=．在直线AB 上，线段CD以每秒2个单位的速度向左运动，同时线段EF以每秒4个单位的速度向右运动，则运动 2或4 秒时，点C到点A的距离与点F到点B的距离相等．【解答】解：设运动t秒时，点C到A的距离与点F到点B的距离相等，根据题意的102144t t-=-，或102414t t-=-，解得：2t=或4t=，故运动2或4秒时，点C到A的距离与点F到点B的距离相等，故答案为：2或4．12．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10-，点B表示的数为30，点M以每秒6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 54或52 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．【解答】解：设经过t秒点M、N到原点O的距离相等，若点M在点O左侧，则(106)2t t--+=，解得54t=；若点M在点O的右侧，则点M与点N重合时，点M、N到原点O的距离相等，所以1062t t-+=，解得52t=，综上所述，经过54秒或52秒，点M、N到原点O的距离相等，故答案为：54秒或52秒．13．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10-，点B表示的数为30．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右移动，点N以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过 2或103 秒，点M、点N分别到点O的距离相等．【解答】解：设经过t秒点M、N到原点O的距离相等，若点M在点O左侧，则(104)t t--+=，解得2t=；若点M在点O的右侧，则点M与点N重合时，点M、N到原点O的距离相等，所以104t t-+=，解得103t=，综上所述，经过2秒或103秒，点M、N到原点O的距离相等，故答案为：2或103．14．已知线段6AB cm=，直线AB上有一动点C从点A出发向右沿直线AB运动，速度为每秒2cm，运动时间为ts，当:2:1AB BC=时，t的值为 32或92 s．【解答】解：Q点C从点A出发向右沿直线AB运动，速度为每秒2cm，运动时间为ts，|62|()BC t cm\=-，:2:1AB BC=Q，62|62|t \=-，32t \=或92，故答案为：32或92．15．如图，在数轴上，点A ，B 表示的数分别是10-，14．点P 以每秒2个单位长度从A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 以每秒3个单位长度从点B 出发沿数轴在B ，A 之间往返运动，设运动时间为(0)t t >秒．当点P ，Q 之间的距离为8个单位长度时，t 的值为 165秒或325秒或16秒 ．【解答】解：Q 点A ，B 表示的数分别是10-，14，10OA \=，14OB =，24OA OB \+=，①当点P 、Q 没有相遇时，由题意得：1021438t t -+-=，解得：165t =②当点P 、Q 相遇后，点Q 没有到达A 时，由题意得：2103148t t -+-=，解得：325t =③当点Q 到达A 返回时，由题意得：2(324)8t t --=，解得：16t =．综上所述，当点P ，Q 之间的距离为8个单位长度时，t 的值为165秒或325秒或16秒．16．数轴上A 、B 两点对应的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离表示为：||AB a b =-．若数轴上A 、B 两点对应的数分别为a 、b ，且满是2|5|(10)0a b ++-=．（1）求得A 、B 两点之间的距离是 15 ；（2）若P 、Q 两点在数轴上运动，点P 从A 出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q 从B 出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．经过 秒，P 、Q 两点相距5个单位长度．【解答】解：（1）2|5|(10)0a b ++-=Q ，50a \+=，100b -=，解得5a =-，10b =，A \、B 两点之间的距离是10515+=，故答案为：15；（2）设经过x 秒，P 、Q 两点相距5个单位长度，x 秒后，点P 表示的数是25t -，点Q 表示的数是103t -，依题意得，|(25)(103)|5t t ---=，解得4t =或2，故答案为：4或2．17．已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为1-，0，3，点P 为数轴上一点，其对应的数为x ．如果点P 以每分钟1个单位长度的速度从点O 向左运动，同时点M 和点N 分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t 分钟时点P 到点M 、点N 的距离相等，则t 的值为 23或4 ．【解答】解：由题意，t 分钟时，点P 所表示的数为0t t -=-，点M 所表示的数为12t --，点N 所表示的数为33t -，点P 到点M 、点N 的距离相等时，则：|(12)||(33)|t t t t ----=---，解得：23t =或4t =，故答案为：23或4．18．如图，在数轴上点O 是原点，点A 、B 、C 表示的数分别是12-、8、14．