高三理科复习概率与统计(含答案)

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专题09 概率与统计——2020年高考真题与模拟题理科数学分类汇编(含解析).docx

专题09概率与统计1.[2020年高考全国I卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据3，yJ(i = l,2, ,20)得到下面的散点图:由此散点图，在1(TC至4(TC之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是A.y = a + bxB. y^a + bx1D. y = a + b\nxC. y-a+be*2.[2020年高考全国II卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压•为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A.10 名B. 18名C. 24 名D. 32名43.[2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1,2,3, 4出现的频率分别为-且工P,T，i=l 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是4.[2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62%B. 56%C. 46%D. 42%5.[2020年高考山东】信息爛是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2, / ,且P(X= i) = Pi > 0(z = 1,2, ,n),£pi=l,定义X 的信息爛H(X) = -£p,log2P,.1=1 i=lA.若〃=1,则H(X)=0B・若兀二2,则H(X)随着p的增大而增大C.若Pi =l(z = l,2, 则H(X)随着"的增大而增大nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2, ,m ,且P(Y = j) = p j += 1,2, ,in),则6.【2020年高考江苏】已知一组数据4,2a,3 —a,5,6的平均数为4,则a的值是▲.7.[2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是____ .&【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm),将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为频率组距A.10B. 18C. 20D. 369.[2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为寺和丄.假定两球是否落入盒子互不影响，23则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________ ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 _________ •10.【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为则卩@毛= ______________ , £忆)= ________ 11.【2020年高考全国I卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为丄，2(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.12.[2020年高考全国I卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（帀刃（匸1, 2, 20）,其中*i和％分别表示第i个样区20 20的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得工兀=60,工x =1200,z=l i=l20 20 20工（兀-元）2=80,工（x-刃2 =9000,工（兀-元）（必-刃= 800.z=l i=l i=l（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本（竝，刃）（=1, 2, 20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.J（x,. -x）（X--刃附：相关系数了= 儿曰”，血Q I.414.（兀f吃（y厂才V Z=1 Z=113.[2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？14. 【2020年高考山东】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100天空气中的 PM2.5和SO?浓度（单位：（ig/m 3）,得下表:（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率; （2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO?浓度有关?n^ad-bcf(a + b)(c+d)(a + c)(b + d)P(K 2 > k)0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818.【2020年高考北京】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：附：&n(ad - be)- (a+ b)c + d)(a + c)(b + d)3.8416.63510.828P (K0.050 0.010 0.001支持不支持支持不支持方案一 200人 400人 300人 100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(II )从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；(III )将该校学生支持方案的概率估计值记为Po,假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为A ,试比较p 0与卩的大小.(结论不要求证明)1. C2020-广东省高三二模】高二某班共有45人，学号依次为1、2、3 ............... 45,现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为 A. 15,43 D. 14,42 x 2 + y 2= 4的内部随机选取一点P,则P 取自Q 的概率为 5 7 A.— B.—24 24 11 17 C.— D.—24243. [2020-河南省高三三模】“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和“--”，其中“一”在二进制中记作T”，在二进制中记作“0”.如符号“三”对应的二进制数011⑵化为十进制的计算如下：011⑵二0X 22+1X 21+1X 2°=3 <I 0).若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为2. [2020-黑龙江省大庆实验中学高三月考(理)】设不等式组< x+y>0 x-yj^y < 0表示的平面区域为Q,若从圆C ：B. 15,42C. 14,431 B. —3 1 D.-44. [2020-河南省高三三模】随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是A. 2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加B. 2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C. 2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D. 2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%5. [2020-山东省邹城市第一中学高三其他】2020年初，新型冠状病毒（COVTO-19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数（X ） 1 2 3 4 5治愈人数0）217 36 93 142由表格可得V 关于x 的二次回归方程为y = 6x 2+a ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为 A. 5 B. 4D. 06. [2020-四川省绵阳南山中学高三一模】从标号分别为1、2、3、4、5的5张标签中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则抽得的第一张标签的标号与第二张标签的标号恰好相差1的概率为1 A.-2 2 C.—3C. 14 A.-54 C.—25【2020•四川省闻中中学高三其他】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1—9的一种方法.例如：3可表示为“三”, 26可表示为“=丄”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1—9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是三三丄丄A 士4567 8 9【2020•山西省高三月考】勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3,若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是1 A.-31 C. —9【2020•山东省邹城市第一中学高三其他】下列命题中假命题是A.若随机变量§服从正态分布N （1Q J, P （^<4）= 0.79,则P （^<-2）= 0.21；8 D.—257. 5A.—187C.—16 B.D. 718 5 16 2(TT +VD.厂B.已知直线/丄平面a,直线加//平面0,贝iJ“a//0”是“/丄加”的必要不充分条件；C.若亦lb，则a在b方向上的正射影的数量为RD.命题p:3x<0,e x -x> 1 的否定—ip:X/x>O,e x-x<l10.【2020•上海高三二模】某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 _________ 户.11.[2020-辽河油田第三高级中学高三三模】楹子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成槻轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辐轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为_________ .12.[2020-辽宁省沈阳二中高三其他】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核•记X表示学生的考核成绩，并规定X>85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：3I 0 I I 640 1 3 3 4 5 871 23677788I 1 2 4 5 990 0 12 3、(I )从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(II)从图中考核成绩满足X G[80,89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；(III)记P(a<X<b)表示学生的考核成绩在区间[a,b]的概率，根据以往培训数据，规定当厂兀—85 、P —<1 >0.5时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明I 丿理由.13.[2020-重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善•该市生态环境局统计了某月(30天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.① 从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X, 求X的分布列和数学期望；② 以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.14. 【2020•东莞市光明中学高三月考】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P (每次抽奖互不影响，且P 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2 次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X (元)的分布列并求其数学期望.附表:15. [2020-山东省邹城市第一中学高三其他】为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，并绘制了如下茎叶图：改造前改造后9 8 6 5 5 1 886654322102 2 6 7 95 4 4 1 3 23345677894 112 2 3(I )(1)设所采集的40个连续正常运行时间的中位数加，并将连续正常运行时间超过加和不超过加的次数填入下面的列联表:附：参考公式和数据：K 2= n(ad _ bc)~(a + b)(c + d)(a + c)(b + d) n=a+b+c+d.试写出a, b, c, d的值;（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？n(ad - be)"附：K2 =(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)（II）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为T天（即从开工运行到第天（kwN*）进行维护•生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立•在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：7 = 30, k = l, 2, 3, 4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.16.[2020-四川省绵阳南山中学高三一模】为调查某地区被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位被隔离者，结果如下:1 估计该地区被隔离者中，需要社区非医护人员提供帮助的被隔离者的比例；2能否有99%的把握认为该地区的被隔离者是否需要社区非医护人员提供帮助与性别有关?17. [2020-四川省阎中中学高三其他】共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2020 年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁一39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5 次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有丄是“年轻人”.50.0% 40.0% 30.0% 20.0% 10.0% 0.0%（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2x2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80 合计16040200（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人” 人数为随机变量X,求X 的分布列与期望. 参考数据：独立性检验界值表P （K 2>k 0） 0.150.100.0500.0250.010ko2.0722.7063.841 5.024 6.635图1共享单车用户年龄等级分布图2共享单车使用频率分布45 ；5%n(ad_bc)2其中，K2n=a+b+c+d(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)18.[2020-山西省高三月考】在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.（1）一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格,进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关（2）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：下面的临界值表仅供参考.n(ad-bc)2（参考公式：K2 -(a+b)(c + d)(a + c)(b + d)其中n-a + b + c + d专题09概率与统计1. [2020年高考全国I 卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据3，yJ(i = l,2,,20)得到下面的散点由此散点图，在l (rc 至40弋之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度X 的回归方程类型的是 B. y — a + bx 2 D. y = a + b\nx【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此,最适合作为发芽率丁和温度x 的回归方程类型的是y^a + blnx. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.2. [2020年高考全国II 卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者温度/°cA. y = a + bx C. y-a+be xC.24 名D. 32 名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为500 + 1600-1200 = 900,设需要志愿者x名，50x丽10.95, x>17.1,故需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.43.[2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为P1，P2，P3，P4 ,且工必=1 ,i=l 则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是A. = °丄卩2 =卩3 = °・4B. 口= ”4 = 04 卩2 =卩3 = 0・1C. Pi = P4 = 0.2, P? — P3 = 0.3D. Pi = P4 = 0.3, P2 = P3 = 0.2【答案】B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为^=(1+4)X0.1+(2+3)X0.4=2.5,方差为s； = (1 — 2.5)2 x0.1 +(2 — 2.5『x0.4 +(3-2.5『x0.4 +(4-2.5『x0.1 = 0.65 ；对于B选项，该组数据的平均数为込=(1 + 4)X0.4+(2 + 3)x 0.1 = 2.5,方差为s； =(1 —2.5『x0.4 +(2 —2.5『x0.1 +(3 —2.5『x0.1 +(4 —2.5『x0.4 = 1.85；对于C选项，该组数据的平均数为^=(1+4)X0.2+(2+3)X0.3=2.5,方差为$： = (1 — 2.5『x0.2 +(2-2.5『x0.3 +(3-2.5『x0.3 +(4-2.5『x0.2 = 1.05 :对于D选项，该组数据的平均数为^=(1+4)X0.3+(2+3)X0.2=2.5,方差为5^=(1-2.5)2 x0.3 +(2-2.5)2 x0.2 +(3-2.5『x0.2 +(4-2.5『x0.3 = 1.45.因此，B选项这一组标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A, “该中学学生喜欢游泳”为事件B,贝F该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A + B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B,则P(A) = 0.6, P(B) = 0.82, P( A+B) = 0.96,所以P(4) + P(B) — P(4 + B) =0.6 + 0.82 —0.96 = 0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.5.[2020年高考山东】信息嫡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,，”,且P(X=i) =P, >0(i = l,2, = 定义X 的信息爛H(X) = -£p,log2P,.1=1 Z=1A.若”=1,则H(X)=0B.若”=2,则H(X)随着必的增大而增大C.若Pi =-(i = l,2, ,n),则H(X)随着"的增大而增大nD.若n=2m,随机变量Y所有可能的取值为1,2, ,m ,且P(Y = j) = + p2tn+i_j(j = 1,2, ,m),则H(X)<H(Y)【答案】AC【解析】对于A选项，若〃=1,贝畀=1,卩1=1,所以H(X)= -(lxlog21) = 0,所以A选项正确.对于 B 选项,若〃 =2 ,贝0 Z = 1,2 , 2 = 1 — Pi，所以H(X)= -[pi -log2 p+(l-pj.log2(l-pj],当A 时’H(X)= -]右呢2占+扌•log?』’3(3 3 1 ] \半Pl =才时，H(x) =-打dog2 二+ 了1082才]两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若卩：=丄(7 = 1,2, ,“)，贝I]nH(X )二一 -*log 2- xn = -log 2- = log 2n,\n nJ n则H(X )随着"的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若n = 2m,随机变量Y 的所有可能的取值为1,2, ,m ,且P (Y = j^ = p.+ p 2m+l _j1H (X )=-工门・log2B =工门 Jog? —i=li=lPi+ A m -1 • l°g2 + 02”, * l°g2丄•Plm-1 Plm门>0(心1,2, ,2同，所以[乔匕，所以腺亍匕 , 1 1 1所以 A-log 2 — > A ■ log? -------------------- ，Pi Pi + 卩2,”+一所以H (X )>H (Y ),所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息嫡”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 6.【2020年高考江苏】已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a 的值是 ▲.【答案】2【解析】•••数据4,2a, 3 —a, 5,6的平均数为4 4+2a+3—Q +5+6 = 20,即 a = 2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础.7. [2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概【解析】根据题意可得基本事件数总为6x6 = 36个.诃1喝法++ (% + Pn+)lOg2]Pm +Pm+1喝由于点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.•••出现向上的点数和为5的概率为P = — = ~.36 9故答案为：_•【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8.【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm）,将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.45,5.47）,[5.47,5.49]-并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间C. 20D. 36【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25 + 5.00)x0.02 = 0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为：80x0.225 = 18.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.9.[2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为寺和丄.假定两球是否落入盒子互不影响,23则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________ ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________ .【答案】| |6 3【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为2 3且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为2 3 6甲、乙两球都不落入盒子的概率为(l-|)x(l-|) = |,2所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为亍.故答案为：7；6 3【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.10.[2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止•设此过程中取到黄球的个数为歹，则电= ______________ ,陀)= _________ 【答案】1【解析】因为^ = 0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以P(^ = 0) = - + -x- = -,随机变量£ = 0,1,2,^=1)=2X1+2X1X1+1X2X1=1；43432432 3所以E(^)^0x^ + lx~ + 2x^l.故答案为：亍;1.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.11.【2020年高考全国I卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为二，2(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为2 •16(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为丄16乙连胜四场的概率为2;16丙上场后连胜三场的概率为二O1113所以需要进行第五场比赛的概率为1 ---—--=4.16 16 8 4(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为补.O比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为2,16 8 8因此丙最终获胜的概率为1+2+1+1=丄.8 16 8 8 1612.[2020年高考全国I卷理数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(盼yi)(i=l,2,…，20),其中益和必分别表示第i个样区。

