线性空间试题

向量空间
一 判断题
(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上
的向量空间. ( ) .
(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上
的向量空间. ( ).
(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121
{(,,
,)|1,}n
n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).
(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,
,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).
(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++
是V 的一组基. ( ).
(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,
,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα
线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ).
(11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,
,n βββ与12,,
,n ααα等价, 则
12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ).
(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,
,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若
12dim dim dim s V V V n ++
+=, 则12s V V V ++
+为直和. ( ).
(14)设12,,
,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 若121230,()0,
V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -++
+= 则12s V V V ++
+为直和.
( ).
(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若
(){0},i
j j i
V V ≠=∑ 则12s V V V ++
+为直和. ( ).
(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 若
(){0},,i j V V i j =≠则12s V V V +++为直和. ( ).
(17) 设12,,
,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++
+. 零向量表法是唯一
的, 则12s V V V ++
+为直和. ( ). (18) 设12,,
,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个
基是12(),(),
,()n f f f ααα. ( ).
(19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上
的n 维向量空间. ( ).
(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ).
答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)
正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确
(18)正确 (19)正确 (20)错误
二 填空题
(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.
(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.
则此空间的零向量为___.
(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.
则a R +
∈的负向量为________.
(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:
2
(,)(,)(,),
(1)(,)(,),
2
a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+
构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.
(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:
2
(,)(,)(,),
(1)(,)(,),
2
a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++-=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.
(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____. (7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________. (8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______. (10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间,
它的维数等于_____.
(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===
4(0,1,1,1)α=--的坐标为__________.
(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________. (13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=
在此基下的坐标为 _______.
(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件
__________________________________________, 就叫做一个同构映射.
(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.
(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++
________直和.
答案
(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)
1a (4)(0,0) (5)2
(,)a a b -- (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)
2
n n + (11)(1,0,1,0)- (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)-
(14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意
,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F (16)不一定是
三 简答题
(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么? 1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ; 2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;
(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义
()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈
对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么?
1) 所有连续函数的集合1W ; 2) 所有奇函数的集合2W ;
3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=
(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域. 1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈;
2) 21212
{(,,
,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈;
3) 312{(,,,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};
(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ⨯⨯⨯矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的
向量空间吗? 说明理由.
(5) 下列子空间的维数是几?
1) 3
((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R --⊆; 2)22
(1,1,)[]L x x x x F x ---⊆
(6) 实数域R 上m n ⨯矩阵所成的向量空间()m n M R ⨯的维数等于多少? 写出它的一个基. (7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？ (8) 若12,,
,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，
122311,,,,n n n αααααααα-++++ 也是V 的一个基吗？
(9) 1,2,(1)(2)x x x x -+-+是向量空间2[]F x 的一个基吗？
(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-.求4R 的一个含12,αα的基. (11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==-=-到基
123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===-的过渡矩阵.
(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==--=--
4(1,1,1,1)α=--的坐标.
(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原
点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W 与12W W +是什么? 12W W +能不
能是直和?
(14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中
123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=--==-; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=-=--
(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.
(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ⎛⎫
=∈=∈ ⎪⎝⎭
都是实数域R 的向量空间.问V 与
W 是否同构? 说明理由.
(17) 设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令12,1,2,
,i i i n βααα=++
+=且
()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕
⊕.
答案(1)
1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭.
2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A -≠, 但|()|0A A +-=, 对加法不封
闭.
(2)
1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和和数乘连续函数仍为连续函数.
2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和和数乘奇函数仍为奇函数.
3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有
()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);
(0)((0))((1))()(1),
f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+===
故3,.f g f W λ+∈
(3)
1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x ++
+=的全体解向量.
2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.
3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.
(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.
(5)
1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)-线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)-=-+. 2) 维数是2. 因易证21,1x x --线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x -+-+-=.
(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ⨯矩阵. 那么易证ij E 这m n ⨯个矩
阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ⨯的一个基, 故()m n M R ⨯的维数是m n ⨯.
(7) ,,,1,2,3,
,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,
其中共有12(1)n n +++
+-个向量, 故此向量空间的维数
(1)
2
n n +. (8) 解 由
121112(,,,)(,,
,)n n n n A ααααααααα-+++=.