若点P 从点A 出发以2个单位/秒的速度向右运动，其中由点O 运动到点B 期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，点Q 从点C 出发，以1个单位/秒的速度向左运动，若点P 、Q 同时出发，则经过 7.6或10 秒后，P 、Q 两点到点B 的距离相等．【解答】解：设经过t 秒后，P 、Q 两点到点B 的距离相等，由题意，12AO =，8OB =，1486BC =-=，点P 到达O 点的时间为1226¸=秒，此时点C 到达B 点，故6t >，即Q 在B 的左边，①当P 在点B 的左边时，P 表示的数为4(6)424t t -=-，C 表示的数为14t -，由PB CB =得：42414t t -=-，解得：7.6t =；②当P 在B 的右边时，Q 点P 到达点B 的时间为6848+¸=秒，\点P 表示的数为82(8)28t t +-=-，C 表示的数为14t -，由PB CB =得：(28)88(14)t t --=--，解得：10t =，综上，经过7.6或10秒后，P 、Q 两点到点B 的距离相等，故答案为：7.6或10．19．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数是5-，3OB OA =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 向终点B 运动，同时，另一个动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位的速度在线段AB 上来回运动（从点B 向点A 运动，到达点A 后，立即原速返回，再次到达B 点后立即掉头向点A 运动，掉头时间忽略不计）．当点P 达到点B 时，P 、Q 两点都停止运动．当点P 运动 407或8或1207 秒时，点Q 恰好落在线段AP 的中点上．【解答】解：设运动时间为t秒，当203t……时，AP t=，203PQ t=-，由点Q是线段AP的中点可得2(203)t t-=，解得407t=；当204033t<…时，AP t=，320PQ t=-，由点Q是线段AP的中点可得2(320)t t-=，解得8t=；当40203t<…时，AP t=，603PQ t=-，由点Q是线段AP的中点可得2(603)t t-=，解得1207t=；故答案为：407或8或1207．20．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边 DC 上．【解答】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1:3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为18213´=+，乙行的路程为826-=，在AD边相遇；②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为116413´=+，乙行的路程为16412-=，在DC边相遇；③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为116413´=+，乙行的路程为16412-=，在CB边相遇；④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为116413´=+，乙行的路程为16412-=，在AB边相遇；¼202250542=´+Q，\它们第2022次相遇在边DC．故答案为：DC．21．如图，在直线m上顺次取A，B，C三点，使得3AB cm=，1BC cm=，取线段AC的中点D．若动点P从点A出发以2/cm s的速度沿射线AC方向运动，设运动时间为t s，当5DP DB=时，t的值为 3.5 s．【解答】解：3AB cm=Q，1BC cm=，4AC cm\=，DQ是线段AC的中点，2AD cm\=，1DB AB AD cm\=-=，依题意有：2251t-=´，解得 3.5t=．故答案为：3.5．22．如图，数轴上A，B两点对应的数分别为10，3-，点P和点Q同时从原点出发，点P 以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q以每秒3个单位长度的速度先沿数轴负方向运动，到达B点后再沿数轴正方向运动，当点Q到达点A后，两个点同时结束运动．设运动时间为t秒，当P，Q两点距离为2个单位长度时，t的值为 12或2或4 ．【解答】解：当01t ……时，32t t +=，解得12t =，当1613t <…时，点Q 表示的数是33(1)36t t -+-=-，点P 表示的数是t ，|36|2t t \--=，解得4t =或2．综上，t 的值是12或2或4．故答案为：12或2或4．23．已知数轴上两点A ，B 对应的数分别是1-和2，M 从A 出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，N 从B 出发以每秒6个单位长度的速度向左运动．假设点M ，N 同时出发，经过 14t =或54t = 秒后，M ，N 之间的距离为2个单位．【解答】解：设经过t 秒后M ，N 之间的距离为2个单位，依题意得：|12(26)|2t t ----=，解得：14t =或54t =．故答案为：14t =或54t =．24．已知点A 、B 在数轴上，点A 表示的数为5-，点B 表示的数为15．