中考仿真押题卷 数学试题 含答案解析

一、单选题
1．(4分)﹣1
2
的绝对值是()
A．﹣1
2
B．
1
2
C．﹣2D．2
2．(4分)某微生物的直径为0.000 005 035m,用科学记数法表示该数为() A．5.035×10﹣6B．50.35×10﹣5C．5.035×106D．5.035×10﹣5
3．(4分)2的值在( )
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间4．(4分)2cos 30°的值等于()
A．1B C D．2
5．(4分)方程组
43
235
x y k
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解中x与y的值相等,则k等于()
A．2B．1C．3D．4
6．(4分)如图,有两个正方形A,B,现将B放置在A的内部得到图甲．将A,B并列放置,以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B 的面积之和为( )
A．13B．14C．15D．16
7．(4分)若关于x的一元二次方程2210
x x kb
-++=有两个不相等的实数根,则一次函数
y kx b
=+的图象可能是:
A．B．C．D．
8．(4分)已知点P(a,m),点Q(b,n)都在反比例函数y=2
x
的图像上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是( )
A．m+n<0B．m+n>0C．m<n D．m>n
9．(4分)如图,在ABC 中,延长BC 至,D 使得1
2
CD BC =
,过AC 中点E 作//EF CD (点F 位于点E 右侧),且2EF CD =,连接DF .若8AB =,则DF 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．
D ．10．(4分)如图,已知E,F 分别为正方形ABCD 的边AB,BC 的中点,AF 与D
E 交于点M.则下列结论：①∠AME
＝90°,②∠BAF ＝∠EDB,③AM ＝
2
3
MF,④ME+MF MB ．其中正确结论的有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
11．(4分)分解因式2242xy xy x ++=___________
12．(4分)如图,数轴上点A 表示的数为a ,化简：a =_____．
13．(4分)一组数据3,2,3,4,x 的平均数是3,则它的方差是_____．
14．(4分)如图,ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥于D 点,DE AB ⊥于点E ,BF AC ⊥于点F ,3cm DE =,则BF =__________cm .
15．(4分)如图,AB是⊙O的弦,⊙O的半径OC⊥AB于点D,若AB＝6cm,OD＝4cm,则⊙O的半径为_____cm．
16．(4分)如图,抛物线y＝x2+bx+c(c＞0)与y轴交于点C,顶点为A,抛物线的对称轴交x轴于点E,交BC于点
D,tan∠AOE＝3
2
．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC＝2AD时,c的值是_____．
三、解答题
17．(8分)解方程组：
32 635 y x
x y
=-⎧
⎨
-=⎩
18．(8分)先化简,再求值：(2﹣
1
1
x
x
-
+
)÷
2
2
69
1
x x
x
++
-
,其中x＝2．
19．(8分)如图,在ABC中,AB AC
=,点D是BC边上的中点,DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．求证：DE DF
=
20．(8分)矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC,CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB＝30°,菱形OCED的而积为求AC的长．
21．(8分)如图,在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系,△AOB的顶点均在格点上,点O为原点,点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3)．
(1)将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1,则点B1的坐标为；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2,请在图中作出△A2OB2,并求出这时点A2的坐标为；
(3)在(2)中的旋转过程中,线段OA扫过的图形的面积．
22．(10分)某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米,为了尽量减少种植的时间,实际播种时,若每小时比原计划多播种25%,就可以提前5小时完成播种任务．
(1)求原计划每小时播种多少万平方米？
(2)若有甲、乙两台播种机参与播种,其中甲播种机每小时可播种120万平方米,乙播种机每小时可播种80万平方米,若安排甲播种机先播种一段时间后离开,再由乙播种机完成播种任务,在保证至少提前5小时完成播
种任务的前提下,甲播种机至少要播种多少小时？
23．(10分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计
