人教版数学九年级上册第24章 园 24.1.2垂直于弦的直径 课例分析课件(共32张PPT)
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《24.1.2垂直于弦的直径》 课例分析
24.1.2垂直于弦的直径 （第一课时）
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算 问题；
3. 经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳 概括能力.
A 4E
B
3
O
C
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
A
42
E
r
r-2
O
B
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有
时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结 合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径， 弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理．
O
A
E
B
O
CE
D
AC
O E DB
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中， 学生的思维得到不断的锻炼.
r r
新知应用
A
E
B
O
C
O
A
M
A'
D
如何证明圆是轴对称图形？ 定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明， 对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径 所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
证明：连接OA，O A ′. 在△ OA A ′中， ∵OA=OA ′， ∴ △ OA A ′是等腰三角形.
rO
d
A
aE
B
2
D
课堂小结
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
O
E A
B
D
C
A
E
B
O
A
E
B
O
进一步熟悉垂径定理的内容及应用垂径定理的基本图形.
课堂小结
2．常用的辅助线是从圆心作一条与弦垂的 线段，连接半径，
构造直角三角形．那么圆的半径 r ，圆心到弦的距离 d，弦
长 a 之间 的关系式为 .
又∵A A ′ ⊥CD， ∴AM=M A ′ ， 即CD是A A ′ 的垂直平分线.
C
O
A
M
A'
D
将证明思路 和证明过程 更好衔接.
探究新知
如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图
形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？
1.动手实验得结论；
O
A
B
承接前面圆是轴对称图形的探究，只是图形增加一条弦，有助于学生积极思考， 大胆猜想，动手实践获得成就感.
在这组图形中，学生通过结合图形，进一步理解定理应用的条件①过圆心，②垂直于弦
缺一不可，对于定理中的“径”，有时无须出现直径或半径，可以是过圆心的直线和线 段.通过图形辨析深化学生对定理的理解，使得定理的内容得到及时巩固，总结了应用定 理的基本图形.
新知应用
例1 如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
3.验证猜想得定理；
引导学生利用圆的轴对称性证明猜想.
探究新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧．
一条直线若满足：
C
∵CD是⊙O的直径，
①过圆心,
CD⊥AB于点E，
O
E A
∴AE=BE，
B
D
AC BC ，
AD BD ．
②垂直于弦, 则③平分弦,
④平分弦所对的优弧，
⑤平分弦所对的劣弧．
探究新知
设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线 对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？
C
2.动画演示得猜想；
·O
AE
B
通过该问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知.
探究新知
猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦， 也能平分这条弦所对的两条弧. 那又该如何验证这个猜想呢？
4.归纳定理再总结；
注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦. 这五条的总结既可以加深学生对定理的理解，又为后面学习垂径定理的推论的做好准备.
探究新知
下列图形是否适合用垂径定理呢？
①过圆心，②垂直于弦．
C C
A
O
A
E
B
D
AB⊥CD于E
O
C
O
E
A
E
B
D
CD为直径
B
OC⊥AB于E
A
E
B
O
OE⊥AB于E
C
A
E
B
O
AC
O
E DB
思考1 在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？
思考2 如果我们设圆的半径为 r，圆心到弦的距离为 d，弦长为 a，
你能找到它们三者之间的关系吗？
C
设置思考归纳环节，通过例题的进一步理解，及时总结归纳有助于学 生养成系统整理知识的习惯，对应用垂径定理的基本图形，基本方法， 基本规律有了一定的认识，也为本节课的课堂小结做了铺垫.
C
rO
d
A
aE
B
2
D
rO
A
d
B
aE
2
从数学方法和数学思想的方面总结了垂径定理应用的注意事项， 提升了学生的能力和思维.
布置作业
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm， 则∠AOB= °，点O到AB的距离为 ．
O
C
A
B
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16， 以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．
AC
O
DB
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．
O
AC E D B
新知应用
如何证明圆是轴对称图形？ 初稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
证明：连接OA，O A ′. 在△ OA A ′中， ∵OA=OA ′， ∴ △ OA A ′是等腰三角形.
又∵A A ′ ⊥CD， ∴AM=M A ′ ， 即CD是A A ′ 的垂直平分线.
教学重点：垂径定理及应用. 教学难点：垂径定理的证明及应用.
教学环节
1.动手探究 2.探究新知 3.新知应用 4.课堂小结 5.布置作业
动手探究
• 如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得 到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是圆的对称轴.
24.1.2垂直于弦的直径 （第一课时）
24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）
教学目标
1．通过观察实验，理解圆的轴对称性；
2．掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算 问题；
3. 经历探索垂径定理的过程，提升观察、分析、逻辑推理和归纳 概括能力.