动点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点P 移动 5或10 秒后，3PA PB =．【解答】解：设点P 移动t 秒后，3PA PB =，则3AP t =，15520AB =+=，当点P 在AB 之间时，如图1所示：203PB AB PA t =-=-，33(203)t t \=-，解得：5t =；当点P在AB延长线时，如图2所示：320PB PA AB t=-=-，33(320)t t\=-，解得：10t=；综上所述，点P移动5秒或10秒后，3PA PB=，故答案为：5或10．25．如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段；线段AB，线段AC，线段CB，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C为线段AB的“奇分点”．若30AB cm=，如图②，点M从点B开始以每秒3cm的速度向A运动，当点M到达A点时停止运动，运动的时间为t秒．当t= 5或103或203 秒，M是线段AB的“奇分点”（写出一种情况即可），如果同时点N从点A的位置开始以每秒2cm的速度向点B运动，如图③所示，并与M点同时停止，则当t= 秒，M是线段AN的“奇分点”．【解答】解：（1）分情况讨论：当2AB BM=时，有2330t´=，解得：5t=；当2AM BM=时，有30323t t-=´，解得：103t=；当2BM AM=时，有32(303)t t=-，解得：203t=；综上，当t为5秒或103秒或203秒时，点M是线段AB的“二倍点”，故答案为：5或103或203；（2）M Q 是线段AN 的“奇分点”，M \点在线段AN 上，即AN AM AB +>，5t \>，530MN AN AM t \=-=-，①2AN MN =，此时M 为AN 中点，22(530)t t =-，解得：152t =；②2AM MN =，此时3032(530)t t -=-，解得：9013t =；③2MN AM =，此时5302(303)t t -=-，解得：9011t =；\当M 是线段AN 的“奇分点“时，t 的值为9011或9013或152．故答案为：9011或9013或152．三．解答题（共15小题）27．已知数轴上两点A ，B 对应的数分别为8-和4，点P 为数轴上一动点，若规定点P 到A 的距离是点P 到B 的距离的3倍时，我们就称点P 是关于A B ®的“好点”．（1）若点P 到点A 的距离等于点P 到点B 的距离时，点P 表示的数是 2- ；（2）①若点P 运动到原点O 时，此时点P 关于A B ®的“好点”（填是或者不是）；②若点P 以每秒1个单位的速度从原点O 开始向右运动，当点P 是关于A B ®的“好点”时，点P 的运动时间 ；（3）若点P 在原点的左边（即点P 对应的数为负数），且点P ，A ，B 中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P 表示的数 ．【解答】解：（1）Q 数轴上两点A ，B 对应的数分别为8-和4，点P 到点A 、点B 的距离相等，\点P 表示的数是8422-+=-；故答案为：2-；（2）①当点P 运动到原点O 时，8PA =，4PB =，3PA PB ¹Q ，\点P 不是关于A B ®的“好点”；故答案为：不是；②根据题意可知：设点P 运动的时间为t 秒，8PA t =+，|4|PB t =-，83|4|t t \+=-，解得1t =或10t =，\故答案为：1秒或10秒；（3）根据题意可知：设点P 表示的数为n ，8PA n =+或8n --，4PB n =-，12AB =，分五种情况进行讨论：①当点A 是关于P B ®的“好点”时，||3||PA AB =，836n \--=，解得44n =-；②当点A 是关于B P ®的“好点”时，||3||AB AP =，3(8)12n \--=或3(8)12n +=，解得12n =-或4n =-；③当点P 是关于A B ®的“好点”时，||3||PA PB =，83(4)n n \--=-或83(4)n n +=-，解得10n =或1（不符合题意，舍去）；④当点P 是关于B A ®的“好点”时，||3||PB AP =，43(8)n n \-=+或43(8)n n -=--，解得5n =-或14n =-；⑤当点B 是关于P A ®的“好点”时，||3||PB AB =，436n \-=，解得32n =-．综上所述：所有符合条件的点P 表示的数是：4-，5-，12-，14-，32-，44-，故答案为：4-，5-，12-，14-，32-，44-．28．在数轴上有A ，B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当0b …时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动||b 个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“联动点”．如图，点A 表示的数为1-．（1）在图中画出当4b =时，点A 关于点B 的“联动点” P ；（2）点A 从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点B 从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．