了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了 人；在扇形统计图中,表示”支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ； (2)将条形统计图补充完整．观察此图,支付方式的”众数”是” ”；
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从”微信”、”支付宝”、”银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
24．(12分)如图,AB 是
O 的直径,点E 是劣弧AD 上一点,PBD BED ∠=∠,且DE =BE 平分ABD ∠,
BE 与AD 交于点F ．
(1)求证：BP 是
O 的切线；
(2)若tan 3
DBE ∠=
,求EF 的长； (3)延长DE ,BA 交于点C ,若CA AO =,求
O 的半径．
25．(14分)已知抛物线2:2C y ax ax c =-+经过点()1,2,与x 轴交于()1,0A B -、两点
()1求抛物线C 的解析式；
()2如图1,直线34
y x =交抛物线C 于S T 、两点,M 为抛物线C 上A T 、之间的动点,过M 点作ME x ⊥轴于点,E MF ST ⊥于点F ,求ME MF +的最大值；
()3如图2,平移抛物线C 的顶点到原点得抛物线1C ,直线:24l y kx k =--交抛物线1C 于P 、Q 两点,在抛
物线1C 上存在一个定点D ,使90PDQ ∠=︒,求点D 的坐标．
答案与解析一、单选题
1．(4分)﹣1
2
的绝对值是()
A．﹣1
2
B．
1
2
C．﹣2D．2
【答案】B
【解析】
111
() 222 -=--=,
故选：B．
【点睛】本题主要考查求绝对值的法则,掌握负数的绝对值等于它的相反数,是解题的关键．2．(4分)某微生物的直径为0.000 005 035m,用科学记数法表示该数为()
A．5.035×10﹣6B．50.35×10﹣5C．5.035×106D．5.035×10﹣5
【答案】A
【解析】0.000 005 035m,用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6,故选A．
3．(4分)2的值在( )
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】B
【解析】∵36<41<49,
<7,
∴2<5,
故选B.
【点睛】本题主要考查无理数的估算,用”夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．4．(4分)2cos 30°的值等于()
A．1B C D．2
【答案】C
【解析】2cos30°=2×
2
=
故选C．
5．(4分)方程组
43
235
x y k
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解中x与y的值相等,则k等于()
A．2B．1C．3D．4【答案】B
【解析】根据题意得：y=x,
代入方程组得：
43
235 x x k x x
-=⎧
⎨
+=⎩
,
解得：
1
1 x
k
=
⎧
⎨
=
⎩
,
故选B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两个方程都成立的未知数的值. 6．(4分)如图,有两个正方形A,B,现将B放置在A的内部得到图甲．将A,B并列放置,以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B 的面积之和为( )
A．13B．14C．15D．16
【答案】A
【解析】设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,
由图甲得a2-b2-2(a-b)b=1即a2+b2-2ab=1,
由图乙得(a+b)2-a2-b2=12,2ab=12,
所以a2+b2=13,
故选A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,完全平方公式的几何背景,解题的关键是根据图形得出数量关系．7．(4分)若关于x的一元二次方程2210
x x kb
-++=有两个不相等的实数根,则一次函数
y kx b
=+的图象可能是:
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根, 可得()4410kb =-+＞, 解得0kb ＜,即k b 、异号,
当00k b ＞，＜时,一次函数y kx b =+的图象过一三四象限,
当00k b ＜，＞时,一次函数y kx b =+的图象过一二四象限,故答案选B. 8．(4分)已知点P(a,m),点Q(b,n)都在反比例函数y=2
x
的图像上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是( ) A ．m+n<0 B ．m+n>0
C ．m<n
D ．m>n
【答案】C 【解析】y ＝2
x
的k ＝2＞0,图象位于一三象限, ∵a ＜0,
∴P(a,m)在第三象限, ∴m ＜0； ∵b ＞0,
∴Q(b,n)在第一象限, ∴n ＞0． ∴m ＜n, 故选：C ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质,利用反比例函数的性质：k ＞0时,图象位于一三象限是解题关键． 9．(4分)如图,在ABC 中,延长BC 至,D 使得1
2
CD BC =
,过AC 中点E 作//EF CD (点F 位于点E 右侧),
