河南2013中考考前重点中学联手预测-数学

2013年河南中考考前重点中学联手预测卷（3月30日）
数 学
注意事项：
1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟. 请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
2．答题前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共18分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1．
(
2
的平方根是【 】
（A ）2± （B ） （C （D ） 1.414±
2．为支援鹤壁洪水灾区，鹤壁电视台举办了《情系大树，爱无边》赈灾募捐舞会，晚会现场募得善款达2175000000元．2175000000用科学计数法表示正确的是【 】
（A ）
6217510⨯ （B ）821.7510⨯ （C ）92.17510⨯ （3.如图，将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿其对角 线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移，得 到△C B A '''ˊ
，若两个三角形重叠部分的面积是 1cm 2
，则它移动的距离A A 'ˊ
等于 【 】
A.0.5cm
B.1cm
C.1.5cm
D.2cm 4. 下列说法正确的有 【 】
（1）如图（a ），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径； （2）如图（b ），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；
（3）如图（c ），两次使用丁字尺（CD 所在直线垂直平分线段AB ）可以找到圆形工件的
´
（第8题）
圆心；
（4）如图（d ），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从P 点看A 点时仰角的度数．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，已知直线b x y +=3与2-=ax y 的交点的横坐标为2-，根据图象有下列3个结论：①0>a ；②0>b ；③2->x 是不等式23->+ax b x 的解集．其中正确的个数是 【 】
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．如图，已知A （4，0），点1A 、2A 、…、1
n A -将
线段OA n 等分，点1B 、2B 、…、1n B -、B 在直线0.5y x =上，且11A B ∥22A B ∥…∥11n n A B
--∥AB ∥y 轴．记△11OA B 、△122A A B 、…、△211n n n A A B ---、△1n A AB -的面积分别为1S 、2S 、…1n S -、n S ．当n 越来越大时，猜想1S +2S +…+n S 最近的常数是【 】
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 二、填空题（每小题3分，共27分）
7．如图，已知等边ABC △，D 是边BC 的中点，过D 作DE ∥AB 连结BE 交AD
于1
D ；过1
D 作D 1
E 1∥AB 于1
E ，连结1
BE 交AD 于2
D ；过2
D 作
D 2
E 2∥AB 于2
E ，…，
如此继续，若记BDE
S
△为S 1，记
11B D E S △为S 2，记
22B
D E S △为S 3…，若ABC
S
△面积为Scm 2
，
则Sn=_____ cm 2(用含n 与S 的代数式表示)
8．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P （0，2-）处开始依次关于点A （1-，1-），B （1，2），C （2，1）作循环对称跳
（第6题）
y （a ） （b ） （c ）
（d ）
A
A
B
C D
P
动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N 关于点C 的对称点处，…，如此下去．则经过第2011次跳动之后，棋子落点的坐标为 ▲ ．
9．课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为200的微生物会出现在第 天．
10.如图，直线m 上摆着三个正三角形：△
ABC 、△HFG 、△DCE 。

已知
1
2
BC CE
=，点F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM//AC ，GN//DC.设图中的三个平行四边形的面积依次为1S 、2S 、3
S ，若
1310S S +=，则2S =_______。

11. 9. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，
使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O 所经过的路线长是 米．
12
__________．
11．如图，是某班赈灾捐款统计图，该班人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的．统计图反应了不同捐款数的人数占班级总人数的比例，那么该班同学平均每人捐款 __________ 元．
12.如图，正方体的棱长为2，一只蚂蚁沿正方体的表面从A 点爬到CD 中点P 的位置，则蚂
蚁爬行的最短路径长为
13．如图，坐标系的原点为O ，点P 是第一象限内抛物线
2
11
4
y x =-上的任意一点，PA ⊥
x 第9题
轴于点A ．则OP PA -=__________．
14．如图，分别过点P i （i ，0）（i =1、2、…、n ）作x 轴的垂线，交
212
y x
=的图象于点
A i ，交直线
12y x =-于点B i ．则1122111n n
A B A B A B +++=