得1
||1(1)
n A +=+-. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构
成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.
(9) 解 在基21,,x x 之下有
2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x --⎛⎫
⎪-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭
.
因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x -+-+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.
(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于
11
0001
00
10,12100001
-=-≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4
R 的一个基.
(11) 解 由
123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε== 推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα-= 因此所求过渡矩阵为
10113201001
100021112210211111122A B -⎛⎫
⎪
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭
.
(12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为
1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭
于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为
1541124114114A -⎛⎫ ⎪
⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ -⎪⎝⎭
. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则
121121,W W W W W W =+=. 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而 12W W V +=, 但12W W +不能是直和.
(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.由
11223311220,k k k t t αααββ++--= 得齐次线性方程组
123121212
123121231232025206702530
k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +--+=⎧⎪+--=⎪⎨
-++++=⎪⎪-++--=⎩ 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为
122232424896
,,,7777
k t k t k t k t =-=-=-=-因此维12()1W W =, 维12()4W W +=.
取27t =,令1267ξββ=-+便有1
2()W W L ξ=, 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.
(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ≅≅所
以V W ≅.
反之, 若V W ≅, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基
12,,,n ααα, 易证12(),(),,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.
(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等. (17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=++
+, 那么
12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ--=---+---+-+
因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故
12n V W W W =⊕⊕
⊕
四 计算题
(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=-=--=--, 生成4R 的子空间.W 试
从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==-=--=-中找出W 的生成元.
(1) 解 以123,,ααα和1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.
1123231231114
7202002421533161510011/20
201001/21100111/2100000400A B -⎛⎫
⎪---
⎪
=→ ⎪-- ⎪
⎪---⎝
⎭⎛⎫ ⎪
-- ⎪
= ⎪ ⎪
⎪-⎝
⎭
由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,
113323412,,2βααβααβαα=+=-+=+从而134(,,).L W βββ⊆但由B 还知134
,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.
(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=-=-=--
4(1,5,3,1)α=-生成的子空间的一个基和维数.
(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
24110639151
5151533330126181111042600001302.0000021
3----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此
1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.
(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.
这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===--45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==-.
(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换
211101010
51211121
01123031123
0311211
01511
1
5000130
0013101121
010*******
0000110
151
1002---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
→
→ ⎪ ⎪
---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
--⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
--- ⎪ ⎪→
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
.
由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有
1235234,253ααααααα=-=++.
(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数和一个基, 其中
100010.312A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里
000000311B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而 3{()|}W X M F BX XB =∈=.
任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=
122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组
21113133
22123233
333c c c c c c c c =--+⎧⎨
=--+⎩
的解. 于是我们得到如下矩阵
100010000300,030,100000000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
000000010,310010001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.
(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中
210000,00A ω
ωω⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪
⎝⎭ (5) 解 因31ω=, 所以
2
2311,11A A I ωω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
易证2,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2
,,I A A 线性表示, 故
2,,I A A 为的一个基, dim 3V =.
(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=
4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,
221332442,,.y x x y x x y x x =-=-=-求基1234,,,ββββ.
(6) 解 因112
2123412343344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且
11122233344410
001100011001
01y x x y x x P y x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则
112
2123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即 112341234(,,,)(,,,)P ββββαααα-=
故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.
(7) 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++也是
V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,
,2,1)n n -, 求ξ关于后一个基的
坐标.
(7) 解 基12,,,n ααα到后一个基的过渡矩阵为
1
1110
11100
1100
1P ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
. 那么
121
110
01101101120001211000
111n n n y n n y P y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪
⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,
,1).
(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=-
关于这个基的坐标.
(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组
1132
3538222
x x x x x =⎧
⎪
+=⎨⎪+=-⎩
解得1235,2,1x x x ==-=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)-.
(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=-===是4R 的一个基.
求4
R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.
(9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为
20561
3361121101
3P ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则
112
23344,x x x x P x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即得齐次线性方程组
1341334
12341345602360020
x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎪⎨-+++=⎪⎪++=⎩
解得1234x x x x ===-, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=---即为所求.