且2EF CD =,连接DF .若8AB =,则DF 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．
D ．【答案】B
【解析】取BC 的中点G ,连接EG , ∵E 是AC 的中点, ∴EG 是△ABC 的中位线, ∴EG ＝
12AB ＝1
82
⨯＝4, 设CD ＝x ,则EF ＝BC ＝2x , ∴BG ＝CG ＝x , ∴EF ＝2x ＝DG , ∵EF ∥CD ,
∴四边形EGDF 是平行四边形, ∴DF ＝EG ＝4, 故选：B ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理,作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键．
10．(4分)如图,已知E,F 分别为正方形ABCD 的边AB,BC 的中点,AF 与DE 交于点M.则下列结论：①∠AME
＝90°,②∠BAF ＝∠EDB,③AM ＝
2
3
MF,④ME+MF MB ．其中正确结论的有( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B 【解析】
解：在正方形ABCD 中,AB ＝BC ＝AD,∠ABC ＝∠BAD ＝90°, ∵E 、F 分别为边AB,BC 的中点, ∴AE ＝BF ＝
12
BC, 在△ABF 和△DAE 中,
AE BF ABC BAD AB AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABF ≌△DAE(SAS), ∴∠BAF ＝∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF ＝∠BAD ＝90°, ∴∠ADE+∠DAF ＝∠BAD ＝90°,
∴∠AMD ＝180°﹣(∠ADE+∠DAF)＝180°﹣90°＝90°, ∴∠AME ＝180°﹣∠AMD ＝180°﹣90°＝90°, 故①正确；
∵DE 是△ABD 的中线, ∴∠ADE≠∠EDB,
∴∠BAF≠∠EDB, 故②错误；
设正方形ABCD 的边长为2a,则BF ＝a, 在Rt △ABF 中
,
AF =
=
=,
∵∠BAF ＝∠MAE,∠ABC ＝∠AME ＝90°, ∴△AME ∽△ABF, ∴
AM AE
AB AF
=,
即2AM a =
解得：5
AM =
,
∴55
MF AF AM a a =-=-=, ∴2
3
AM MF =
, 故③正确；
如图,过点M 作MN ⊥AB 于N, 则MN ∥BC, ∴△AMN ∽△AFB, ∴
MN AN AM
BF AB AF
==,
即2MN AN a a ==, 解得25MN a =
,4
5
AN a =, ∴46
255
NB AB AN a a a =-=-=
,
根据勾股定理得：BM ===,
∵ME+MF
MB
a,
∴ME+MF MB,
故④正确.
综上所述,正确的结论有①③④共3个. 故选：B.
【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理的应用,勾股定理逆定理的应用,综合性较强,难度较大,仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键． 二、填空题
11．(4分)分解因式2242xy xy x ++=___________
【答案】2
2(1)x y +
【解析】原式＝2x(y 2＋2y ＋1)＝2x(y ＋1)2, 故答案为2x(y ＋1)2
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．(4分)如图,数轴上点A 表示的数为a ,化简：a =_____．
【答案】2．
【解析】由数轴可得：0＜a ＜2,
则﹣a)=2． 故答案为2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简,正确得出a 的取值范围是解题的关键． 13．(4分)一组数据3,2,3,4,x 的平均数是3,则它的方差是_____． 【答案】0.4
【解析】∵数据2、3、3、4、x 的平均数是3, ∴2334x 35++++=⨯, ∴x 3=, ∴(
2
222221
S [(33)(23)(33)(43)33)0.45
⎤=
⨯-+-+-+-+-=⎦, 故答案为0.4．
【点睛】本题主要考查了平均数和方差的计算,解题的关键是熟练掌握平均数和方差的计算公式．
14．(4分)如图,ABC ∆中,AB AC =,AD BC ⊥于D 点,DE AB ⊥于点E ,BF AC ⊥于点F ,3cm DE =,则BF =__________cm .
【答案】6
【解析】∵AB=AC,
∴∠C ＝∠ABC , 又∵AD ⊥BC 于 D 点, ∴ BD=DC=
12
BC, 又 DE ⊥AB,BF ⊥AC, ∴∠BED=∠CFB=90°, ∴△BED ∽△CFB, ∴DE ：BF=BD ：BC=1：2, ∴BF=2DE=2×3=6cm , 故答案为：6.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质,得到△BED ∽△CFB 是解本题的关键. 15．(4分)如图,AB 是⊙O 的弦,⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ,若AB ＝6cm ,OD ＝4cm ,则⊙O 的半径为_____cm ．
【答案】5
【解析】连接OA,根据垂径定理可得：AD=3cm,OD=4cm,根据Rt △OAD 的勾股定理可得：OA=5cm,即圆的
半径为5cm.