高考理科数学概率统计 (答案详解)

20XX 年高考试题汇编（理）---概率统计（一）选择题1、（全国卷大纲版）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种 2、（全国卷新课标版）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）（A ）12种（B ）10种（C ）9种（D ）8种3、（北京卷）设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-4、（北京卷）从0，2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数。

其中奇数的个数为( )（A ） 24 （B ） 18 （C ） 12 （D ） 65、（福建卷）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（）（A ）41 （B ）51 （C ）61 （D ）716、（湖北卷）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（A ）21π- （B ）112π- （C ）2π（D ）1π7、（辽宁卷）一排9个座位坐了3个三口之家。

若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（A ）!33⨯（B ）3)!3(3⨯ （C ）4)!3(（D ）!98、（辽宁卷）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C 。

现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为（A ）61 （B ）31 （C ）32 （D ）54 9、（山东卷）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ）10 （D ）15 10、（山东卷）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（A ）232 (B)252 (C)472 (D)48411、（陕西卷）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（）（A ） x x <甲乙，m 甲>m 乙（B ） x x <甲乙，m 甲<m 乙（C ） x x >甲乙，m 甲>m 乙（D ） x x >甲乙，m 甲<m 乙12、（陕西卷）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）（A ） 10种（B ）15种（C ） 20种（D ） 30种13、（上海卷）设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（）（A ）21ξξD D > （B ）21ξξD D =（C ）21ξξD D < （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关14、（浙江卷）若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )（A ）60种（B ）63种（C ）65种（D ）66种15、（安徽卷）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )（A ）甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数（B ）甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数（C ）甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差（D ）甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 16、（安徽卷））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。

高中数学概率与统计复习题集附答案

高中数学概率与统计复习题集附答案1. 概率1.1 条件概率题目：某班有60名学生，其中有30名男生和30名女生。

从中随机抽取一位学生，求抽到女生的概率。

答案：由于抽到女生只有30人中的一个机会，总数为60人，所以女生的概率为30/60=1/2。

1.2 独立事件题目：一副52张的扑克牌中，第一次从中抽取一张 A，不放回，第二次抽取一张 K，求第二次抽到 K 的概率。

答案：由于第一次抽取 A 后不放回，所以总共只剩下51张牌。

其中，抽到 K 的机会只有4张，所以概率为4/51。

1.3 事件的并、交与补题目：在数学课上，调查了50位学生的成绩情况，结果发现40位学生擅长代数，35位学生擅长几何，其中有30位学生既擅长代数又擅长几何。

求至少擅长其中一科的学生人数。

答案：根据题意，至少擅长其中一科的学生人数等于擅长代数的人数加上擅长几何的人数再减去既擅长代数又擅长几何的人数。

即40 + 35 - 30 = 45。

2. 统计2.1 样本均值题目：某班有30名学生，进行一次数学测验，得分如下：80, 85, 90, 70, 75, 95, 100, 85, 92, 78, 88, 90, 85, 82, 86, 88, 90, 92, 86, 95, 85, 82, 92, 88, 90, 85, 90, 88, 80, 90求该班级的平均分。

答案：将所有学生的得分相加，并且除以学生总数，即(80 + 85 + 90 + 70 + 75 + 95 + 100 + 85 + 92 + 78 + 88 + 90 + 85 + 82 + 86 + 88 + 90 + 92 + 86 + 95 + 85 + 82 + 92 + 88 + 90 + 85 + 90 + 88 + 80 + 90) / 30 ≈ 87.12.2 极差题目：某班级考试的分数如下：80, 85, 70, 95, 90, 92, 65, 88求该班级考试分数的极差。

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。

文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。

A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。

2020高考数学(理)专项复习《概率统计》含答案解析

概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法．统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§11－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例nm 为事件A 出现的频率．概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率nm ，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ，满足P (A )＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且⋅=nA P i 1)( 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ，即⋅=)()()(Ωn A n A P 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：ΩA A P μμ=)(，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量．随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力．6．条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B ｜A )＝)()(A P B A P I 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．一般把P (B ｜A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．在古典概型中，用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则有P (B ｜A )＝)()(A n B A n I ．事件的独立性：设A 、B 为两个事件，如果P (B ｜A )＝P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，并称事件A 、B 为相互独立事件．若A 、B 为两个相互独立事件，则A 与A 、A 与B 、A 与B 也都相互独立．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．【例题分析】例1(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P (A )求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P (B )＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式)()()(Ωn A n A P =求解．解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)} 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而⋅==31186)(M P(Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，所以61183)(==N P ，由对立事件的概率公式得⋅=-=-=65611)(1)(N P N P 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为⋅31例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有29A 种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率6112291==A P (或6184931=⨯=P )． (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ，“第二次摸到白球”为事件B ，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A ∩B ，又31)(=A P ，P (A ∩B )61=，所以或⋅==213161)|(A B P (或2184)|(==A B P )． (3)第一次摸出红球的概率为1912A A ，第二次摸出红球的概率为291217A A A ，第三次摸出红球的概率为391227A A A ，则摸球次数不超过3次的概率为⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A A P 【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P (A)，P (A ∩B )，P (B ｜A )的含义．例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?” 易求得⋅=31P (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，解得⋅=167)(A P (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得⋅=6πP 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之对应的区域A ；利用概率公式)()()(ΩA A P μμ=计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积．例5 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为⋅==43129)(A P (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝．所以所求的概率为⋅=⨯⨯-⨯=3223221232 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A 、B 、C 同时正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．解：设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.8，P (B)＝0.9，P (C)＝0.9，且事件A 、B 、C 相互独立．(1)系统N 1正常工作的概率为p 1＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.80×0.90×0.90＝0.648．(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1－P (B ·C )＝1－P (B )·P (C )＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N 2正常工作的概率为p 2＝P (A )·(1－P (B ·C ))＝0.80×0.99＝0.792．【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为21，连续抛掷6次是独立重复试验．解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．所以⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P(2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P ＝21，根据独立重复试验概率公式有⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是53，左转行驶的概率是52，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求：(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P (2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均直行通过路口为事件B 1，3辆直行1辆左转为事件B 2，则事件B 1、B 2互斥．=+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C 【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．练习11－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A ．0.16B ．0.36C ．0.48D ．0.644．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．751B ．752C ．753D ．754 二、填空题5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．三、解答题9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x 上的概率．10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率；(2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．§11－2 概率(二)【知识要点】1．离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取到i i ii 12＋…＋p n ＝1．离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．其中0＜p ＜1，q ＝1－，则称离散型随机变量服从参数为p 的二点分布．二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为==)(k X P k n k k n q p C -(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率，q ＝1－p ，k ＝0，1，…，n ).若将n次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ，则X 的分布列为超几何分布：一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为m C C C m X P n Nm n M N m M ≤==--0()(≤l ，其中l 为n 和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．2．随机变量的数字特征及正态分布1122i i n n 了离散型随机变量的平均取值水平．称i i n i p X E xX D ⋅-=∑=21))(()(为随机变量X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记作σ (X )，方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中，否则越分散．均值与方差的性质：①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ②D (aX ＋b )＝a 2D (X )若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝pq ；若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．正态曲线：函数),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕ，其中μ ∈R ，σ ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ 处达到峰值σ2π1；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；⑥当μ 一定时，曲线的形状由σ 决定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布：如果对于任意实数a ＜b ，随机变量X 满足=≤<)(b X a P dx x ba )(ϕ⎰，则称X 的分布为正态分布；随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布，记作N ～(μ ，σ 2)．正态分布的三个常用数据：①P (μ －σ ＜X ＜μ ＋σ )＝68.3％；②P (μ －2σ ＜X ＜μ ＋2σ )＝95.4％；③P (μ －3σ ＜X ＜μ ＋3σ )＝99.7％．【复习要求】①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． ④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X 取每一个值的概率，就可以写出分布列．解：(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，且,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==，212010)6(3625====C C X P ，所求X 的分布列为(2)==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54 (3).25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ，最后列成表格．要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．解：随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4，)0(=X P ＝,42121054104505==⋅C C C )1(=X P ＝215210504103515==⋅C C C ，)2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ，===⋅4101535)3(C C C X P 21050 215=，4212105)4(4100545==⋅==C C C X P ，分布列为2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4．例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为31． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望；②若射击6次，求X 的分布列和期望；(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数η 的分布列．【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，η 的取值为1到6．解：(1)①X 服从二点分布⋅=31)(X E ②X 服从二项分布)6,,1,0()2()1()(),1,6(~66Λ===-k C k X P B k k k ，分布列为.236)(=⨯=X E (2)ξ的取值为0到6，ξ＝k (k ＝0，1，…，5)表示第k ＋1次击中目标，前k 次都没击中目标，则P (ξ＝k )＝)5,,1,0(31)32(.Λ=k k ，ξ＝6表示射击6次都未击中目标，==)6(ξP6)2(．ξ的分布列为(3)η 的取值为1到6．η ＝k (k ＝1，2，…，5)表示第k 次时第一次击中目标，==)(k P η 6;1)2(.1=-ηk 表示前5次都没有击中目标，5)2()6(==ξP ．η 的分布列为“X ＝k ”．在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析．解：E (X )＝8.85，D (X )＝2.2275；E (Y )＝5.6，D (Y )＝10.24．由于E (X )＞E (Y )，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D (X )＜D (Y )，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆＝b 2－4c ≥0”，b 、c 的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求η 的期望和方差．解：(1)由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实数”为事件C ，Ω中基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个．又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数”为事件E ，由上面分析得D P D P (,3611)(=∩367)=E ，∴⋅==117)()()|(D P E D P D E P I (Ⅱ)由题意ξ的可能取值为0，1，2，则,3617}2{,181}1{,3617}0{======&ξξξP P P 故ξ的分布列为：所以．18173617·)12(181·)11(3617·(0－0－,136172181136170222=-+-+==⨯+⨯+⨯=ξξD E 9342)12(,312)12(2==+==+=+=ξξξξηηD D D E E E 【评析】本题是一道概率的综合题，由07山东卷改编而得．在古典概型中解决条件概率问题时，概率公式是=)|(A B P )()()()(A n B A n A P B A P I I =．具有线性关系的两个随机变量的期望和方差之间的关系是b X aE b aX E +=+)()(，)()(2X D a b aX D =+．例6 (1)设两个正态分布N (μ 1，21σ)(σ 1＞0)和N (μ 2，22σ)(σ 2＞0)的密度函数图象如图所示．则有( )。