①点B 表示的数为 7t - （用含t 的式子表示）；②是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“联动点” P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 当0b …时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；P \表示的数是121-+=，如图：（2）①点B 表示的数为7t -，故答案为：7t -；②不存在P 恰好与原点重合，理由如下：A 表示的数是1t -+，当70t -…，P 表示的数是1210t t -++=+>，\此时不存在P 恰好与原点重合；当70t -<时，P 表示的数是1|7|1(7)6t t t t -+--=-+--=，\此时不存在P 恰好与原点重合，综上所述，不存在P 恰好与原点重合．29．在数轴上点A 表示a ，点B 表示b ，且a 、b 满足|5||7|0a b ++-=．（1）求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离．（2）若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？（3）若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q 从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？Q，++-=a b【解答】解：（1）|5||7|0\=-，7b=，a5--=；\与点B之间的距离为7(5)12AQ与点B之间的距离为12，（2）A\¸=（秒)，1226答：运动6秒后，点P到达B点；-¸+=（秒)，（3）P、Q相遇前：(124)(13)2+¸+=（秒)，P、Q相遇后：(124)(13)4答：运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度．30．【概念学习】点A，B，C为数轴上的三点，如果点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，那么我们B的偶点．就称点C是{A、}-，点B表示的数为1，表示0的点C到点A的距离是2，到点B 如图1，点A表示的数为2B的偶点；表示1-的点D到点A的距离是1，到点B的距的距离是1，那么点C是{A、}B的偶点，但点D是{B、}A的偶点．离是2，那么点D就不是{A、}【初步探究】-，点N表示的数为5，若点F是已知如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数为1{M、}N的偶点，回答下列问题：（1）当F在点M，N之间，点F表示的数为 3 ；（2）当F为数轴上一点，点F表示的数为 ．【深入思考】如图3，P、Q为数轴上两点，点P表示的数为20-，点Q表示的数为40，现有一个动点E 从点Q出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点P停止．若运动时间为t，求当t为何值时，P，Q，E中恰有一个点为其余两点的偶点？【解答】解：【初步探究】（1）设F表示的数为x，且15-<<，x-，点N表示的数为5，Q点M表示的数为1\=--=+，5FM x x(1)1=-，FN x点F是{M、}N的偶点，\=，2FM FNx x\+=-，12(5)解得：3x=，故答案为：3；（2）设F表示的数为x，Q 点M 表示的数为1-，点N 表示的数为5，|(1)||1|FM x x \=--=+，|5|FN x =-，点F 是{M 、}N 的偶点，2FM FN \=，|1|2|5|x x \+=-，解得：3x =或11，故答案为：3或11．【深入思考】由题意知：2QE t =，40(20)60PQ =--=，602EP PQ QE t \=-=-，当点E 是{P 、}Q 的偶点时，2EP QE =，60222t t \-=´，解得：10t =；当点E 是{Q 、}P 的偶点时，2QE EP =，22(602)t t \=-，解得：20t =；当点Q 是{P 、}E 的偶点时，2PQ QE =，6022t \=´，解得：15t =；当点P 是{Q 、}E 的偶点时，2PQ EP =，602(602)t \=-，解得：15t =；综上所述，当t 为10或15或20时，P ，Q ，E 中恰有一个点为其余两点的偶点．31．如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果2AC BC =时，则称点C 是线段AB 的内二倍分割点；如图2，如果2BC AC =时，则称点C 是线段BA 的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数1-、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是 4 ；NM的内二倍分割点表示的数是 ．（2）如图5，数轴上，点A所表示的数为30-，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为(0)t t>秒．①线段BP的长为 ；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．【解答】解：（1）MQ、N为数轴上两点，点M所表示的数为2-，点N所表示的数为7，7(2)9MN\=--=，MN\的内二倍分割点表示的数是：22229433MN-+=-+´=；NM的内二倍分割点表示的数是：11229133MN-+=-+´=．