_________． 15．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，
3tan 4
A =
，经过点C 且与边AB 相切的动
圆与CA 、CB 分别交于点D 、E ，则线段DE 长度的最小值是__________．
三、解答题（本大题共8个小题， 满分75分） 16．（8分）先化简
222
8224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭
，然后从33a -<<的范围内选取一个你认为合适的整数作为a 的值代入求值．
17．（9分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长BC 到E ，使CE =AD ．
⑴ 用尺规作图法，过点D 作DM ⊥BE ，垂足为M （不写作法，保留作图痕迹）；
⑵判断BM 、ME 的大小关系，并说明理由．
（第14题）
（第
13题）
（第
15题）
（第17题） A E C B D
18．（9分）某超市有A、B、C三种型号的甲种品牌饮水机和D、E两种型号的乙种品
牌饮水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室．
⑴写出所有的选购方案，如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机
被选中的概率是多少？
⑵如果该学校计划用1万元人民币购买甲、乙两种品牌的饮水机共24台（价格如表格
所示），其中甲种品牌饮水机选为A型号的，请你算算该中学购买到A型号饮水机共多少台？品牌甲乙
型号 A B C D E
单价（元）600 400 250 500 200
19．（9分）某高级中学要印制宣传册，联系了甲、乙两家印刷厂．甲厂的优惠条件是：
按每份定价1.5元的8折收费，另收900元的制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则按4折优惠，且甲、乙两厂都规定：一次印刷数量不低于1000份．
⑴分别求出两家印刷厂收费y（元）与印刷数量x（份）的函数关系式，并指出自变
量x的取值范围；
⑵如何根据印刷数量选择比较合算的方案？如果该中学要印制3000份宣传册，那么应当选择哪家印刷厂？需要多少费用？
20．（9分）如图，气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风，在距台风中心60千米的圆形区域内将会受严重破坏．台风中心正从海岸M点登陆，并以72千米/时的速度
城千米；M
沿北偏西60°的方向移动．已知M点位于A城的南偏东15°方向，距A
点位于B城的正东方向，距B
城千米．
假设台风在移动过程中，其风力和方向保持不变，请回答下列问题：
⑴A城和B城是否会受到此次台风的侵袭？并说明理由；
⑵若受到此次台风侵袭，该城受到台风侵袭的持续时间有多少小时？
B M
（第20题）
21．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =4，点P 是斜边AB 上一个动点，点D 是CP 的中点，延长BD 至E ，使DE =BD ，连结AE ．
⑴ 求四边形PCEA 的面积；
⑵ 当AP 的长为何值时，四边形PCEA 是平行四边形； ⑶ 当AP 的长为何值时，四边形PCEA 是直角梯形．
22．（10分）某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A 种商品，所获得利润y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：y kx =．当投资5万元时，可获得利润2万元；
项目二：销售B 种商品，所获得利润y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2y ax bx =+．当投资4万元时，可获得利润3.2万元；当投资2万元时，可获得利润2.4万元．
⑴ 请分别求出上述的正比例函数表达式和二次函数表达式；
⑵ 如果超市同时对A 、B 两种商品共投资12万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案获得的最大利润是多少？
（第21题）
23.如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2
＋33(a ≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）①若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动
的时间为t （s ）．问：当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
②若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
数学参考答案
一、选择题：1．B ；2．C ；11.B 12.D 13.D 6．B （2（1+1/n ））． 二、填空题：7．
2
)1(+n S
；8． （—2，0） 9．６．10．4；11．2π+50； 12．2 ；13．2；
14．2n /(n +1)．15．4.8（ED =CO +OP ≥CH 垂线段）． 三、解答题：16．原式
22
28(2)81(2)(2)(2)2(2)(2)2
a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-+-=+⨯== ⎪--+--++⎝⎭．
在33a -<<范围的整数中，只有±1可取，若令1a =-，则原式=1．
17．⑴略；⑵BM =ME ．证明△ABD ≌△CDE （SAS ），得等腰△BDE ．三线合一，可知BM =ME ．
18．⑴ 选购方案：（AD ）、（AE ）、（BD ）、（BE ）、（CD ）、（CE ）；P =2/6=1/3；
⑵ 设购买A 型号饮水机x 台，方案1：（A 、D ），则600500(24)10000x x +-=；解得20x =-，不合题意舍去；方案2：（A 、E ），则600200(24)10000x x +-=，解得13x =．答：能买到A 型号饮水机13台．