十年高考理科数学真题专题十一概率与统计三十二统计初步(1)及答案

专题十一概率与统计第三十二讲统计初步2019年1 （2019全国II理5）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数B．平均数C．方差D．极差2（2019全国II理13）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.3（2019全国III理17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．4（2019浙江7）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大5.（2019江苏5）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2．（2017新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3．（2017江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A．56 B．60 C．120 D．1405．(2016年全国III)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。

高三数学专项训练：概率与统计(理科)

高三数学专项训练：概率与统计（理科）1．在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（1）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（2）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()Eξ.2．2013年6月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23，并且各个环节的直播收看互不影响．（1）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;（2）若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望3．在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数a 、b 的值；区间 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]人数50a350300b（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；（3）在根据（2）抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X ，求X 的分布列与数学期望（即均值）.4．某校高一年级60名学生参加数学竞赛，成绩全部在40分至100分之间，现将成绩分成以下6段：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求成绩在区间[80,90)的频率；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，其中成绩在[]90,100内的学生人数为ξ，求ξ的分布列与均值.0.0150.0050.0205．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望6．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 概率与统计大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 概率与统计大题1.在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索(Ipsos)合作，调查了腾讯服务的6 000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带的现金(单位：元)如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100元以下的为“淡定族”，其他为“非淡定族”．(1)根据上述样本数据，列出2×2列联表，判断是否有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关？(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3人，设这3人中“淡定族”的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．参考公式：K2=n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n=a＋b＋c＋d.参考数据：2.第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这 1 000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发现年龄在[20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k名市民的年龄在[60,80]的概率为P(X=k)，其中k=0,1,2，…，20，当P(X=k)最大时，求k的值．3.某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X≤μ＋σ)=0.68，P(μ-2σ<X≤μ＋2σ)=0.96，P(μ-3σ<X≤μ＋3σ)=0.99.4.已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x ＋a ^，并估计当x=20时y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x-y-4=0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^=∑i=1nx i y i －n x－y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^=y --b ^x -.5.某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．6.某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y=c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^=1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z=200y-x.根据(2)的结果回答下列问题：①广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y ^=a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n x i y i －n x－y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^=y --b ^x -.参考数据：5≈2.24.7.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.8.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．9.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2=0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51＜T＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ＜Z＜μ＋σ)=0.682 6，P(μ-2σ＜Z＜μ＋2σ)=0.954 4，P(μ-3σ＜Z＜μ＋3σ)=0.997 4.0.24≈0.49.10.某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p=23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n . (1)求S 6=20且S i ≥0(i =1,2,3)的概率；(2)记ξ=|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．答案解析1.解：(1)依题意可得2×2列联表如下：K 2=60×10×12－30×8218×42×40×20≈1.429>1.323，故有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关．(2)用样本估计总体，用户中为“淡定族”的概率为1860=310，ξ的可能取值为0,1,2,3，由题意，得到ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310， P(ξ=k)=C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103-k，k=0,1,2,3，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000=9001 000=910.2.解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民年龄的平均数 x -=25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1=54(岁)．设1 000名市民年龄的中位数为x ，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x -50)=0.5，解得x=55，所以这1 000名市民年龄的平均数为54，中位数为55.(2)由频率分布直方图可知，这1 000名市民中年龄在[20,40)的市民共有 (0.05＋0.10)×1 000=150人，所以关注智能办公的频率为100150=23，则从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300×23=200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在[60,80]的人数为X ，X 服从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在[60,80]的频率为(0.025＋0.010)×10=0.35，所以X ～B(20,0.35)，所以P(X=k)=C k 200.35k (1-0.35)20-k，k=0,1,2， (20)设t=P X ＝k P X ＝k －1=C k 200.35k 0.6520－kC k －1200.35k －10.6521－k =721－k 13k ，k=1,2，…，20. 若t>1，则k<7.35，P(X=k-1)<P(X=k)；若t<1，则k>7.35，P(X=k-1)>P(X=k)．所以当k=7时，P(X=k)最大，即当P(X=k)最大时，k 的值为7.3.解：(1)因为英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P 1=P(X≥135)=(1-0.96)×12=0.02，由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P 2=0.001 6×20×34=0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02=10(人)，数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024=12(人)． (2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032=94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人， ξ可取的值有0,1,2,3，所以P(ξ=0)=C 310C 316=314，P(ξ=1)=C 210C 16C 316=2756，P(ξ=2)=C 110C 26C 316=1556，P(ξ=3)=C 36C 316=128，故ξ的分布列为E(ξ)=0×314＋1×2756＋2×1556＋3×128=98.4.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，x -=15×(2＋4＋6＋8＋10)=6，y -=15×(3＋6＋7＋10＋12)=7.6，∑i ＝15x 2i=4＋16＋36＋64＋100=220，∑i ＝15x i y i =6＋24＋42＋80＋120=272，b ^=∑i=15x i y i －5x－y－∑i ＝15x 2i －5x －2=272－5×6×7.6220－5×62=4440=1.1，∴a ^=7.6-1.1×6=1， ∴线性回归方程为y ^=1.1x ＋1，故当x=20时，y=23.(3)可以判断，落在直线2x-y-4=0右下方的点满足2x-y-4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ=1)=C22C13C35=310，P(ξ=2)=C12C23C35=610=35，P(ξ=3)=C33C35=110，故ξ的分布列为故E(ξ)=1×310＋2×35＋3×110=1810=95.5.解：(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)=35100=0.35，P(B)=45100=0.45，P(C)=20100=0.2，∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P=1-(P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C))=0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X=2)=P(A)P(A)=0.35×0.35=0.122 5，P(X=3)=P(A)P(B)＋P(B)P(A)=0.35×0.45＋0.45×0.35=0.315，P(X=4)=P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)=0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35=0.342 5，P(X=5)=P(B)P(C)＋P(C)P(B)=0.45×0.2＋0.2×0.45=0.18，P(X=6)=P(C)P(C)=0.2×0.2=0.04.∴X的分布列为E(X)=0.122 5×2＋0.315×3＋0.342 5×4＋0.18×5＋0.04×6=3.7.6.解：(1)∵x-=8，y-=4.2，∑i＝17x i y i=279.4，∑i＝17x2i=708，∴b^=∑i=17x i y i－7x－y－∑i＝17x2i－7x－2=279.4－7×8×4.2708－7×82=0.17，a^=y--b^x-=4.2-0.17×8=2.84，∴y关于x的线性回归方程为y^=0.17x＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用y^=1.63＋0.99x更好．(3)由(2)知，①当x=20时，销售量的预报值y^=1.63＋0.9920≈6.07(万台)，利润的预报值z=200×6.07-20≈1 194(万元)．②z=200(1.63＋0.99x)-x=-x＋198x＋326=-(x)2＋198x＋326=-(x-99)2＋10 127，∴当x=99，即x=9 801时，利润的预报值最大，故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．7.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)K 2=100×40×25－20×15255×45×60×40≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0,1,2，则P(X=0)=C 34C 36=15，P(X=1)=C 24C 12C 36=35，P(X=2)=C 14C 22C 36=15，故X 的分布列为E(X)=0×15＋1×35＋2×15=1.8.解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则P(M)=C 325C 350=23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ，当a=38时，X=38×6=228，当a=39时，X=39×6=234，当a=40时，X=40×6=240，当a=41时，X=40×6＋1×7=247，当a=42时，X=40×6＋2×7=254.所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E(X)=228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110=241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1=39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7=238.8元．由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘． 9.解：(1)μ=0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)=2，从而T 服从N(2,0.24)，又σ=0.24≈0.49，从而P(1.51＜T ＜2.49)=P(μ-σ＜T ＜μ＋σ)=0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P(2＜T ＜2.98)=P(μ＜T ＜μ＋2σ) =12P(μ-2σ＜T ＜μ＋2σ)=12×0.954 4=0.477 2. 由题意知X 服从B(10 000,0.477 2)，所以EX=10 000×0.477 2=4 772. (ⅱ)X 服从B(10 000,0.477 2)，P(X=k)=C k 10 0000.477 2k (1-0.477 2)10 000-k =C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000-k(k=0,1,2，…，10 000)．设当X=k(k≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，PX ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k 10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k=4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大． 10.解：(1)当S 6=20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i =1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P=⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13=1681.(2)由题意知ξ=|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p=23，∴P(ξ=10)=C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133=4081，P(ξ=30)=C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134=3081，P(ξ=50)=C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135=1181，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=10×4081＋30×3081＋50×1181=1 85081.。