16．(4分)如图,抛物线y＝x2+bx+c(c＞0)与y轴交于点C,顶点为A,抛物线的对称轴交x轴于点E,交BC于点
D,tan∠AOE＝3
2
．直线OA与抛物线的另一个交点为B．当OC＝2AD时,c的值是_____．
【答案】9
2
或
27
2
．
【解析】由tan∠AOE＝3
2
,可设A、B点坐标分别为(2m,3m)、(2n,3n),
∵AD∥OC,
∴∠ADB＝∠OCB,∠DAB＝∠COA,
∴△BAD∽△BOC．
①当点A在线段OB上时,如图1所示．
∵OC＝2AD,
∴D点为线段BC的中点,
∵C(0,c),B(2n,3n),
∴D点横坐标为02
2
n
＝n,
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上,∴n＝2m,
∴B点坐标为(4m,6m),
∵A,B在抛物线上,且抛物线对称轴为x＝2m,
∴有
2
2
342
6164
2
2
m m bm c m m bm c
b
m
⎧
⎪=++
⎪
=++⎨
⎪
⎪-=
⎩
,
解得：
m
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
,或
3
4
3
9
2
m
b
c
⎧
=
⎪
⎪
=-
⎨
⎪
⎪=
⎩
,
∵c＞0,
∴c＝9
2
；
②当点B在线段OA上时,如图2所示．
∵OC＝2AD,
∴OB＝2AB．
∵C(0,c),B(2n,3n),
∴D点横坐标为12
2
+
×2n＝3n,
由题意知A、D点均在抛物线的对称轴上,
∴n＝2
3 m,
∴B点坐标为(4
3
m,2m),
∵A ,B 在抛物线上,且抛物线对称轴为x ＝2m ,
∴有2234216429322
m m bm c m m bm c b
m ⎧
⎪=++⎪
⎪
=++⎨⎪
⎪-=⎪⎩, 解得：000m b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩,或94
9272m b c ⎧
=-
⎪⎪=⎨⎪⎪=
⎩
．
∵c ＞0, ∴c ＝
27
2
． 综上所述：c 的值为
92
或272．
故答案为：
92
或27
2．
【点睛】本题考查了三角形的相似以及二次函数的性质,解题的关键是根据OC ＝2AD 找到A 、B 点坐标的关系． 三、解答题
17．(8分)解方程组：32
635
y x x y =-⎧⎨
-=⎩
【答案】(1)131
x y ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩
【解析】32
635y x x y =-⎧⎨
-=⎩
将y=3x -2代入6x -3y=5中得：63(32)5x x --=, 解得：13
x =, 将1
3
x =
代入y=3x -2中得：1y =-
∴原方程组的解为：131
x y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩；
18．(8分)先化简,再求值：(2﹣11x x -+)÷22
69
1
x x x ++-,其中x ＝2． 【答案】
1
5
. 【解析】原式=
2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-⋅++=2(1)(1)(3)31
13
x x x x x x x +-=-++⋅++
当x =2时,原式2123-=
+=15
． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．(8分)如图,在ABC 中,AB AC =,点D 是BC 边上的中点,DE 、DF 分别垂直AB 、AC 于点E 和
F ．求证：DE DF =
【答案】见解析
【解析】证法一：连接AD ．
∵AB ＝AC ,点D 是BC 边上的中点,
∴AD 平分∠BAC (等腰三角形三线合一性质), ∵DE 、DF 分别垂直AB 、AC 于点E 和F , ∴DE ＝DF (角平分线上的点到角两边的距离相等)． 证法二：在△ABC 中,
∵AB＝AC,
∴∠B＝∠C(等边对等角).
∵点D是BC边上的中点,
∴BD＝DC ,
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F,∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中
∵
BED CFD
B C
BD DC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE＝DF(全等三角形的对应边相等).