(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=-==4(6,6,1,3)α=.
求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.
(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为
2
0561
3361121101
3P ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
那么
11221123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里
11122213334444/9
1/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
五 证明题
(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.
2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由. (1) 证明
1) 显然1
20W W ∈, 即12W W ≠Φ, 任取1212,,W W k F αα∈∈, 易知
1212112,W W k W W ααα+∈∈, 故12W W 是V 的子空间.
2) 不一定. 当12W W ⊆或21W W ⊆时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时,
12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈∉和2221,W W αα∈∉使
1212,W W αα∈, 而1212W W αα+∉, 因为这时121122,W W αααα+∉+∉, 否则与选取
矛盾.
(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小
子空间.
(2) 证明 易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且
112212,.W W W W W W ⊆+⊆+
设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即
12W W W +⊆, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.
(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈, 但
1W α∉, 又2W β∉. 证明:
1)对任意2,k F k W βα∈+∉;
2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈. (3) 证明
1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+-∈矛盾, 故1)成立.
2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β∉时, 若存在1212
,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα-=-∈, 因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.
(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明 若1212W W W W +=, 则12W W ⊆或
21W W ⊆.
(4) 证明 因1
2W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如
121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为1212W W W W +=, 所以121W αα+∈或122W αα+∈
. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=-, 故21W W ⊆; 若122W αα+∈, 令
12ααγ+=, 则12αγα=-, 故12W W ⊆.
(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基. (5) 证明 设12,,
,n ααα是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,
,n εεε, 则
12(,,,)n V L εεε=, 且12,,,n ααα中每一个可由12,,
,n εεε线性表示. 由替换定理知
12,,,n ααα与12,,,n εεε等价, 所以V 中每一个向量可由12,,,n ααα线性表示, 又 12,,,n ααα线性无关, 故12,,,n ααα可作为V 的一个基.
(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V 中存在
n t -个向量与其中任一组组成V 的一个基.
(6) 证明 设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,
,(1,2,
,),i i it i m t n ααα=≤. 令
12(,,,)i i i it V L ααα=, 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,
,)i V i m ξ∉=, 使
121,,,,i i it αααξ线性无关, 若1t n +<,令/121(,,,,)i i i it V L αααξ=, 则/i V 也为V 的非平
凡子空间, 同理存在/
2,1,2,,i V V i m ξ=-=, 而且1212,,
,,,i i it αααξξ线性无关, 如此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ-使得12,,
,,i i it ααα12,,
,n t ξξξ-线性无关, 故对每个i ,
它们都是V 的一个基.
(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,
,n ααα的秩为r , 使得11220
n n k k k ααα+++=全体n 维向量12(,,
,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的n r -维子空间.
(7) 证明 显然12dim (,,
,)n L r ααα=, 今设每个i α在12(,,
,)n L ααα的某个基下的坐
标为
12[]i i i ir a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,1,2,
,i n =
那么由11220n n k k k ααα++
+=可得
1122[][][]0n n k k k ααα+++=.
它决定了一个含n 个未知量12,,
,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵
12([],[],
,[])n ααα的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r -.
(8) 设12,,
,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()
()n f x x a x a x a =---. 证明
多项式组()
()(1,2,
,)()
i i f x f x i n x a =
=-是向量空间1[]n F x -的一个基.
(8) 证明 因1dim []n F x n -=, 所以只需证12,,
n f f f 线性无关. 设有12,,,n k k k F ∈,
使
1220n n k f k f k f ++
+= (*)
由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而0,(1,2,)
i k i n ==故12,,
n f f f 线性无关, 为1[]n F x -的一个基.
(9) 设W 是n R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,
,)n a a a 来说, 或者
120n a a a ====, 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =
(9) 证明 由W 非零, 我们总可以取12(,,
,)n b b b W β=∈, 且0β≠, 那么每个0i b ≠且
β线性无关. 今对任意12(,,
,)n a a a W α=∈, 若0α=当然α可由β线性表示; 若0
α≠而11a W b αβ-
∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11
a
b αβ=. 故β可作为W 的一个基,且dim 1.W =
(10) 证明: 22,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基, 并求2273x x ++关于这个基的坐标. (10) 证明: 2dim []3,F x =22,,1x x x x x +-+由基21,,x x 表示的演化矩阵为
001111110A ⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
但A 可逆, 故22,,1x x x x x +-+是2[]F x 的一个基.