专题6：概率与统计(理)高三复习经典教案含答案

专题六：概率与统计【一、基础知识归类：】1、概率（范围）：0≤P(A) ≤1（必然事件：P(A)=1，不可能事件：P(A)=0）2、互斥事件有一个发生的概率：A 、B 互斥： P(A ＋B)=P(A)＋P(B)；A 、B 对立：P(A)＋P(B)＝１3、抽样方法（等概率Nn抽样）：（1）简单随机抽样、系统抽样（等距抽样）、分层抽样（等比例抽样）． 4、频率分布直方图：组的=f 频率N n （频数和样本容量的比）；小长方形面积=组距×组距频率=频率，（面积和为1）；频率分布折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图；5、回归直线bx a y+=ˆ，过定点),(y x P ． 6、独立性检验（分类变量关系）：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱． 7、排列、组合和二项式定理（1）排列数公式:mn A =n (n -1)(n -2)…(n -m ＋1)=)!(!m n n -(m ≤n ,m 、n ∈N *), 当m =n 时为全排列：nn A =n (n -1)(n -2)…3.2.1=n ！;（2）组合数公式：123)2()1()1()1(!⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅--⋅⋅⋅-⋅==m m m m n n n m A C mn m n（m ≤n ）,10==n n n C C ；（3）组合数性质：m n m n m n m n n mnC C C C C 11;+--=+=；（4）二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ①通项：);,...,2,1,0(1n r b a C T rr n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别；（5）二项式系数的性质： ①与首末两端等距离的二项式系数相等； ②若n 为偶数，中间一项(第2n ＋1项)二项式系数最大；n 为奇数，中间两项(第21+n 和21+n ＋1项)二项式系数最大；③;2;2131221-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n nnn n n n C C C C C C C C（6）求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法． 8、随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：P i ≥0,i=1,2,...； P 1+P 2+ (1)②离散型随机变量：期望：E 1 1 2 2 n n 方差：D X ＝⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ；注：DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+；③二项分布（独立重复试验）：若X ～B （n ,p ）,则EX ＝np , DX ＝np (1- p )；注：k n kk n p p C k X P --==)1()(．9、条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．注：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)． 10、独立事件同时发生的概率：P （AB ）=P （A ）P （B ）． 11、正态总体2(,)N μσ的概率密度函数：,,21)(222)(R x ex f x ∈=--σμσπ（1）式中σμ,是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；（2）正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ 对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值πσ21；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随μ值的变化沿x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散．注：P )(σμσμ+≤<-x =0.6826；P )22(σμσμ+≤<-x =0.9544； P )33(σμσμ+≤<-x =0.9974．【二、专题练习：】一、选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）1．（北京市崇文区2008年高三统一练习）某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（） A ．15种B ．12种C ．9种D ．6种2．（四川省成都市新都一中高2008级12月月考）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（） A 、56个B 、57个C 、58个D 、60个3．某班有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案的种数为（） (A)35(B)70(C)210(D)1054．从6人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案种数共有( )(A)96种 (B)180种 (C)240种 (D)288种5．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是（） A ．80B ． 800C ．90D ．9006．（高州市大井中学2011高三上期末考试）六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（）A ．130 B ．110C ．140D ．1207．（2011·汕头期末）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（） A. 3 B. 3.15 C. 3.5D. 4.58．已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<= （）A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.27189．（2009届高考数学二轮冲刺专题测试）若二项式213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（） A ．3927C - B 3927C C ．499C -D ．949C10．（2011福州期末）如图所示，正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C ，曲线2y x =经过点B ．现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A ．12B ．14 C ．13D ．2511．（2010届·安徽省合肥高三四模（理））从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为（） A ．64228 B ．64240 C ．64264 D ．6428812．（2011锦州期末）某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918χ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05P χ≥≈．对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒r ：这种血清预防感冒的有效率为95%s ：这种血清预防感冒的有效率为5%则下列结论中，正确结论的序号是（） ①p q ∧⌝；②p q ⌝∧；③()()p q r s ⌝∧⌝∧∨；④()()p r q s ∨⌝∧⌝∨（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）都不对二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）13．（2009杭州学军中学第七次月考）在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是．14．（2011巢湖一检）已知随机变量2~(2,)N ξσ，若3(1)4P ξ>-=，则(5)P ξ>= ． 15．（2011嘉禾一中）从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的方法总数为____________．（用数字作答）16．（2009届福建省福鼎一中高三理科）若2005220050122005 (12)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则010********...()()()()a a a a a a a a++++++++=____．（用数字作答）三、解答题（共6个小题，总分74分）17．（2011汕头期末）四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ；24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．18．（江门2011高三上期末调研测试）甲、乙两同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，具体成绩如下茎叶图所示，已知两同学这8次成绩的平均分都是85分．（1）求x ；并由图中数据直观判断，甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定？（2）若将频率视为概率，对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE ．19．（揭阳市2011届高三上学期学业水平考试）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．表1:男生身高频数分布表身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图频率/cm表2:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm ）在[165,180)的概率；（3）在男生样本中，从身高（单位：cm ）在[180,190)的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单位：cm ）在[180,185)的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（2011东莞期末）为了调查老年人的身体状况，某老年活动中心对80位男性老年人和100位女性老年人在一次慢跑后的心率水平作了记录，记录结果如下列两个表格所示，表1：80位男性老年人的心率水平的频数分布表（单位：次/分钟）表2：100位女性老年人的心率水平的频数分布表（单位：次/分钟）（1）从100位女性老人中任抽取两位作进一步的检查，求抽到的两位老人心率水平都在[100,110)内的概率；（2）根据表2，完成下面的频率分布直方图，并由此估计这100女性老人心率水平的中位数；（3）完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“这180位老人的心率水平是否低于100与性别有关”. 表3：附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．全球金融危机，波及中国股市，甲、乙、丙、丁四人打算趁目前股市低迷之际“抄底”，若四人商定在圈定的6只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）．（1）求甲、乙、丙、丁四人恰好买到同一只股票的概率；（2）求甲、乙、丙、丁四人中至多有两人买到同一只股票的概率；（3）由于中国政府采取了积极的应对措施，股市渐趋“回暖”.若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股，女性老年人心率水平频率分布直方图00.010.020.030.040.050.06买入某只股票1000股，且预计今天收盘时，该只股票比上一交易日的收盘价上涨10%（涨停）的概率为0.6持平的概率为0.2，否则将下跌10%（跌停）,求此人今天获利的数学期望（不考虑佣金、印花税等交易费用）．22．（2011苏北四市二调）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,2a a (01)a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()P i ξ=(i =0，1，2，3)中, 若(1)P ξ=的值最大, 求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题 1．答案：D2．解析：万位为3的共计A44＝24个均满足；万位为2，千位为3，4，5的除去23145外都满足，共3×A33－1＝17个；万位为4，千位为1，2，3的除去43521外都满足，共3×A33－1＝17个；以上共计24＋17＋17＝58个，答案：C3．【解析】选B.从7人中选出3人,有种方法,3人相互调整座位,共有2种调整方案,故总的调整方案种数为×2=70(种).4．C5．【解析】选B.因为分层抽样是按比抽取，由B 产品知比为101，再由A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，易得C 产品的样本容量为800. 6．C7． 2.54 4.53456110.70.350.70.35 3.53444t ty x t +++++++=+=⨯+⇒=⇒=由得，选A ；8—12：B B C C C 二、填空题13．答案：14．答案：14 15．答案180 16．答案：2003三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为624=C ，当2=ξ时，摸出小球所标的数字为1，1，61)2(==ξP ，当4=ξ时，摸出小球所标的数字为2，2，61)4(==ξP ，可知，当3=ξ时，3261611)3(=--==ξP ；得ξ的分布列为：12343636E ξ=⨯+⨯+⨯=；（Ⅱ）由“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”可知0)3()2(<f f ，即0)38)(23(<--ξξ，解得3823<<ξ，又ξ的可能取值为2，3，4，故2=ξ，∴事件A 发生的概率为61． 18．解：（1）依题意8587978888082819593=++++++++=x x 甲解得4=x男生样本频率分布直方图频率/cm由图中数据直观判断，甲同学的成绩比较稳定（2）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则4386)(==A P ξ的可能取值为0、1、2、3，且)43 , 3(~B ξ，k k kC k P -==33)41()43()(ξ，其中=k 0、1、2、3所以变量ξ的分布列为：49642736427264916410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （或49433=⨯==np E ξ） 19．解：（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．频率分布直方图如右图示：（2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为： 5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在[165,180)的频率423705==f故由f 估计该校学生身高在[165,180)的概率35=p ．（3）依题意知ξ的可能取值为：1,2,3∵14361(1)5C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===,34361(3)5C P C ξ=== ∴ξ的分布列为：ξ的数学期望1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．解：（1）从100位女性老人中任抽取两位，共有2100C 个等可能的结果，抽到的两位老人心率都在[100,110) 内的结果有250C个，由古典概型概率公式得所求的概率250210049198C p C ==（2）频率分布直方图，略；由0.510(0.010.02)0.2-⨯+=可估计，这100女性老人心率水平的中位数约为0.2100101040.0510+⨯=⨯.（3）2×2列联表，表3：22180(50703030)19.01258010080100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯. 由于210.828K >，所以有99.9%的把握认为“这180位老人的心率水平是否低于100与性别有关” ．21．【解析】（1）四人恰好买到同一只股票的概率1111116.6666216P =⨯⨯⨯⨯= （2）解法一：四人中有两人买到同一只股票的概率22223426462224135.6216C C A C A A P +== 四人中每人买到不同的股票的概承率4634605.621618A P ===所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率231356019565.21621621672P P P =+=+== 解法二：四人中有三人恰好买到同一只股票的概率324644205.621654C A P === 所以四人中至多有两人买到同一只股票的概率14195651.21672P P P =--== （3）每股今天获利ξ的分布列为：所以,1000股股票在今日交易中获利的数学期望为()1000100020.600.220.2800E ξ=⨯⨯+⨯+-⨯=⎡⎤⎣⎦21．解：(1)()P ξ是“ξ个人命中,3ξ-个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.0022121122(0)C 1C (1)(1)P a a ξ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭, 1020121212111222(1)C C (1)C 1C (1)(1)P a a a a ξ⎛⎫==⋅-+--=- ⎪⎝⎭, 1102221212111222(2)C C (1)C 1C (2)P a a a a a ξ⎛⎫==⋅-+-=- ⎪⎝⎭,21221212(3)C C 2a P a ξ==⋅=. 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为 22221112222410(1)1(1)2(2)32a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=. (2) ()221(1)(0)1(1)(1)2P P a a a a ξξ⎡⎤=-==---=-⎣⎦, 22112(1)(2)(1)(2)22a P P a a a ξξ-⎡⎤=-==---=⎣⎦, 222112(1)(3)(1)22a P P a a ξξ-⎡⎤=-==--=⎣⎦. 由2(1)0,120,21202a a a a ⎧⎪-≥⎪-⎪≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩和01a <<，得102a <≤,即a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.。