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,角平分线的性质,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
20．(8分)矩形ABCD的对角线相交于点O．DE∥AC,CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB＝30°,菱形OCED
的而积为求AC的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)8．【解析】(1)∵DE∥AC,CE∥BD ∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝OC＝BO＝OD
∴四边形OCED是菱形
(2)∵∠ACB＝30°,
∴∠DCO＝90°－30°＝60°
又∵OD＝OC
∴△OCD 是等边三角形 过D 作DF ⊥OC 于F,则CF=1
2
OC,设CF=x,则OC=2x,AC=4x ． 在Rt △DFC 中,tan60°=DF
FC
,
∴．
∴OC•DF=8 ∴x=2． ∴AC=4×2=8．
【点睛】本题考查了矩形的性质,对角线相等且互相平分,菱形的判定和性质,以及解直角三角形等知识点． 21．(8分)如图,在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系,△AOB 的顶点均在格点上,点O 为原点,点A 、B 的坐标分别是A(3,2)、B(1,3)．
(1)将△AOB 向下平移3个单位后得到△A 1O 1B 1,则点B 1的坐标为 ；
(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 2OB 2,请在图中作出△A 2OB 2,并求出这时点A 2的坐标为 ； (3)在(2)中的旋转过程中,线段OA 扫过的图形的面积 ．
【答案】(1)(1,0)；(2)()2?3-，
；(3)13
4
π. 【解析】(1)由题意,得 B 1(1,3﹣3), ∴B 1(1,0)．
(2)如图,①,过点O 作OA 的垂线,在上面取一点A 2使OA 2=OA,
②,同样的方法求出点B2,顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2,∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2(﹣2,3)．
(3)由勾股定理,得
∴线段OA扫过的图形的面积为：901313
=
3604
π
π
⨯
．
22．(10分)某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米,为了尽量减少种植的时间,实际播种时,若每小时比原计划多播种25%,就可以提前5小时完成播种任务．
(1)求原计划每小时播种多少万平方米？
(2)若有甲、乙两台播种机参与播种,其中甲播种机每小时可播种120万平方米,乙播种机每小时可播种80万平方米,若安排甲播种机先播种一段时间后离开,再由乙播种机完成播种任务,在保证至少提前5小时完成播种任务的前提下,甲播种机至少要播种多少小时？
【答案】(1)原计划每小时播种80万平方米；(2)甲播种机至少要播种10小时．
【解析】(1)设原计划每小时播种x万平方米,
由题意得：20002000
5,
125%
x x
-=
+
（）
解得：80
x=
经检验x=80是原方程的解,
答：原计划每小时播种80万平方米．(2)设甲播种机播种a小时,
根据题意得
20001202000
5
8080
a
a
-
+≤-,解得10
a≥
答：甲播种机至少要播种10小时．
【点睛】本题考查分式方程的应用,分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键,注意分式方程要检验．
23．(10分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了人；在扇形统计图中,表示”支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；
(2)将条形统计图补充完整．观察此图,支付方式的”众数”是””；
(3)在一次购物中,小明和小亮都想从”微信”、”支付宝”、”银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】(1)200、81°；(2)补图见解析；(3)1 3
【解析】(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(1﹣15%﹣30%)=200人,
则表示”支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×45
200
=81°,
故答案为：200、81°；
(2)微信人数为200×30%=60人,银行卡人数为200×15%=30人,补全图形如下：
由条形图知,支付方式的”众数”是”微信”,
故答案为：微信；
(3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C,
画树状图如下： 画树状图得：
∵共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种, ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=1
3
．
24．(12分)如图,AB 是
O 的直径,点E 是劣弧AD 上一点,PBD BED ∠=∠,且DE =BE 平分ABD ∠,
BE 与AD 交于点F ．
(1)求证：BP 是
O 的切线；
(2)若tan 3
DBE ∠=
,求EF 的长； (3)延长DE ,BA 交于点C ,若CA AO =,求O 的半径．
【答案】(1)详见解析；(2)EF =； 【解析】证明(1)∵AB 是O 的直径
∴90ADB ∠=︒
∴90DAB ABD ∠+∠=︒ ∵BD BD = ∴BED DAB ∠=∠ ∵PBD BED ∠=∠ ∴DAB PBD ∠=∠ ∴90PBD ABD ∠+∠=︒
即90ABP ∠=︒ ∴AB PB ⊥ 又OB 是O 的半径 ∴BP 是
O 的切线
解(2)连接AE ∴90AEB =︒∠ ∵BE 平分ABD ∠ ∴ABE DBE ∠∠= ∴AE DE =
∴AE DE ==
∴ABE DBE DAE ∠=∠=∠
∴tan tan tan 3
EF DBE ABE DAE EA ∠=∠=∠=
=
3=
∴3
EF =
(3)连接OE ,设O 的半径为R
∴OE OB =
∴ABE OEB ∠=∠ ∵ABE DBE ∠∠= ∴DBE OEB ∠=∠ ∴OE
BD
∴CEO CDB △∽△ ∴
CE OC
DE OB
=
∵CA AO =
∴CA AO BO R === ∴
2
1
CE DE = 2
1
=
∴CE =
∴DC =∵AE AE = ∴ADC ABE ∠=∠ ∵C C ∠=∠ ∴CAD CEB △∽△ ∴
CD AC
CB CE
=
=
∴R =
∴
O
【点睛】本题考查了切线的判定和性质圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角函数的定义,正确的作出辅助线是解答本题的关键．
25．(14分)已知抛物线2:2C y ax ax c =-+经过点()1,2,与x 轴交于()1,0A B -、两点
()1求抛物线C 的解析式；
()2如图1,直线34
y x =交抛物线C 于S T 、两点,M 为抛物线C 上A T 、之间的动点,过M 点作ME x ⊥轴于点,E MF ST ⊥于点F ,求ME MF +的最大值；
()3如图2,平移抛物线C 的顶点到原点得抛物线1C ,直线:24l y kx k =--交抛物线1C 于P 、Q 两点,在抛
物线1C 上存在一个定点D ,使90PDQ ∠=︒,求点D 的坐标．
【答案】(1)21322y x x =-
++；(2)31
10
； (3)()22D ,-- ． 【解析】(1)∵抛物线C ：y ＝ax 2﹣2ax +c 经过点C (1,2),与x 轴交于A (﹣1,0)、B 两点
22
,20a a c a a c -+=⎧∴⎨++=⎩
解得：12
32a c ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴抛物线C 的解析式为213
;22
y x x =-
++
(2)如图1,设直线OT 交ME 于点G ,
设213(,)22M t t t -++, 则2133
,(,)224ME t t G t t =-++,
54OG t =,2113242
MG t t =-++,
4
sin sin 5
OGE MGF ∠=∠=,
242165555
MF MG t t ==-++,
2296279231
()1051010310
ME MF t t t +=-++=--+,
由题意可知: -1<t<2
9
010
-
<, ∴当23t =时,ME+MF 的最大值是31
10
．
(3)由题意可知,抛物线1C 的解析式为2
12y x =-；
如图2,过D 作EF ∥x 轴,作PE ⊥E 'F 于E ,QF ⊥EF 于F ,
设1122(,),(,),(,)D a b P x y Q x y ,
联立224,12y kx k y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩
得22480x kx k +--=
12122,48x x k x x k ∴+=-=--
由PED ∆∽DFQ ∆,得
DE PE
QF DF
=, DE DF PE QF ∴⋅=⋅,
1212()()()()a x x a b y b y ∴--=--
212
b a =-,21112y x =-,22212y x =-,
∴2222
12121111()()()()2222a x x a x a x a --=--,
∴1212121
()()()()()()4
a x x a a x a x x a x a --=++--,
即：12()()4a x a x ++=-
∴2
1212()4x x a x x a -++=-,
∴2
48(2)4k a k a --+-+=- ∴24240a ak k ---=,
即：(2)(2)2(2)0a a k a +--+=
k 为任意数,
20,a ∴+= 2,2a b ∴=-=- (2,2)D ∴--
【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,根与系数的关系,相似三角形的判定和性质,得出(a ﹣x 1)(x 2﹣a )＝
1
4
(a +x 1)(a +x 2)(x 1﹣a )(x 2﹣a )是解本题的关键。