19．⑴ y 甲=1.2900x +，x ≥1000，且x 是整数；y 乙=1.5360x +，x ≥1000，且x 是整数； ⑵ 若y 甲> y 乙，即1.2900 1.5360x x +>+，1800x <；若y 甲= y 乙，则1800x =；若y 甲< y 乙，则1800x >．
所以，当10001800x <≤时，选择乙厂合算；当1800x =时，两厂收费相同；当1800x >时，选择甲厂合算．
当3000x =时，选择甲厂，费用是y 甲=4500元．
20．⑴ A 到MN 的距离为61>60，不受台风影响；B 到MN 的距离为
<60，受台风影响； ⑵ 以B 为圆心，以60为半径的圆截MN 得线段长为60，受到台风影响时间为60/72=5/6小时．
21．作CH ⊥AB ，垂足为H ，则CH
连结EP ，因为CD =DP ，BD =DE ，得□PBCE ．则CE =PB ，EP =CB =2．
⑴
()22APCE S CE AP CH AB CH =+÷=⋅÷=；
⑵ 当AP =2时，得□PCEA ，∵AP =2=PC =EC ，且EC ∥AP ；
⑶ 当AP = 3时，P 、H 重合，EC ∥AP ，∠CPA =90°，AP =3≠1= PB =EC ，得直角梯形PCEA ； 当AP = 1时，△APE 是直角三角形，∠EAP =90°，EC ∥AP ， AP =1≠3=PB =EC ，得直角梯形PCEA ．
22．⑴y A =0.4x ；y B =−0.2x 2+1.6x ；
⑵ 设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品（12−x ）万元．W =−0.2x 2
+1.6x +0.4（12−x ）
=−0.2(x −3)2+6.6．
投资A 、B 两种商品分别为9、3万元可获得最大利润6.6万元
23.解：（1）把A (－2，0)代入y ＝a (x －1)2
＋33，得0＝a (－2－1)2
＋33．
∴a ＝－3
3 ·
··········································································································· 1分 ∴该抛物线的解析式为y ＝－3
3(x －1)2
＋33
即y ＝－33x 2
＋332x ＋3
38．·
········································································ 3分 （2）设点D 的坐标为(x D ，y D )，由于D 为抛物线的顶点
∴x D ＝－
)(－
3
3
2332 ＝1，y D ＝－33×1 2
＋332×1＋3
38＝33．
∴点D 的坐标为(1，33)．
如图，过点D 作DN ⊥x 轴于N ，则DN ＝33，AN ＝3，∴AD ＝2
2333)＋(＝
6．
∴∠DAO ＝60° ·
····································································································· 4分 ∵OM ∥AD
①当AD ＝OP 时，四边形DAOP 为平行四边形．
∴OP ＝6
∴t ＝6（s ） ·
··········································································· 5分 ②当DP ⊥OM 时，四边形DAOP 为直角梯形．
过点O 作OE ⊥AD 轴于E ．
在Rt △AOE 中，∵AO ＝2，∠EAO ＝60°，∴AE ＝1． （注：也可通过Rt △AOE ∽Rt △AND 求出AE ＝1） ∵四边形DEOP 为矩形，∴OP ＝DE ＝6－1＝5．
∴t ＝5（s ） ·
············································································································ 6分 ③当PD ＝OA 时，四边形DAOP 为等腰梯形，此时OP ＝AD －2AE ＝6－2＝4．
∴t ＝4（s ）
综上所述，当t ＝6s 、5s 、4s 时，四边形DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
········································································································ 7分
（3）∵∠DAO ＝60°，OM ∥AD ，∴∠COB ＝60°．
又∵OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形，∴OB ＝OC ＝AD ＝6． ∵BQ ＝2t ，∴OQ ＝6－2t （0＜t ＜3）
过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ＝2
3t ． ······························································ 8分 ∴S 四边形BCPQ ＝S △COB －S △POQ
＝2
1×6×33－2
1×(6－2t )×2
3t
＝23(t －23)2
＋8
3
63 ··································································· 9分
∴当t ＝23（s ）时，S 四边形BCPQ 的最小值为8
363． ·
······································· 10分 此时OQ ＝6－2t ＝6－2×2
3＝3，OP ＝2
3，OF ＝4
3，∴QF ＝3－4
3＝4
9，PF ＝
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33．
∴PQ ＝22QF PF ＋＝2
249433)＋()(＝2
33 ··············································· 11分。