故答案为：4；1；（2）①依题意可得，线段BP的长为2t．故答案为：2t；②当P在线段AB上时，P为线段AB的内二倍分割点，有以下两种情况：如果P是AB的内二倍分割点时，则2AP BP=，所以50222t t-=´，解得253t=；如果P是BA的内二倍分割点时，则2BP AP=，所以22(502)t t=-，解得503t=；当P在点A左侧时，A为线段PB的内二倍分割点，有以下两种情况：如果A是BP的内二倍分割点时，则2BA PA=，所以502(250)t=-，解得752t=；如果A是PB的内二倍分割点时，则2PA BA=，所以250250t-=´，解得75t=；综上所述：当t为253，503，752，75时，P、A、B中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动72cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA= 152 cm．（3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？（4）若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：BA CB-的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出BA CB-的值．【解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为3-，B点对应的数为1，点C对应的数为92，点A，B，C在数轴上表示如下图：（2）设原点为O ，如图，3OA cm \=，92OC cm =，15()2AC OA OC cm \=+=．故答案为：152；（3）①当点A 在点C 的左侧时，设经过x 秒后点A 到点C 的距离为3cm ，由题意得：15332x -=，解得： 1.5x =．②当点A 在点C 的右侧时，设经过x 秒后点A 到点C 的距离为3cm ，由题意得：15332x -=，解得： 3.5x =．综上所述，经过1.5或3.5秒后点A 到点C 的距离为3cm ；（4）BA CB -的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=．由题意：3AB cm =，72CB cm =，Q 移动t 秒后，44(45)AB t t t cm =++=+，7794(5)22CB t t t cm =-+=+，71(45)(522BA CB t t \-=+-+=．BA CB \-的值不会随着t 的变化而变化，12BA CB -=．33．如图，已知数轴上的点A ，B 对应的数分别是5-和1．（1）若P 到点A ，B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）动点P 从点A 出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒，问：是否存在某个时刻t ，恰好使得点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P 从点A 出发向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发向点A 运动，经过2秒相遇；若动点P 从点A 出发向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发与点P 同向运动，经过6秒相遇，试求P 点与Q 点的运动速度（长度单位/秒）．【解答】解：（1）Q 设点P 对应的数为x ，则1BP x =-，5PA x =+，BP PA =Q ，15x x \-=+，解得：2x =-，\点P 对应的数为2-；（2）存在某个时刻t ，使得P 到点A 的距离是P 到点B 的距离的2倍，由已知得：P 对应的数为52t -+，2PA t \=，|521||26|PB t t =-+-=-，2PA PB =Q ，22|26|t t \=-，当22(26)t t =-时，6t =；当22(26)t t =--时，2t =；t \的值为6或2；（3）设P 点的运动速度为x 个长度单位/秒，Q 点的运动速度为y 个长度单位/秒，由题意得：22156615x y x y +=+ìí-=+î，解得21x y =ìí=î，P \点的运动速度为2个长度单位/秒，Q 点的运动速度为1个长度单位/秒．34．数轴上A 、B 两点对应的数分别是4-、12，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且8CE =，点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点C 、E 均在A 、B 之间时，若1CF =，则AB = 16 ，AC = ，BE = ；（2）当线段CE 运动到点A 在C 、E 之间时，求BE 与CF 的数量关系；（3）当点C 运动到数轴上表示数14-的位置时，动点P 从点E 出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B 后，立即以同样速度返回，同时点Q 从A 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，设它们运动的时间为t 秒(16)t …，求t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度．