高三理科数学复习题《概率统计》

CDBAE概率与统计专项训练一、选择题：1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．34２、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（）Ａ．80% Ｂ．90% Ｃ．95% Ｄ．99%３、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）（A ）511 （B ）681 （C ）3061 （D ）40814、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（） A.256625B.192625C.96625D.166255、已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，标准差是2，则xy 的值为（）Ａ、８Ｂ、３２Ｃ、60 Ｄ、８０6、把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为（）（Ａ）23 （Ｂ）25 （Ｃ）35 （Ｄ）137、如图，四边形ABCD 为矩形，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是（）．（Ａ）31 （Ｂ）23 （Ｃ）25 （Ｄ）358．某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次，则恰有1次获得通过的概率为（）43.41.21.31.D C B A 9．下面事件①若a 、b ∈R ，则a·b=b·a ；②某人买彩票中奖；③6+3>10；④抛一枚硬币出现正面向上，其中必然事件有（） A ．① B ．② C ．③④ D ．①②10．在4次独立重复实验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的范围是（）A ．[O ．4，1]B ．(O ，0．4]C ．(O ，0．6]D ．[0．6，1)11．设袋中有8个球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，除了颜色不同外，其余均相同．若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黑球既不得分，也不扣分，则任摸3个球后的所得总分为正分的概率为（）5623.289.74.5619.D C B A 12．从1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则和等于9的概率为（）12513.12416.12518.12519.D C B A 13．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率一分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它恰是甲射中的概率为（）A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 14. 教某气象站天气预报的准确率为80％．则5次预报中至少有4次准确的概率为（） A ，0.2 B ．0.41 C ．0.74 D ．0.6715．有一道试题，A 解决的概率为21，B 解决的概率为31,C 解决的概率为41，则A 、B 、C三人独立解答此题，只有1人解出的概率为（）31.2417.2411.241.D C B A则两人射击成绩的稳定程度是__________________。

人教版高三理科数学课后习题(含答案)高考大题专项(六)概率与统计

高考大题专项(六)概率与统计1.(2019安徽模拟,19)“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习环境,研究人员随机抽取了200名该地党员举行观察,将他们某两天在“学习强国”APP 上所得的分数统计如表所示:(1)由频率漫衍表能够以为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4<Z<83.8);(2)以频率预计概率,若从该地区所有党员中随机抽取4人,记抽得这两天在“学习强国”APP上的得分不低于80分的人数为X,求X的漫衍列与数学盼望.参考数据:√2.2,√6≈2.4,√7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3.2.近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码付出搭车运动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始利用扫码付出.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天利用扫码付出的人次,用x表现运动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:表1凭据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.(1)凭据散点图果断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出果断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;(3)推广期竣事后,车队对乘客的付出方法举行统计,结果如表2.表2已知该线路公交车票价为2元,使用现金付出的搭客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码付出的搭客随机优惠,凭据统计效果得知,利用扫码付出的搭客,享受7折优惠的概率为.享受8折优惠的概率为.享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件发生的频率作为相应变乱产生的概率,估计一名乘客一次搭车的均匀用度.参考数据:其中v i=lg y i,v=17∑i=1 7v i3.(2019广东汕尾模仿,19)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的民众账号,很多手机用户参加微信活动后,为了让自己的步数能领先于朋侪,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为相识用户的一些环境,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:(1)凭据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率漫衍直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;(2)若视频率漫衍为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;(3)若视频率漫衍为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的漫衍列及数学盼望.4.(2019广东省六校第一次联考,19)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1 000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图所示.用样本预计总体,频率预计概率,解决如下问题:(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数漫衍表.(同一组数据用该区间的中点值作代表)2018年2月,国度出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施设置装备摆设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设置装备摆设.现有直流、交流两种充电桩可供购买.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案:方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩;方案二:购买200台直流充电桩和400台交换充电桩.假设车辆充电时优先利用新设置装备摆设,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下使用新设置装备摆设孕育发生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)5.(2019安徽江淮十校联考,21)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷匀称硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为Pn.(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;(2)证明:P n+1-P n=-1(P n-P n-1)(1≤n≤98);2(3)求P99,P100的值.参考答案高考大题专项(六)概率与统计1.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=√80=4√5≈8.8,∴P(57.4<Z<83.8)=P(μ-2σ<Z≤μ+σ)=0.6827+0.95452=0.818 6.(2)从该地区所有党员中随机抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率为40200=15.由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B4,15 ,∴P(X=0)=C40(45)4=256625;P(X=1)=C41×15×(45)3=256625;P (X=2)=C 42×(15)2×(45)2=96625;P (X=3)=C 43×(15)3×45=16625; P (X=4)=C 44×(15)4=1625,所以X 的分布列为所以E (X )=4×15=45.2.解 (1)凭据散点图果断,y=c·dx 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程范例.(2)∵y=c·d x ,两边同时取常用对数得lg y=lg (c·d x )=lg c+lg d·x ; 设lg y=v ,∴v=lg c+lg d·x. ∵x =4,v =1.54,∑i=17x i 2=140,∴lg d ^=∑i=17x i v i -7xv∑i=17x i 2-7x2=50.12-7×4×1.54140-7×42=0.25,把样本中心点(4,1.54)代入v=lg c+lg d ·x ,得lg c ^=0.54,∴v ^=0.54+0.25x ,∴lg y ^=0.54+0.25x ,∴y 关于x 的回归方程式为y ^=100.54+.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x.把x=8代入上式, 得y ^=3.47×102=347,所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z , 则Z 的取值可能为2,1.8,1.6,1.4.P(Z=2)=0.1;P(Z=1.8)=0.3×1=0.15;P(Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P(Z=1.4)=0.3×16=0.05.分布列为所以,一名乘客一次乘车的平均费用为2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元). 3.解(1)根据题意,补充下表凭据表中数据,作出频率分布直方图如下:(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为P=C32×142×34+C33×143=532,综上所述,至少2人步数多于1.2万步的概率为5 32 .(3)由题知微信挚友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为,超过1.2万步的概率为,且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P(ξ=0)=12×12+C21×14×14=38,当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P(ξ=1)=C21×14×12+C21×14×12=12,当X=2,Y=0或X=0,Y=2时,ξ=2,P(ξ=2)=14×14+14×14=18,所以ξ的分布列为E(ξ)=1×1+2×1=3.4.解(1):纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(万元).(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:若接纳方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为30×100+4×900=6 600(辆).可得实际充电车辆数的分布列如下表:实际充电辆数60006600概率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+6 600×0.8)-500×100-80×900=40 000(元).若接纳方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200+4×400=7 600(辆);可得实际充电车辆数的分布列如下表:于是方案二下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+7 000×0.3+7 600×0.5)-500×200-80×400=45 500(元).5.解 (1)由题意可知,随机变量X的可能取值有3,4,5,6.P(X=3)=(12)3=18,P(X=4)=C31·(12)3=38,P(X=5)=C32·(12)3=38,P(X=6)=(12)3=18.所以,随机变量X的分布列如下表所示:所以,随机变量X的数学期望为E(X)=3×18+4×38+5×38+6×18=92.(2)根据题意,棋子要到第(n+1)站,有两种环境,由第n站跳1站得到,其概率为Pn,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率为Pn-1,所以,Pn+1=Pn+Pn-1.等式两边同时减去P n得P n+1-P n=-12P n+12P n-1=-12(P n-P n-1)(1≤n≤98).(3)由(2)可得P0=1,P1=12,P2=12P1+12P0=34.由(2)可知,数列{Pn+1-Pn}是首项为P2-P1=,公比为-的等比数列,∴P n+1-P n=14·(-12)n-1=(-12)n+1,∴P99=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98)=12+(-1 2)2+(-12)3+…+(-12)99=12+14[-(-12)98]1-(-12)=231-12100,又P99-P98=(-12)99=-1299,则P98=231+1299,由于若跳到第99站时,主动制止游戏,故有P100=P98=1+.。