2273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)-,
因为
13371.23A -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证:
11231213(())()()W W W W W W W W +=+.
(11) 证明: 任意1
123(())W W W W α∈+, 则1W α∈, 且123()W W W α∈+, 因此
1311233,,W W W ααααα=+∈∈, 但1W α∈, 知313W W α∈, 故
1213()()W W W W α∈+.
反之, 任意
1213()()W W W W β∈+, 12112213,,W W W W βββββ=+∈∈, 则
1W β∈, 且123()W W W β∈+, 故1123(())W W W W β∈+.
(12) 设12,,
,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W +++为直和.
证明:{0},,,1,2,
,i
j W W i j i j s =≠=.
(12) 证明: 由12s W W W +++为直和, 有(){0},,,1,2,
,i
j i j
W W i j i j s ≠=≠=∑, 而
(){0},,,1,2,
,i j i
j i j
W W W W i j i j s ≠⊆=≠=∑. 故
{0},,,1,2,
,i
j W W i j i j s =≠=.
(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x ++
+=与12n x x x ==
=的解空间.
证明: 12n F W W =+.
(13) 证明 因120n x x x +++=的解空间的维数为1n -, 且一个基为
12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),
αα=-=-1,(1,0,
,0,1)n α-=-, 又12n x x x ==
=
即方程组
1223
1000
n n x x x x x x --=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩
的系数矩阵的秩为1n -, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,
,1)β=, 但
121,,,n αααβ-线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故
12n F W W =+.
(14) 证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和. (14) 证明: 设12,,
,n ααα是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα
都是一维子空间.
显然 12()()()n V L L L ααα=++
+
于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.
(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n -维子空间的交. (15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,
,s ααα为W 的一个基, 将其扩充为V 的
一个基12,,
,s ααα1,,,s n αα+, 那么令 12111(,,,,,
,,,
,)i s s s i s i n W L ααααααα++-++=
于是这些,1,2,
i W i n s =-, 均为1n -维子空间, 且12
n s W W W W -=.
(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空间.
证明: 1()f V 是W 的一个子空间.
(16) 证明: 因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意//1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到
1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是//1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W
的一个子空间.
(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.
(17) 证明: 记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ⊂, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x .
定义 :[]
;F x V σ()()f x xf x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意
(),()f x g x ∈[],,,F x a b F ∈
(()())(()())
()()(())(())
af x bg x x af x bg x axf x bxg x a f x b g x σσσ+=+=+=+
故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ≅.
(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=,
证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ≅.
(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,
设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使
()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈
同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()
()()h x s x k x s x σ
易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ≅.
(19) 证明 实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法: a b ab ⊕=, 与
纯量乘法: k
k a a =构成R 上的向量空间同构.
(19) 证明: 定义:(1)x x a a σ>
显然σ是R 到R +
的映射.
1),x y R ∈, 若x y ≠, 则x y a a ≠, 所以σ为单射;
任意b R +
∈, 因log ,log b
a b a b a R =∈, 则(log )b
a b σ=, 即σ为满射.从而σ为双射.
2) 任,,()()()x y x y x y x y R x y a a a a a x y σσσ+∈+===⊕=⊕.
3) 任,()()()kx x k x k R kx a a k a k x σσ∈====,
于是σ是R 到R +
的同构映射. 故R R +
≅.
(20) 设V 是数域F 上无限序列12(,,)a a 的集合, 其中i a F ∈, 并且只有有限i a 不是零. V 的加法和F 中的数与V 中元的纯量乘法同n F , 则V 构成F 上的向量空间. 证明: V 与
[]F x 同构.
(20) 证明: 取[]F x 的一个基21,,,
x x , 则[]F x 中任一多项式
01()n n f x a a x a x =+++
关于这个基有唯一确定的坐标01(,,,,0,)n a a a V ∈.