【解答】（1）Q 数轴上A 、B 两点对应的数分别是4-、12，16AB \=；8CE =Q ，1CF =，7EF \=Q 点F 是AE 的中点．7AF EF \==716AC AF CF \=-=-=16722BE AB AE =-=-´=故答案为：16，6，2；（2）Q 点F 是AE 的中点AF EF\=设AF FE x ==，8CF x\=-1622(8)BE x x \=-=-2BE CF\=（3）①当06t <…时，P 对应数：63t -+，Q 对应数4t-+|4(63)||22|PQ t t t =-+--+=-+依题意得：|22|1t -+=解得：32t =或12②当612t <…时，P 对应数123(6)303t t --=-，Q 对应数4t-+|303(4)||434|PQ t t t =---+=-+依题意得：|434|1t -+=解得：354t =或334t \为32秒，12秒，354秒，334秒时，两点距离是1．35．如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为20-，B 点对应的数为100．（1）请写出与A 、B 两点距离相等的点M 所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应的数是多少吗？（写出计算过程）（3）在题（2）中，若运动t 秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t 的值．【解答】解：（1）M 点对应的数是(20100)240-+¸=；（2）A ，B 之间的距离为100(20)120--=，设它们的相遇时间是x 秒，依题意有：(64)120x +=，解得12x =，即相同时间Q 点运动路程为：12448´=（个单位），即从数20-向右运动48个单位到数28，故C 点对应的数是28；（3）相遇前：(1002010)(64)55+-¸-=（秒)，相遇后：(1002010)(64)65++¸-=（秒)．故t 的值为55或65．36．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A 点、B 点表示的数为a 、b ，则A ，B 两点之间的距离||AB a b =-，若a b >，则可简化为AB a b =-；线段AB 的中点M 表示的数为2a b +．【问题情境】已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为10-，8，点A 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >．【综合运用】（1）运动开始前，A 、B 两点的距离为 18 ；线段AB 的中点M 所表示的数 ．（2）点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为 ；点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为 ；（用含t 的式子表示）（3）它们按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相距4个单位长度？（4）若A ，B 按上述方式继续运动下去，线段AB 的中点M 能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M 的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A ，B 两点重合，则中点M 也与A ，B 两点重合）．【解答】解：（1）A 、B 两点的距离为：8(10)18--=；线段AB 的中点M 所表示的数为1-．故答案为：18；1-；（2）由题意可得点A 运动t 秒后所在位置的点表示的数为103t -+；点B 运动t 秒后所在位置的点表示的数为82t -；故答案为：103t -+；82t -；（3）设它们按上述方式运动，A 、B 两点经过t 秒会相距4个单位长度，。
数学七年级上册《解一元一次方程》课件
（4）−2 + 7 = 1 − 8，移项得−2 + 8 = 1 − 7
2. 解下列方程
（1）2 + 6 = 1
移项
解： 移项，得 2 = 1 − 6
−5
两边同时除以2，得 =
2
（2）3 + 3 = 2 + 7
§5.2.1求解一元一次方程
− =21
解：方程两边同时加上5，得
2 − 5 + 5 =21+5
化简，得
2 =26
方程两边同时除以2，得
=13
等式的性质1：
等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式的性质2：
等式两边同时乘一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
−
2
=
10
两边同时除以5，得 = 2
像这样把原方程中的某一项改变 符号 后，从 方程 的一
边移到 另一边 ，这种变形叫做移项。
移项的理论依据是：等式的性质1
1. 下列的移项对不对？如果不对应该如何改正？
（1）5 + = 10，移项得 = 10 + 5
（2）6 = 2 + 8，移项得6 + 2 = 8
由题意得 3000 + 1500 = 19500
移项得3000 + 1500 = 19500
系数化为1，得 =11
答：王叔叔需要11个月才能付清全部贷款.