高三数学统计与概率试题答案及解析

高三数学统计与概率试题答案及解析1.展开式中，项的系数为（）A．120B．119C．210D．209【答案】D【解析】展开式中，含项的系数分别为选D.【考点】二项式定理2.（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80-90分数段的学员数为21人（1）求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数；（2）现欲将90-95分数段内的名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．【答案】（1）6；（2）．【解析】根据题中所给的频率分布直方图找某些信息即可得结果，第二问根据题意找出对应的基本事件总数，再找出满足条件的基本事件数，从而得出结果．试题解析：（1）分数段频率为,此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为，分数段内的人数频率为，所以分数段内的人数；（2）分数段内的人中有两名男生,名女生设男生为；女生为,设安排结果中至少有一名男生为事件从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为共种组合方式,每种组合发生的可能性是相同的其中, 至少有一名男生的种数为共种，所以,．【考点】（1）频率分布直方图；（2）古典概型．3.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．【答案】21【解析】由题可知，令，于是有，解得，二项式展开项的通式为，令，因此的系数；【考点】二项式系数的性质4.（本小题共14分）张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）选择L2路线上班最好【解析】（Ⅰ）由题可知，利用二项分布即可得出；（Ⅱ）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；（3）由于走路线时服从二项分布即可得出期望，比较两条路线的期望值即可得出选择的路线；试题解析：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．，，．随机变量的分布列为：．（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，所以．因为，所以选择L2路线上班最好．【考点】•二项分布相互独立事件的概率离散型随机变量的期望5.（本小题满分13分）已知，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求中含项的系数；（Ⅲ）证明：【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）99；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）求展开式中奇数项与偶数项系数和问题，可用计算；（Ⅱ）由题意，由二项式定理可求得展开式中某项的系数；（Ⅲ）这类组合恒等式的证明，通常用构造法，把构造成一个多项式中某项的系数，由（Ⅱ）的提示可得是中的系数，另一方面对求和可得，这个展开式中的系数应该为，这样就能证得结论.试题解析：（Ⅰ）因为,所以,又,所以（1）（2）（1）-（2）得：所以：（Ⅱ）因为，所以中含项的系数为（Ⅲ）设（1）则函数中含项的系数为（2）（1）-（2）得中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为所以【考点】二项式定理及其应用.6.已知的展开式中含项的系数为12，则展开式的常数项为__________．【答案】160【解析】二项式的通项为，令得，．令得，展开式的常数项为．【考点】二项式通项．7.（本小题满分12分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少?（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．①求这两种金额之和不低于20元的概率；②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2），分布列详见解析，．【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、相互独立事件的概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，由用表中数据所得频率代替概率，能求出处罚10元会闯红灯的概率与罚20元会闯红灯的概率的差；第二问，①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的选法有，满足金额之和不低于20元的有6种，由此能求出所求的概率；②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35,由此能求出X的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是．（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为．②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35,分布列为【考点】离散型随机变量的分布列和数学期望、相互独立事件的概率．8.（本小题满分12分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为7．（1）求频率分布直方图中a的值及抽取的学生人数n；（2）现从跳绳次数在［179．5，199．5］内的学生中随机选取2人，求至少有一人跳绳次数在［189．5，199．5］之间的概率。

高中概率与统计试题及答案

高中概率与统计试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。

随机抽取一名学生，抽到男生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.02. 在一次掷骰子的实验中，掷得的点数为奇数的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1.03. 某工厂生产的产品中，有5%的产品是次品。

如果随机抽取100件产品，计算至少有1件次品的概率。

A. 0.95B. 0.975C. 0.995D. 1.04. 某篮球队在一场比赛中，投篮命中率为40%。

如果该队在一场比赛中投篮20次，求至少投中8次的概率。

A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.95. 某次考试共有100道选择题，每题4个选项，随机猜测，求至少猜对20题的概率。

A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.96. 某城市有两家电影院，A影院的观众满意度为70%，B影院的观众满意度为80%。

随机选择一家影院，求观众满意度超过70%的概率。

A. 0.5B. 0.7C. 0.8D. 1.07. 某公司有5名员工，其中2名是女性。

随机选择2名员工参加培训，求至少有1名女性的概率。

A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.88. 某班有40名学生，随机选择5名学生参加竞赛，求至少有1名男生的概率，已知该班男生比例为60%。

A. 0.9B. 0.95C. 0.99D. 1.09. 某地区一年中下雨的天数占总天数的30%，求连续3天都下雨的概率。

A. 0.027B. 0.09C. 0.3D. 1.010. 某彩票中奖率为1/100，求购买一张彩票中奖的概率。

A. 0.01B. 0.1C. 0.5D. 1.0二、解答题（每题10分，共60分）11. 某学校有200名学生，其中100名男生和100名女生。

如果随机抽取4名学生组成一个小组，求该小组中恰好有2名男生的概率。

12. 某工厂的零件合格率为90%，求从100个零件中随机抽取10个，至少有8个合格的概率。

2020年高考数学理科热点题型：概率与统计含参考答案

概率与统计热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题4由独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和. 【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81. 【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×6＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×6＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X 01 2P 25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×15＝15＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝CB1CA1∪C B2C A2.P(C)＝P(CB1CA1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P(C A1)＝1620，P(CA2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820，故P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑ni ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关. (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b ^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K 2＝100×（40×25－15×20）260×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×5＝5，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825。

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．【答案】（1）详见解析；（2）2011. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(2) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有5840155408-=),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P . 【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算．【思维点拨】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A ＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[Λ并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(=⨯+，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01=-.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160=⨯.所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3. 【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,a b 的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=[40,50)1001000.955-⨯-=[40,50)540020100⨯=系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 6.独立性检验的关键①根据22⨯列联表准确计算2K ，若22⨯列联表没有列出来，要先列出此表． ②2K 的观测值k 越大，对应假设事件0H 成立的概率越小，0H 不成立的概率越大．题型三概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； ②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为；．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为A x Z ()2,N μσZ ()14.55,38.45()10,30X X 11.95σ=≈()2~,Z N μσ()0.6826P Z μσμσ-<≤+=(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=26.5x =0.6826X ()2E X =x．（2）①∵服从正态分布，且，，∴， ∴落在内的概率是． ②根据题意得，；；；；． ∴的分布列为∴． 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z ()2,N μσ26.5μ=11.95σ≈(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=Z ()14.55,38.450.68261~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()1422E X =⨯=【思维点拨】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数)(A n ,再求事件AB 所包含的基本事件数()AB n ,得)()()|(A n AB n A B P =. 2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件B A ,相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅=.（2）利用性质,A 与B 相互独立,则A 与A B ,与B ,B A 与也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式k n k k n p p C k X P --==)1()(的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数b aX Y +=的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+(b a ,为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X 服从两点分布,则p X E =)(,)1()(p p X D -=;若),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=.【巩固训练】题型一古典概型与几何概型1.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（）A .B .C .D . {}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416【答案】A【解析】①当时，，情况为符合要求的只有一种； ②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：，8种情况满足的只有4种; 综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：1251214=+=P .2.在区间上任取一数，则的概率是（）A ．B ．C .D ．【答案】C【解析】由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C .(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）74. 【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为0a =()2f x bx =- 1 1 3 5b =-，，，1b =-0a ≠22b b x a a -=-=1ba≤() a b ，()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，()0,4x 1224x -<<12131434211<-<x 32<<x 4,1==D d 41=P考向二统计与统计案例1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只, （Ⅰ）求列联表中的数据,,,的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？22⨯x y A B【答案】（Ⅰ）,,,；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有%9.99的把握认为疫苗有效.【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A, 由已知得,所以,,,．发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．10y =40B =40x =60A =302()1005y P A +==10y =40B =40x =60A =未注射注射．所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？参考公式：，，．【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y yx x x n xyx n yx b y x ni ini iini ini iiΘ，6.0^^=-=x b y a ， ∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2），区平均每个分店的年利润，∴时，取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯S A x y x y x y x A z ,x y 20.05 1.4z y x =--A A y b x a ∧∧∧=+1221ni i i nii x y nxyb x nx ∧==-==-∑∑()()()121niii n ii x x y y x x ==---∑∑a y b x ∧∧=-0.850.6y x =+A A 20.05 1.4z y x =--=20.050.850.8x x -+-A 0.80.050.85z t x x x ==--+800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭4x =t A A3. 某商场对商品30天的日销售量y (件)与时间t (天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系．(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程a t b y +=. (2)已知商品30天内的销售价格z (元)与时间t(天)的关系为,),200(,20),3020(,100⎩⎨⎧∈<<+∈≤≤+-=N t t t N t t t z 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，商品的日销售额最大．参考公式：2121^)(t n tyt n yt b ni ini ii--=∑∑==，t b y a ^^-=.【答案】(1)40^+-=t y ；(2)预测当20=t 时，商品的日销售额最大，最大值为1600元．【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ， 980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i i y t ，22010864222222512=++++=∑=i i t ，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ，故所求的线性回归方程为40^+-=t y . （2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ，所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ，所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元. 题型三概率、随机变量及其分布A A A A1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者654321,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者4321,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含的频率。