A 4E
B
3
O
C
例2 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂 足 为E，若CE=2cm，AB=8cm，求⊙O的半径．
A
42
E
r
r-2
O
B
主要是在计算上应用垂径定理解决问题，常用的辅助线是作过圆心垂直于弦的线段，有
时通过设未知数列方程的方法解决问题，充分渗透方程思想，将勾股定理和垂径定理结 合起来应用.学会规范书写解题格式，通过图形逐步熟悉垂径定理的基本图形，熟悉半径， 弦长，圆心到弦的距离三者之间的关系，为例题之后的思考归纳做好准备工作.
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路3：过点O作OE⊥AB于点E， 根据垂径定理．
O
A
E
B
O
CE
D
AC
O E DB
引导学生观察图形，逐步发现垂径定理的基本图形，在寻找其他更好的方法的过程中， 学生的思维得到不断的锻炼.
r r
新知应用
A
E
B
O
C
O
A
M
A'
D
如何证明圆是轴对称图形？ 定稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.我们还可以证明， 对于圆上任意一点A在圆上都能找到一点A＇，这两点关于直径 所在直线对称，我们如何找到这样的点A＇呢？
证明：连接OA，O A ′. 在△ OA A ′中， ∵OA=OA ′， ∴ △ OA A ′是等腰三角形.
rO
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A
aE
B
2
D
课堂小结
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
C
O
E A
B
D
C
A
E
B
O
A
E
B
O
进一步熟悉垂径定理的内容及应用垂径定理的基本图形.
课堂小结
2．常用的辅助线是从圆心作一条与弦垂的 线段，连接半径，
构造直角三角形．那么圆的半径 r ，圆心到弦的距离 d，弦
长 a 之间 的关系式为 .
又∵A A ′ ⊥CD， ∴AM=M A ′ ， 即CD是A A ′ 的垂直平分线.
C
O
A
M
A'
D
将证明思路 和证明过程 更好衔接.
探究新知
如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图
形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？
1.动手实验得结论；
O
A
B
承接前面圆是轴对称图形的探究，只是图形增加一条弦，有助于学生积极思考， 大胆猜想，动手实践获得成就感.
在这组图形中，学生通过结合图形，进一步理解定理应用的条件①过圆心，②垂直于弦
缺一不可，对于定理中的“径”，有时无须出现直径或半径，可以是过圆心的直线和线 段.通过图形辨析深化学生对定理的理解，使得定理的内容得到及时巩固，总结了应用定 理的基本图形.
新知应用
例1 如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
3.验证猜想得定理；
引导学生利用圆的轴对称性证明猜想.
探究新知
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧．
一条直线若满足：
C
∵CD是⊙O的直径，
①过圆心,
CD⊥AB于点E，
O
E A
∴AE=BE，
B
D
AC BC ，
AD BD ．
②垂直于弦, 则③平分弦,
④平分弦所对的优弧，
⑤平分弦所对的劣弧．
探究新知
设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线 对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？
C
2.动画演示得猜想；
·O
AE
B
通过该问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知.
探究新知
猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦， 也能平分这条弦所对的两条弧. 那又该如何验证这个猜想呢？
4.归纳定理再总结；
注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦. 这五条的总结既可以加深学生对定理的理解，又为后面学习垂径定理的推论的做好准备.
探究新知
下列图形是否适合用垂径定理呢？
①过圆心，②垂直于弦．
C C
A
O
A
E
B
D
AB⊥CD于E
O
C
O
E
A
E
B
D
CD为直径
B
OC⊥AB于E
A
E
B
O
OE⊥AB于E
C
A
E
B
O
AC
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E DB
思考1 在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？
思考2 如果我们设圆的半径为 r，圆心到弦的距离为 d，弦长为 a，
你能找到它们三者之间的关系吗？
C
设置思考归纳环节，通过例题的进一步理解，及时总结归纳有助于学 生养成系统整理知识的习惯，对应用垂径定理的基本图形，基本方法， 基本规律有了一定的认识，也为本节课的课堂小结做了铺垫.
C
rO
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A
aE
B
2
D
rO
A
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2
从数学方法和数学思想的方面总结了垂径定理应用的注意事项， 提升了学生的能力和思维.
布置作业
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm， 则∠AOB= °，点O到AB的距离为 ．
O
C
A
B
2．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16， 以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，
新知应用
例3 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D
两点．求证：AC＝BD．
思路1：连接OA，OB，OC，OD．
证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．
AC
O
DB
思路2：连接OA，OB，OC，OD．
过点O作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．
O
AC E D B
新知应用
如何证明圆是轴对称图形？ 初稿：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
证明：连接OA，O A ′. 在△ OA A ′中， ∵OA=OA ′， ∴ △ OA A ′是等腰三角形.
又∵A A ′ ⊥CD， ∴AM=M A ′ ， 即CD是A A ′ 的垂直平分线.
教学重点：垂径定理及应用. 教学难点：垂径定理的证明及应用.
教学环节
1.动手探究 2.探究新知 3.新知应用 4.课堂小结 5.布置作业
动手探究
• 如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径 对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得 到什么结论？
结论：圆是轴对称图形，任何一条直径 所在直线都是圆的对称轴.