课件6：1.2.3 空间几何体的直观图

【课堂达标】
1.如果平面图形中的两条线段平行且相等,那么在它们的直观图
中对应的两条线段( )
A.平行且相等
B.平行不相等
C.相等不平行
D.既不平行也不相等
【解析】选A.由斜二测画法可知,平行关系不变,长度仍然相等.
2.如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三
边及中线AD中,最长的线段是( )
(2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′＝AB，在 y′轴上取 O′E′＝12OE，以 E′为中点 画 C′D′∥x′轴，并使 C′D′＝CD.
(3)连接 B′C′，D′A′，所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图．
[归纳升华] 画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点：画图的关键是确定 顶点的位置，画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生 改变.
6．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，求△AOB的 面积． 解：由图易知在△AOB中，底边OB＝4， 又因为底边OB的高为8， 所以面积S＝12×4×8＝16．
本课结束
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【答案】(4,2)
5．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′， 已知A′C′=6，B′C′=4，则AB边的实际长度是______．
【解析】由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则 AB＝ AC2＋BC2＝10． 【答案】10
【基础自测】
1．关于直观图画法的说法中，不正确的是( ) A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段仍平行于 x′轴，其长度不变 B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段仍平行于 y′轴，其长度不变 C．画与坐标系 xOy 对应的坐标系 x′O′y′时，∠x′O′y′可画成 135° D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同 解析： 根据斜二测画法的规则可知B不正确． 答案： B
1.2.3 空间几何体的直观图
【学习目标】
1．体会平面图形和空间几何体的直观图的含义． 2．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 3．会用斜二测画法画空间几何体的直观图．
【基础梳理】
知识点一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点二：立体图形直观图的画法 用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多了一个 z 轴，其直观图中对应于 z 轴的是__z_′_轴____，平面___x_′_O_′_y_′ __表示水平平 面，平面 y′O′z′和 x′O′z′表示__竖__直__平__面___．已知图形中平行于 z 轴(或在 z 轴上)的线段，其__平__行__性__和__长___度___都不变．
解析： 由题图可知，△ABO 中，OD＝2，BD＝4，AB＝ 17，BO＝2 5. 答案： OD＜BD＜AB＜BO
【课堂探究】
题型一：画水平放置的平面图形的直观图 自主练透型 【例 1】用斜二测画法画水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图，如图所示．
解： 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点， 建立直角坐标系，画对应的坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
[化解疑难] 三视图和直观图有什么区别和联系？ (1)区别：直观图直观性较强，三视图虽然能更精确地表示出线段的长短和位 置关系，但是缺乏立体感． (2)联系：三视图能够帮助人们从不同角度认识几何体的结构特征，直观图是 对空间几何体的整体刻画．我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象， 同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由它的直观图得到它 的三视图.
题型三：直观图还原为平面图形 多维探究型 【例 3】如图是一梯形 OABC 的直观图，其直观图面积为 S，求梯形 OABC 的面积．
解： 设 O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为 2 h.
C′B′＝CB，O′A′＝OA.
过 C′作 C′D⊥O′A′于 D，
则
C′D＝
2 2 h.
由题意知12C′D(C′B′＋O′A′)＝S，
四边形的直观图依然是平行四边形,所以②正确;但是相等的线段
也不一定还相等,③不正确.
【答案】①②
4.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中
的对应点是M′,则点M′的坐标为
.
【解析】在坐标系x′O′y′中,过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点
(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′,所以M′的坐标为(4,2).
【变式训练】 3.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A′B′O′，如图若 O′B′＝1，那么原△ABO 的面积与直观图的面积之比为________．
解析： 由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形， 且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝2 2， 所以 S△AOB＝12×1×2 2＝ 2. S△A′B′O′＝12×1×1＝12， 所以原三角形面积与直观图面积之比为 2 2∶1. 答案： 2 2∶1
题型二：画空间几何体的直观图 多维探究型 【例 2】画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图． 解： 画法：(1)画轴．画 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy＝45°(或 135°)， ∠xOz＝90°，如图(1)． (2)画底面．以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形 ABCD 的直观图．
2．利用斜二测画法画边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( )
解析： 正方形的直观图应为平行四边形，且一组对边为 3 cm，另一组 对边为32 cm. 答案： C
3．如下图为△ABO 水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO 中，AB，BO， BD，OD 由小到大的顺序是______________________________________．
【变式训练】 2．由下列几何体的三视图画出直观图．
解： (1)画轴． 如图，画出 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O， 使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC. (3)画侧棱．过 A、B、C 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截 取线段 AA′＝BB′＝CC′，且都与正视图或侧视图的高相等． (4)成图．顺次连接 A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线 表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．
(3)画顶点．在 Oz 轴上任取一点 P. (4)成图．顺次连接 PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分 改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．
[归纳升华] 1．画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此 外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确地确定顶点； 2．对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大 致形状，以便可以又快又ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的画出.
【变式训练】 1．画一个锐角为 45°的平行四边形的直观图． 解： 如图建立坐标系 xOy，再建立坐标系 x′O′y′，在 x′轴上截取 O′A′＝OA， O′B′＝OB，在 y 轴上截取 O′D′＝12OD，过 D′点作线段 D′C′綊 DC，连接 B′C′、 A′D′，则四边形 A′B′C′D′即为平行四边形 ABCD 的直观图．
即 42h(C′B′＋O′A′)＝S.
所以原直角梯形面积为
S′＝12·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝4S2＝2 2S.
所以梯形 OABC 的面积为 2 2S.
[归纳升华] (1)还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与 x′轴、y′轴平行的直线 或线段．平行于 x′轴的线段长度不变，平行于 y′轴的线段还原时长度变为原 来的 2 倍， 由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． (2)求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，利 用公式求解． (3)原图的面积 S 与直观图的面积 S′之间的关系为 S＝2 2S′.
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
【解析】选D.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,AC为直角三
角形的斜边,所以AC>AB,AC>AD,AC>BC.
3.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形;②平行四
边形的直观图是平行四边形;③菱形的直观图是菱形,其中正确的
是
(填序号).
【解析】由斜二测画法知,三角形的直观图是三角形,①正确;平行