2019版高考数学(理科)总复习练习：6.2 概率、统计解答题含解析

6.2概率、统计解答题命题角度1离散型随机变量的分布列与期望、方差高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.2.(2017天津·16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.3.(2017山东·18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率.X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望E(X).记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=.(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.因此X的分布列为X的数学期望是E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.4.(2017全国Ⅲ·18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北黄冈、黄石等八市3月联考)2017年5月,来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”:高铁、扫码支付、共享单车和网购.为拓展市场,某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计,得到如下数据:城市品ⅠⅡⅢⅣⅤ牌甲品牌438612(百万)乙品牌57943(百万)(1)如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”,否则“非优”,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关?(2)如果不考虑其他因素,为拓展市场,甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传.①在城市Ⅰ被选中的条件下,求城市Ⅱ也被选中的概率;②以X表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).下面临界值表供参考:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式:K2=,n=a+b+c+d.解(1)根据题意列出2×2列联表如下:优质优质城非优质城合K2==0.4<2.072,所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌无关.(2)①令事件C为“城市Ⅰ被选中”;事件D为“城市Ⅱ被选中”,则P(C)=,P(CD)=,所以P(D|C)=.②随机变量X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X∴E(X)=1×+2×+3×=1.8.2.(2018山西太原期末)在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有3个红球和7个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球.(1)设ξ表示摸出的红球的个数,求ξ的分布列和数学期望;(2)为了提高同学们参与游戏的积极性,参加游戏的同学每人可摸球两次,每次摸球后放回,若规定两次共摸出红球的个数不少于n,且中奖概率大于60%时,即中奖,求n的最大值.ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,则ξ的分布列为ξ的数学期望为E(ξ)=0×+1×+2×+3×.(2)设两次共摸出红球的个数为η,则η=0,1,2,3,4,5,6.P(η=6)=,P(η=5)=,P(η=4)=,P(η=3)=,P(η=3)=,P(η=1)=,P(η=0)=,则有P(η≥2)=≈60.9%,则n=2.3.(2018辽宁辽南协作校一模)2017年被称为“新高考元年”,随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案,新一轮的高考改革还将继续在全国推进.辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为自己将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某地区为了顺利迎接新高考改革,在某学校理科班的200名学生中进行了“学生模拟选课数据”调查,每个学生只能从表格中的20:为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人要学习生物的概率;(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,记这3人中要学习生物的人数为X ,要学习政治的人数为Y ,设随机变量ξ=X-Y ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.选择学习物理且学习化学的学生有9人,其中学习生物的有4人,从9人中选3人共有=84种选法,有2人选择生物的选法共有=30种,有3人选择生物的选法有=4种,所以至少有2人选择生物的概率为.(2)物化生组合有4人,X 的可能取值为0,1,2,3,物化政组合1人,Y 的可能取值为0,1,ξ的可能取值为-1,0,1,2,3.P (ξ=-1)=P (X=0,Y=1)=;P (ξ=0)=P (X=0,Y=0)+P (X=1,Y=1)=;P (ξ=1)=P (X=1,Y=0)+P (X=2,Y=1)=;P (ξ=2)=P (X=2,Y=0)=;P (ξ=3)=P (X=3,Y=0)=,∴ξ的分布列为∴E (ξ)=-1×+0×+1×+2×+3×=1.4.(2018山西晋城一模)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件,求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率;(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率;(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X表示乙车间的零件个数,求X的分布列与数学期望.解(1)由题意得甲车间的合格零件数为4,乙车间的合格零件数为2,故所求概率为P=1-1-=.即甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率为.(2)设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”;事件D表示“检测通过”;事件E表示“检测良好”.则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=,∴P(E|D)=.故甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为.(3)由题意可得X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.∴随机变量X的分布列为X012P∴E(X)=0×+1×+2×.5.(2018安徽安庆二模)某市有两家共享单车公司,在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车,已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2∶1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量,决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验,若每辆单车被抽取的可能性相同.(1)求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色单车的概率;(2)在骑行体验过程中,发现蓝色单车存在一定质量问题,监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测,并规定若抽到的是蓝色单车,则抽样结束,若抽取的是黄色单车,则将其放回市场中,并继续从市场中随机地抽取下一辆单车,并规定抽样的次数最多不超过n(n∈N*)次.在抽样结束时,已取到的黄色单车以ξ表示,求ξ的分布列和数学期望.解(1)因为随机抽取一辆单车是蓝色单车的概率为,用X表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”,则X服从二项分布,即X~B,所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝色单车的概率p=32=.(2)ξ的可能取值为0,1,2,…,n.P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=2×,……,P(ξ=n-1)=n-1×,P(ξ=n)=n.所以ξ的分布列为:ξ012……n-1nP2×……n-1×nξ的数学期望为E(ξ)=1×+2×2×+3×3×+…+n-1×n-1×+n×n,①E(ξ)=1×2×+2×3×+…+(n-2)×n-1×+n-1×n×+n×n+1.②①-②得:E(ξ)=+2×+3×+…+n-1×+n×n-(n-1)×n×-n×n+1E(ξ)=+2×+3×+…+n-1×+n×,E(ξ)=+2+3+…+n-1+n==21-n.所以E(ξ)=2-2×n.命题角度2统计图表与数据分析及应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)2.(2016全国Ⅰ·19)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 解(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04= 4 040.当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.3.(2016四川·16)我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨).估计x的值,并说明理由.解(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04, 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.4.(2015全国Ⅱ·18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A 1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为,故P(C A1)=,P(C A2)=,P(C B1)=,P(C B2)=,P(C)==0.48.新题演练提能·刷高分1.(2018东北三省三校一模)某商场按月订购一种家用电暖气,每销售一台获利润200元,未销售的产品返回厂家,每台亏损50元,根据往年的经验,每天的需求量与当天的最低气温有关,如果最低气温位于区间[-20,-10],需求量为100台;最低气温位于区间[-25,-20),需求量为200台;最低气温位于区间[-35,-25),需求量为300台.公司销售部为了确定11月份的订购计划,统计了前三年11月份各天的最低气温数据,得到下面的频数分布表:最低气温(℃)[-35,-30)[-30,-25)[-25,-20)[-20,-15)[-15,-10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.(1)求11月份这种电暖气每日需求量X(单位:台)的分布列;(2)若公司销售部以每日销售利润Y(单位:元)的数学期望为决策依据,计划11月份每日订购台或250台,两者之中选其一,应选哪个?解(1)由已知X的可能取值为100,200,300,11+25+36+16+2=90,P(X=100)==0.2,P(X=200)==0.4,P(X=300)==0.4.X的分布列为:X100200300P0.20.40.4(2)由已知,得①当订购200台时,E(Y)=[200×100-50×(200-100)]×0.2+200×200×0.8=35 000(元).②当订购250台时,E(Y)=[200×100-50×(250-100)]×0.2+[200×200-50×(250-200)]×0.4+(200×250)×0.4=37 500(元).综上所求,当订购250台时,Y的数学期望最大,11月每日应订购250台.2.(2018四川资阳三诊)某超市计划销售某种食品,现邀请甲、乙两个商家进场试销10天.两个商家提供的返利方案如下:甲商家每天固定返利60元,且每卖出一件食品商家再返利3元;乙商家无固定返利,卖出30件以内(含30件)的食品,每件食品商家返利5元,超出30件的部分每件返利8元.经统计,两个商家的试销情况茎叶图如下:(1)现从甲商家试销的10天中抽取两天,求这两天的销售量都小于30件的概率;(2)若将频率视作概率,回答以下问题:①记商家乙的日返利额为X(单位:元),求X的分布列和数学期望;②超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售,如果仅从日平均返利额的角度考虑,请利用所学的统计学知识为超市作出选择,并说明理由.解(1)记“抽取的两天销售量都小于30件”为事件A,则P(A)=.(2)①设乙商家的日销售量为a,则当a=28时,X=28×5=140;当a=29时,X=29×5=145;当a=30时,X=30×5=150;当a=31时,X=30×5+1×8=158;当a=32时,X=30×5+2×8=166.所以X的所有可能取值为:140,145,150,158,166.所以X的分布列为X140145150158166P所以E(X)=140×+145×+150×+158×+166×=152.8.②依题意,甲商家的日平均销售量为:28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.1+32×0.1=29.5.所以甲商家的日平均返利额为:60+29.5×3=148.5元.由①得乙商家的日平均返利额为152.8元(>148.5元),所以推荐该超市选择乙商家长期销售.3.(2018吉林长春质量监测二)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400)(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.(1)现按分层抽样从质量为[250,300),[300,350)的芒果中随机抽取9个,再从这9个中随机抽取3个,记随机变量X表示质量在[300,350)内的芒果个数,求X的分布列及数学期望.(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,将频率视为概率,某经销商来收购芒果,该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个,经销商提出如下两种收购方案:A:所有芒果以10元/千克收购;B:对质量低于250克的芒果以2元/个收购,高于或等于250克的以3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?解(1)9个芒果中,质量在[250,300)和[300,350)内的分别有6个和3个.则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1.(2)方案A:(125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)×50×10000×10×0.001=25 750(元).方案B:低于250克:(0.002+0.002+0.003)×50×10 000×2=7 000(元),高于或等于250克:(0.008+0.004+0.001)×50×10 000×3=19 500(元),总计:7 000+19 500=26 500(元).由25 750<26 500,故B方案获利更多,应选B方案.4.(2018河北石家庄一模)小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在(n=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率,回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列,数学期望及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.1 .42=1 971.36)解(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=100+n,n∈N, 乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=(2)①由已知,在这100天中,:单5254565860数频0.20.30.20.20.1率所以X甲的分布列为:X152154156158160甲P0.20.30.20.20.1所以E(X甲)=152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1=155.4,=0.2×(152-155.4)2+0.3×(154-155.4)2+0.2×(156-155.4)2+0.2×(158-155.4)2+0.1×(160-155.4)2=6.44,同样,X乙的分布列为:X140152176200乙P0.50.20.20.1所以E(X乙)=140×0.5+152×0.2+176×0.2+200×0.1=155.6,=0.5×(140-155.6)2+0.2×(152-155.6)2+0.2×(176-155.6)2+0.1×(200-155.6)2=404.64.②答案一:由以上的计算可知,虽然E(X甲)<E(X乙),但两者相差不大,且远小于,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,E(X甲)<E(X乙),即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.5.(2018广东深中、华附、省实、广雅四校联考)依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示.甲乙试估计该河流在8月份水位的中位数;(1)以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;(2)该河流域某企业,在8月份,若没受1、2级灾害影响,利润为500万元;若受1级灾害影响,则亏损100万元;若受2级灾害影响则亏损1 000万元.现此企业有如下三种应对方案:方案防控等级费用(单位:万元)方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.解(1)依据甲图,记该河流8月份“水位小于40米”为事件A1,“水位在40米至50米之间”为事件A2,“水位大于50米”为事件A3,它们发生的概率分别为:P(A1)=(0.02+0.05+0.06)×5=0.65,P(A2)=(0.04+0.02)×5=0.30,P(A3)=0.01×5=0.05.记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B1,“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件B2,“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B3,所以P(B1)=0.10,P(B2)=0.20,P(B3)=0.60.记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B,则P(B)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.65×0.10+0.30×0.20+ 0.05×0.60=0.155.估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155.(2)以企业利润为随机变量,选择方案一,则利润X1(万元)的取值为:500,-100,-1 000,由(1)知,P(X1=500)=0.65×0.9+0.30×0.75+0.05×0=0.81,P(X1=-100)=0.155,P(X1=-1 000)=0.65×0+0.30×0.05+0.05×0.40=0.035.X1的分布列为则该企业在8月份的利润期望E(X1)=500×0.81+(-100)×0.155+(-1 000)×0.035=354.5(万元).选择方案二,则X2(万元)的取值为:460,-1 040,由(1)知,P(X2=460)=0.81+0.155=0.965,P(X2=-1 040)=0.035,X2的分布列为:X2460-1 040P0.9650.035则该企业在8月份的平均利润期望E(X2)=460×0.965+(-1 040)×0.035=407.5(万元).选择方案三,则该企业在8月份的利润为:E(X3)=500-100=400(万元),由于E(X2)>E(X3)>E(X1),因此企业应选方案二.6.(2018山西考前适应性测试)某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过1 kg的包裹收费10元;重量超过1 kg的包裹,除1 kg收费10元之外,超过1 kg的部分,每超出1 kg(不足1 kg 的按1 kg计算)需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:公司对近60天,每天揽件数量统计如下表:以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101~400之间的概率;(2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人,每人每天揽件不超过150件,工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?解(1)样本包裹件数在101~400之间的天数为48,频率f=,故可估计概率为,显然未来3天中,包裹件数在101~400之间的天数X服从二项分布,即X~B3,,故所求概率为×2×.(2)①包裹重量(单12345位:kg)快递费(单位:1015202530元)包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为=15(元),故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及①,揽件数每增加1,可使前台工资和公司利润增加15×=5(元),将题目中的天数转化为频率,得包裹0~100101~200201~300301~400401~500件数范围包裹件数50150250350450(近似处理)天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员,则每天可揽件的上限为450件,公司每日揽件数情况如下:包裹件数50150250350450(近似处理)实际50150250350450揽件数Y频率0.10.10.50.20.1E(Y)50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为260×5-3×100=1 000(元);若裁员1人,则每天可揽件的上限为300件,公司每日揽件数情况如下:。

高考数学真题分项汇编专题15 概率与统计(解答题)理(含解析)-人教版高三全册数学试题

专题15 概率与统计（解答题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．3．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 4．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)45 127p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-，所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．6．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i ）490，（ii ）应该对余下的产品作检验．【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =，当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<．所以()f p 的最大值点为00.1p =．（2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+．所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX >，故应该对余下的产品作检验．7．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5y t =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】（1）模型①：226.1亿元，模型②：256.5亿元；（2）利用模型②得到的预测值更可靠，理由见解析．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y=-+⨯=(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y=+⨯=(亿元)．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5yt =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．8．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）列联表见解析；（3）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知7981802m+==．列联表如下：（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．9．【2018年高考北京卷理数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【答案】（1）0.025；（2）0.35；（3）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．故所求概率为500.0252000=．（2）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P （AB AB +）=P （AB ）+P （AB ） =P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）．由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2．故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（3）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ．10．【2018年高考天津卷理数】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．【答案】（1）分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）分布列见解析，12()7E X =，（ii ）67．【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C kk -⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67． 11．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈0.09≈．【答案】（1）(1)0.0408P X ≥≈，0.0416EX =；（2）（ⅰ）见解析，（ⅱ）μ的估计值为10.02，σ的估计值为0.09．【分析】（1）根据题设条件知一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，则零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，而~(16,0.0026)X B ，进而可以求出X 的数学期望．（2）（i ）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii ）根据题设条件算出μ的估计值和σ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，算出剩下数据的平均数，即为μ的估计值，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差，即为σ的估计值．【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ．因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈． X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=．（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02． 162221160.212169.971591.134i i x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈．【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望．正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则．12．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.35kg ．【分析】（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A 的概率估计值；（2）写出列联表计算2K 的观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）结合频率分布直方图估计中位数为52.35kg ．【解析】（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62++++⨯=，故()P B的估计值为0.62．新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66+++⨯=，故()P C的估计值为0.66．因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092⨯=．（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：2K的观测值2200(62663438)15.70510010096104k⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于15.705 6.635>，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5++⨯=<，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.0040.0200.0440.068)50.680.5+++⨯=>，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为0.50.345052.35(kg)0.068-+≈．【名师点睛】（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测值k值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．13．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【答案】（1）分布列见解析；（2）n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．【分析】（1）X 所有的可能取值为200，300，500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；（2）由题中所给条件分类讨论可得n =300时，Y 的数学期望达到最大值，为520元．【解析】（1）由题意知，X 所有可能取值为200，300，500，由表格数据知216(200)0.290P X +===，36(300)0.490P X ===，2574(500)0.490P X ++===．因此X 的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤．当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20,25)，则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-；因此20.4(12002)0.48002()0.26400.4EY n n n n =⨯+-⨯+-⨯=-．当200300n ≤<时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-；因此20.40.480()()020.2160 1.2EY n n n =⨯++-⨯=+．所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是p i ≥0(i ＝1，2，…)；二是p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验分布列的正误．14．【2017年高考天津卷理数】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】（1）分布列见解析，13()12E X =；（2）1148．【分析】（1）由题可得X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，然后列出随机变量X 的分布列并计算其数学期望；（2））设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯包括：第1辆遇到1个红灯且第2辆没遇到红灯、第1辆没遇到红灯且第2辆遇到1个红灯，求这两个事件的概率的和即可．【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=， 11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=， 1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=， 1111(3)23424P X ==⨯⨯=．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数，Z 表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z +====+=====+11111111(1)(0)42424448P Y P Z ===⨯+⨯=．所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．15．【2017年高考北京卷理数】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【答案】（1）0.3；（2）分布列见解析，()1E ξ=；（3）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．【分析】（1）根据所给图数出60y <的人数，再除以50就是概率；（2）由图可知A,C 两人的指标 1.7x >，根据超几何分布写出分布列，0,1,2ξ=，22224C C ()(0,1,2)C kk P k k ξ-===，并求数学期望；（3）方差。

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理科概率与统计课前练习1．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为__________解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，11153231031.4C C C P C ⇒=-= 2．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是_______________解：从中任取两个球共有66212=C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有122326=-C C 种取法，概率为1126612=，. 3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。

现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 解：P=64⨯61=91 4．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．解： 212335310C C C ==3.0 5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为．（用数值作答）由题意知所求概率37310111522128p C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知识梳理：离散型随机变量的分布列。

(1)分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1, x 2, …, xi , …， ξ取每一个值xi （i =1，2，……）的概率P （ξ=xi ）＝Pi ，则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列．(2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： <1> P i ≥0，i ＝1，2，……；<2> P 1＋P 2＋……=1． (3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是()kkn kn P k C p qξ-==，其中k =0，1，…，n ．q =1－p ，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B （n ，p ）其中n ，p 为参数，记k k n kn C p q -=b (k ；n ，p ).（4）离散型随机变量ξ的期望：E ξ=x1p1+x2p2+……+xipi+… （5）离散型随机变量ξ的方差：2221122()()()i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+2(6),(,0),a b a b a E aE b D a D ξηξηξηξ=+≠=+=若为随机变量则为常数，也为随机变量，且。

(7)B(n,p),E =np,D =np(1-p).ξξξ若则★★★ 突破重难点【范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．解(1)0,1,2,3ξ= 22342255189P( 0)=10050C C C C ξ=∙==, 211123324422225555C 24P( 1 )=C 50C C C C C C C ξ=∙+∙=,11122324422222555515(2)50C C C C C P C C C C ξ==∙+∙=, 124222552(3)50C C P C C ξ==∙= 所以ξ的分布列为ξ的数学期望E(ξ)=0123 1.250505050⨯+⨯+⨯+⨯=(2) P(2ξ≥)=15217(2)(3)505050P P ξξ=+==+= 变式：袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ε表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量ε的概率分布和数学期望； (3)计分介于20分到40分之间的概率．解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则311152223102()3C C C C P A C ⋅⋅⋅== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为1215283101()3C C C P B C ⋅⋅==，所以12()1()133P A P B =-=-=．（II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5．211222223101(2);30C C C C P C ξ⋅+⋅===211242423102(3);15C C C C P C ξ⋅+⋅=== 211262623103(4);10C C C C P C ξ⋅+⋅===211282823108(5);15C C C C P C ξ⋅+⋅===因此ε的数学期望为2345301510153E ε=⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则2313()("3""4")("3")("4")151030P C P P P εεεε=====+==+=或【范例2】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13, 25 , 12．(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ．解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A 1 ， "乙投篮1次投进"为事件A 2 ， "丙投篮1次投进"为事件A 3，"3人都没有投进"为事件A ．则P (A 1)= 13，P (A 2)= 25，P (A 3)= 12，∴ P (A ) = P (1A ．2A ．3A )=P (1A )·P (2A )·P (3A )= [1－P (A 1)] ·[1－P (A 2)] ·[1－P (A 3)]=(1－13)(1－25)(1－12)=15∴3人都没有投进的概率为15．(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξ~ B (3， 25)，P(ξ=k)=C 3k (25)k (35)3－k(k=0，1，2，3)， E ξ=np = 3×25 = 65．解法二: ξ的概率分布为E ξ=0×27125 +1×54125 +2×125 +3×125 = 5．分析提示：已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n 次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。

变式：假设每一架飞机引擎飞机中故障率为P ，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？解飞机成功飞行的概率：4引擎飞机为：23224443342224)1(4)1(6)1()1(PP P P P PC P P C P P C +-+-=+-+-2引擎飞机为：222212)1(2)1(P P P P C P P C +-=+-要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要02783)1(2)1(4)1(62324322≥-+-+-≥+-+-p P P P P P P P P P P所以32,023≥≥-P P【范例3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。

设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为111,,,91011且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；(4分) （2）获赔金额ξ的分布列与期望。

(9分)解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =．（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=．综上知，ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法：解法一：由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 299002718.1811=≈（元）．解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，，则1ξ有分布列故11900010009E ξ=⨯=．同理得21900090010E ξ=⨯=，319000818.1811E ξ=⨯≈．综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）．变式：猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米. 如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率. 解记三次射击依次为事件A ，B ，C ，其中21)(=A P ,由2100)(21k A P ==，求得k=5000。