定义:()
f x σ01(,,,,0,)n a a a
则σ是[]F x 到V 的一个同构映射, 故[]F x V ≅.
向量空间自测题
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组（ ）． A ．有r 个解向量线性无关． B ．的基础解系由r 个解向量组成 C ．心有非零解． D ．的任意r 个线性无关的解向量是它的基础解系．
2．设x 1，x 2，x 3，x 4是AX = b 的解，则下列向量（ ）仍是AX = b 的解．
A ．4321x x x x +++
B ．4321x x x x -+-
C ．4321323x x x x -+-
D ．432154x x x x -++-
3．已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ）
A ．321,,ααα线性相关
B ．321,,ααα线性无关
C ．133221,,αααααα+++线性相关．
D ．133221,,αααααα+++不构成基础解系．
4．s ααα,,,21 是AX = 0的基础解系．则r (A) = ( ).(A 为n m ⨯矩阵) A ．s B ．s n - C ．s m - D ．s n m -+ 5．R 3中下列子集（ ）不是R 3的子空间．
A ．}1|),,{(233211=∈=x R x x x w
B ．}0|),,{(333212=∈=x R x x x w
C ．}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=
D ．}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=
6．向量组α1 ，α2 ，…，r α线性无关的充要条件是（ ） A ．1>r B ．0>r
C ．它有一个部分向量组线性无关
D ．它的所有部分向量组线性无关
7．设矩阵A 为n 阶方阵且| A | = 0，则（ ） A ．A 中必有两行或两列的元素对应成比例． B ．A 中至少有一行或一列的元素全为零；
C ．A 中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；
D ．A 中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．
8．设有向量组)(I 和)(∏，)(I 线性相关，)(∏也线性相关，且组)(I 可由组)
(∏线性表示，则（ ）成立其中)(I ：α1 ，α2 ，…，r α，)(∏：s βββ,,,21
A ．s r ≤
B ．s r ≥
C ．≤r 秩)(∏
D ．秩)(I ≤秩
)(∏
9．向量组)1,0,0(1=α，)1,1,0(2=α，)1,1,1(3=α，)0,0,1(4=α的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．m>n 是n 维向量组α1 ，α2 ，…，m α线性相关的（ ）条件 A ．充分 B ．必要 C ．充分必要 D ．必要而不充分
二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由，每小题5分，共20分）
1．设α1，α2是0=AX 的基础解系，则2121,αααα-+也是它的基础解系． 2．若n x x x ,,,21 是b AX =的解，则它的任意线性组合也是b AX =的解． 3．},|{021*******a a a a R a a x a x a x a W i -==∈+++=且的维数等于2． 4．F 上向量空间V 若含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量． 三、简答题（每小题5分，共10分）
1．设321,,x x x 是b AX =的解其中A 为5⨯4矩阵，.3)(=A r 。

若)1,0,2,1(1'=x ，
)0,5,1,2(332'=+x x 试写出该方程组的全部解．
2．已知β可由α1 ，α2 ，…，n α线性表出，那么，在什么情况下，表示法唯一？
四、计算题（每小题8分，共32分）
1．试将β用向量组1α ，2α ，3α，4α线性表出，其中1α=)1,4,5,1('，
2α=)1,1,0,1('-，3α=)1,2,4,2('， 4α=)1,0,2,1('，)0,1,3,1('=β．
2．已知},|00{1R b a b a W ∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=,},,|00{111
12R c a c a W ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=是)(2R M 的两个子空间，求2121,W W W W +⋂的一个基和维数．
3．已知α关于基},,{321βββ的坐标为（1，0，2），由基},,{321ααα到基
},,{321βββ的过渡矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛012001423，求α关于基},,{321ααα的坐标．
4．求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+9
74242843624122
354321543214
3215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．
五、证明题（每小题9分，共18分）
1 .设A 是任一n m ⨯矩阵，将A 任意分块成⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=s A A A A 21，证明：n 元齐次线性
方程组0=AX 的解空间V 是齐线性方程组0=x A i 的解空间i V 的交，.,,2,1s i =
2. 设向量组α1 ，α2 ，…，m α线性无关，向量1β可由它线性表示，而向量2β不能由它线性表示．证明：m +1个向量α1 ，α2 ，…，m α ， 1β+2β必线性无关．
线性空间习题
一、填空题
1、已知000,,00a V a b c a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪
⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33
R ⨯的一个子空间，则维（V ）＝ ， V 的一组基是____________.