求解一元一次方程
课
堂
小
结
移项
（移项要改变符号）
合并同类项
两边同时乘一个数
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 专题强化七 一元一次方程解法探索课件上册数学课件
12/9/2021
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强化角度3 去括号解方程 3．解方程： (1)(单一括号型)3x－7(x－1)＝3－2(x＋3)；
解：x＝5； (2)(多重括号型)12{13[14(15x－1)－6]＋4}＝1.
解：x＝5.
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强化角度4 去分母解方程 4．解方程： (1)利用比例性质去：x＋3 2＝31x2＋3； 解：x＝5； (2)利用等式性质去：2x5＋3＝32x－2x3－2. 解：x＝－143.
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强化角度5 系数化整解方程 5．解方程：0.4x0－.5 2.1＝0.10＋.003.2x－0.6. 解：x＝－1113.
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强化角度6 分类讨论解方程 6．解方程：|x－3|＋|2－x|＋|x|＝6. 解：当x≤0时，原方程变形为3－x＋2－x－x＝6，∴－3x＝1，∴x＝－31； 当0＜x≤2时，原方程变形为3－x＋2－x＋x＝6，∴－x＝1，∴x＝－1(舍 去)；当2＜x≤3时，原方程变形为3－x＋x－2＋x＝6，∴x＝5(舍去)；当x ＞3时，原方程变形为x－3＋x－2＋x＝6，∴x＝131.综上所述：x＝－13或131.
2018年秋 12/9/2021
数学 七年级 上册•R
第三章 一元(yī yuán)一次方程
专题强化七 一元(yī yuán)一次方程解法探索
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强化角度1 合并同类项解方程
1．解方程：16x－2.5x＋612x＝7－(－5)． 解：x＝35. 强化角度2 移项解方程 2．解方程：5y－7＝65－13y.
七年级数学上册 第5章 一元一次方程 专题强化六 一元一次方程的分类应用课件
＋0.05)＋(400－350)×(0.52＋0.30)＝230(元)．
(1)如果按此方案计算，小华家 5 月份的电费为 138.84 元，请你求出小华家
5 月份的用电量；
(2)依据方案请你回答：若小华家某月的电费为 a 元，则小华家该月用电量
属于第几档？
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解：(1)用电量为 210 度时，需要交纳 210×0.52＝109.2 元，用电量为 350 度时，需要交纳 210×0.52＋(350－210)×(0.52＋0.05)＝189 元．所以小华 家 5 月份的用电量属于第二档；设小华家 5 月份的用电量为 x 度，由题意， 得 210×0.52＋(x－210)×(0.52＋0.05)＝138.84，解得 x＝262，因此小华家 5 月份的用电量为 262 度； (2)若 a≤109.2，则小华家该月用电量属于第一档；若 109.2＜a≤189，则小 华家该月用电量属于第二档，若 a＞189，则小华家该月用电量属于第三档．
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八、方案决策问题 8．某工厂安排 600 名工人生产 A、B 型机器共 69 台，已知 7 名工人能生产 一台 A 型机器，10 名工人能生产一台 B 型机器． (1)生产 A 型机器和 B 型机器的工人各有多少名？ (2)如果人数不变，能生产这两种机器共 70 台吗？ 解：(1)设生产 A 型机器的工人有 x 名，则生产 B 型机器的工人有(600－x) 名．根据题意，得x7＋6010－0 x＝69.解得 x＝210.600－210＝390.因此，生产 A 型机器的工人有 210 名，生产 B 型机器的工人有 390 名；
第七页，共十二页。
七、计费问题
7．某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：