2、在4
P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则
k 的取值范围是____________.
3、已知a 是数域P 中的一个固定的数，而
1{(,,
,),1,2,
,}n i W a x x x P i n =∈=
是n
P 的一个子空间，则a ＝__________，而维(W )＝__________. 4、设n
P 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n
A P
A A ⨯∈=且记
12{},{,0},n W AX X P W X X P AX =∈=∈=
则W 1、W 2都是n
P 的子空间，且W 1＋W 2＝____________，1
2W W ＝____________.
5、设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基
123,,εεε的过渡矩阵T ＝__________，而α在基123,,εεε下的坐标是__________.
二、判断题
1、 设n n
V P
⨯=，则{,0}n n
W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.
2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则维(V ）＝2.
3、设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的解空间，V 1是0AX =的解空间，V 2
是
()0A B X +=的解空间，则1
2V V V =.
4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s
ααα线性表出，则维(W )＝s .
5、设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉
三、计算题
1、 在线性空间22
P
⨯中，
121212112111,,,10110137A A B B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1） 求1212(,)
(,)L A A L B B 的维数与一组基.
2） 求1212(,)(,)L A A L B B +的维数与一组基.
2、在线性空间4
P 中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求
(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中
1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=-
1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====---
四、证明题
1、 V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
12{()(),()()},{()(),()()}
W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--
证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕
2、设W 是P n
的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,
,)n a a a 来说，或者
120n a a a ==
==，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W )＝1.
答案：
一、填空题
1．00100000100,100,010*********a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2．3k ≠ 3．0，n 4．{},
0n P
5．321001100,(,,)010x x x ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
二、判断题
1．× 2．× 3．√ 4．√ 5．× 三、计算题 1．121252(,)
(,)34L A A L B B L ⎛-⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1212121(,)(,)(,,)L A A L B B L A A B +=
2．123423798101633121;(,,,)2321432213X ααααα----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪
⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
小测验(六)
姓名 学号 .
一、填空题
1、已知00
0,,00A V a b
c a b c R c b ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎪
=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝
⎭⎩⎭
是33R ⨯的一个子空间，则维（V ）
＝ ， V 的一组基是 . 2、在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是 . 3、已知a 是数域P 中的一个固定的数，而
1{(,,,),1,2,
,}n i W a x x x P i n =∈=
是P n+1的一个子空间，则a ＝ ，而维(W)＝ . 4、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ⨯∈=且记
12{},{,0},n W AX X P W X X P AX =∈=∈=
则W 1、W 2都是P n 的子空间，且W 1＋W 2＝ ，12W W ＝ .
5、设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，而α在基321,,εεε下的坐标是 .
二、判断题
2、设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.
2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则维(V ）＝2.
3、设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2
是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.
4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组
12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.
5、设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有
.W αβ+∉
三、计算题
2、在线性空间P 2×2中，
121212112111,,,10110137A A B B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3）求1212(,)
(,)L A A L B B 的维数与一组基.
4）求1212(,)(,)L A A L B B +的维数与一组基.
2、在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中
1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====---
四、证明题
2、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
12{()(),()()},{()(),()()}
W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--
证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕
2、设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来
说，或者120n a a a ==
==，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.
答案： 一、填空题
1．00100000100,100,010*********a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2．3k ≠ 3．0，n 4．{},
0n P
5．321001100,(,,)010x x x ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
二、判断题
1．× 2．× 3．√ 4．√ 5．×
三、计算题
1．121252(,)
(,)34L A A L B B L ⎛⎫
-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1212121(,)(,)(,,)L A A L B B L A A B +=
2．123423798101633121;(,,,)2321432213X ααααα----⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪
⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭。