自动控制原理第2章

代入式(2-3)中，经整理后即得该系统的微分方程为
d 2 x(t ) d x(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
(2-4)
16 将方程两边同除以k，式(2-4)又可写为
m d 2 x(t ) f d x(t ) 1 x(t ) F (t ) 2 k dt k dt k
d f ( x) y y0 f ( x) f ( x0 ) dx
( x x0 )
x x0
(2-22)
再用增量Δ y和Δ x表示，则式(2-22)变为 Δ y＝K· Δx 式中：
K dy dx
(2-23)
x x0
是比例系数，它是函数f(x)在A点的切
线斜率。式(2-23)是非线性函数y＝f(x)的线性化表示。
R2 u1 (ug uf ) K1 (ug uf ) R1
式中：K1＝R2/R1是运放Ⅰ的放大系数。
(2-13)
23
图2-4 闭环调速控制系统
24 (2)运放Ⅱ：u1为输入量，u2为输出量。
R4 d u1 d u1 u2 ( R3C u1 ) K 2 ( u1 ) R3 dt dt
9 (4)标准化。即将与输入有关的各项放在方程的右侧，
与输出有关的各项放在方程的左侧，方程两边各阶导数按
降幂排列，最后将系数整理规范为具有一定物理意义的形 式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 10
图2-1 RLC无源网络
11
【例2-1】 试列写如图2-1所示的RLC无源网络的微分
方程。ur(t)为输入变量，uc(t)为输出变量。
在着非线性关系。因此，描述输入、输出关系的微分方程一般
是非线性微分方程。应当指出的是，非线性微分方程的求解是 相当困难的，且没有通用解法。因此，工程中常采用线性化的
方法对非线性特性进行简化，即如果所研究的问题是系统在某
一静态工作点附近的性能，可以在该静态工作点附近将非线性 特性用静态工作点处的切线来代替，使相应的非线性微分方程
开为
d f ( x) y f ( x) f ( x0 ) dx 1 d 2 f ( x) ( x x0 ) 2 2 ! d x x x0 ( x x0 ) 2
x x0
31
图2-5 小偏差线性化示意图
32 当变化量Δ x＝x－x0很小时，可忽略上式中二次以上各
项，则有
22
【例2-4】 试列写图2-4所示闭环调速控制系统的微分方程。
解 控制系统的被控对象是电动机，系统的输出量是电
机转速ω，输入量是给定电压ug。根据系统结构，可将该系 统分为运放Ⅰ、运放Ⅱ、功率放大器、电动机和测速发电 机五部分，并分别列写它们的微分方程。 (1)运放Ⅰ：ug为输入量，u1为输出量。
uf，经整理后得
d ug d2 d TaTm Tm K u K 3 K 2 K1 ( ug ) 2 dt dt dt
d K u K 3 K 2 K1K f ( ) dt d Mc K m (Ta Mc) dt
(2-18)
27 令K＝KuK3K2K1，K0＝KuK3K2K1Kf＝K· Kf，则式(2-18)为
d 2 x(t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
(2-3)
15 其中：F1(t)＝k· x(t)为弹簧恢复力，其方向与运动方向相反， dx (t ) 大小与位移成比例； 为阻尼器阻力， F2 (t ) f dt 其方向与运动方向相反，大小与速度成正比。将F1(t)和F2(t)
解 设E为电机旋转时电枢两端的反电动势，ia为电枢电
流，M为电动机的电磁转矩，则电枢回路电压平衡方程为
d ia La Ra ia E u a dt
(2-7)
19
图2-3 枢控他励直流电动机系统
20 反电动势方程为
E＝Ceω
式中：Ce为电动机的反电势系数。 在理想空载条件下，电动机的电磁转矩方程为
速ω 之间的关系为
d ug d2 d TaTm Tm K u K 3 K 2 K1 ( ug ) 2 dt dt dt
(2-16)
(5)测速发电机：测速发电机的输出电压uf与其转速ω 成正比，即
uf＝Kf· ω
式中：Kf是测速发电机的比例系数。
(2-17)
26 合并方程式(2-13)～(2-17)，消去中间变量u1、u2、ua和
TaTm d 2 Tm K0 d 2 1 K0 dt 1 K0 dt
dug K Km dMc ( ug ) (Ta Mc ) 1 K0 dt 1 K0 dt
(2-19)
式(2-19)表明：电机转速控制中，电机的转速ω既与给定作 用ug有关，又和扰动作用Mc有关。
令
Ta
La Ra
为电枢回路的电磁时间常数；Tm
回路的机电时间常数；K u
1 T 为静态增益； K m m 为传 Ce J
Ra J C m Ce
为电枢
递系数，则式(2-11)可进一步写为
d Mc d2 d TaTm Tm K u ua K m (Ta Mc) 2 dt dt dt (2-12)
m k
(2-5)
令 T
为时间常数；
1 为阻尼比；K (2 mk ) k
f
为放大系数，则式(2-5)为
2 d x(t ) d x(t ) 2 T 2T x(t ) KF(t ) 2 dt dt
(2-6)
17 比较式(2-2)和式(2-6)可以发现，当两方程的系数相同时，
从动态性能的角度看，两系统是相同的。因此，这就有可
能利用电气系统来模拟机械系统，进行实验研究。这也说 明，利用数学模型可以撇开具体系统的物理属性，对系统
进行普遍意义的分析研究。
18
【例2-3】 试列写图2-3所示的枢控他励直流电动机系
统的微分方程。电枢电压ua为输入量，电动机转速ω为输出
量。Ra和La分别是电枢电路的电阻和电感，Mc为折合到电动 机轴上的总负载转矩。
件各变量之间所依据的物理规律或化学规律，分别列写出 各变量间的数学表达式的方法。实验法是人为地给系统施
加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型
去逼近，这种方法又称为系统辨识。
6 无论是用解析法还是用实验法建立数学模型，都存在
着模型精度和复杂性之间的矛盾，即控制系统的数学模型
越精确，它的复杂性越大，对控制系统进行分析和设计也 越困难。因此，在工程上，总是在满足一定精度要求的前
TaTm d 2 Tm K 0 d d Mc Km (Ta Mc) 2 1 K0 d t 1 K0 d t 1 K0 dt
(2-21)
29
2.2.2 非线性特性的线性化
前文讨论的元件和系统，假设都是线性的，即描述它们的
数学模型都是线性微分方程。然而，若对系统的元件特性尤其 是静态特性进行严格的考察，不难发现，几乎程度不同地都存
2
d uc (t ) RC uc (t ) ur (t ) dt
(2-1)
令T1＝L/R，T2＝RC均为时间常数，则有
T1T2
d 2 uc (t ) dt2
d uc (t ) T2 uc (t ) ur (t ) dt
(2-2)
13
图2-2 弹簧-质量-阻尼器机械位移系统
14
表达式。分析和设计控制系统时，常用的动态数学模型有
微分方程、差分方程、传递函数、动态结构图、信号流图、 脉冲响应函数、频率特性等。本章着重讨论微分方程、传
递函数、动态结构图、信号流图和脉冲响应函数等数学模
型的建立及应用。
5 建立控制系统数学模型的方法有解析法和实验法两种。
解析法是指当控制系统结构和参数已知时，根据系统及元
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程
为
d i (t ) L Ri (t ) u c (t ) u r (t ) dt
1 u c (t ) i (t )dt C
12 消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入与输出之间关
系的微分方程为
LC
d 2 uc (t ) dt
(2-14)
式中：K2＝R4/R3是运放Ⅱ的放大系数；τ＝R3C是微分时间
常数。 (3)功率放大器：功率放大环节是晶闸管整流装置，u2
为输入量，ua为输出量。当忽略晶闸管整流电路的时间滞后
和非线性因素时，二者的关系为
ua＝K3u2
式中：K3是功放的放大系数。
(2-15)
25 (4)电动机：由式(2-12)可知，电枢电压ua和电动机的转
【例2-2】 图2-2是弹簧-质量阻尼器组成的机械位移
系统。其中，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。
试列写以外力F(t)为输入，以位移x(t)为输出的系统微分 方程。
解 在外力F(t)的作用下，若弹簧的弹力和阻尼器阻力
之和与之不平衡，则质量m将有加速度，并使速度和位移改 变。根据牛顿第二定律有
33 对于具有两个自变量的非线性函数y＝f(x1，x2)，同样可
在某静态工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y f ( x1 , x2 ) f f ( x10 , x20 ) x1 f ( x1 x10 ) x2 ( x2 x20 ) x2＝x2 0
求解方法，以及非线性微分方程的线性化问题。
8
2.2.1 线性系统微分方程的建立
用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤如下：
(1)根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定系统 和各元件的输入、输出变量，并根据需要引入一些中间变
量。
(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理或化学定律，依次列写出系统中各元件的动 态方程，一般为微分方程组。 (3)消去中间变量，得到只含有系统或元件输入变量和 输出变量的微分方程。
1
第2章 控制系统的数学模型

2.1 引言 微分方程 传递函数
2.2 2.3
2.4 结构图及其等效变换 2.5 信号流图与梅逊公式
2
第2章 控制系统的数学模型
2.6
闭环系统的传递函数

2.7 脉冲响应函数
MATLAB中数学模型的表示
2.8
本章小结
习题
3
2.1 引 言
对控制系统进行分析和设计时，首先要建立系统的数
(2-8)
M＝Cmia
电动机轴上的动力学方程为
d J M Mc dt
(2-9)
(2-10)
式中：J为转动部分折合到电动机轴上的转动惯量。
21 将式(2-7)～式(2-10)中的中间变量E、ia和M消去，整
理得电动机在电枢电压控制下的微分方程为
La J d 2 Ra J d La d M c Ra 1 u Mc a 2 CmCe d t Cm d t Ce Cm d t CmCe (2-11)
用线性微分方程代替，这就是非线性特性的线性化，所采用的
方法通常称为“小偏差法”或“小信号法”。
30 设具有连续变化的非线性函数可表示为y＝f(x)，如图2-
5所示。若取某平衡状态A为静态工作点，对应有y0＝f(x0)。
当x＝x0＋Δ x时，有y＝y0＋Δ y，如B点。设函数y＝f(x)在(x0， y0)附近连续可微，则可将函数在(x0，y0)附近用泰勒级数展
28 当ug为变量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统，
Mc一般不变。此时微分方程为
d ug TaTm d 2 Tm K 0 d K ( ug ) 2 1 K0 d t 1 K0 d t 1 K0 dt
(2-20)
当ug为常值，Mc为变化量时，系统为恒值调速系统。此时 的微分方程为
学模型。控制系统的数学模型是描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。它可以使我们避
开各具体系统不同的物理特性，在一般意义下研究控制系
统的普遍规律。
4 控制系统的数学模型分为静态数学模型和动态数学模
型。静态数学模型是在静态条件下(即变量各阶导数为零)，
描述变量之间关系的数学表达式；动态数学模型是在动态 过程中(即变量各阶导数不为零)描述诸变量动态关系的数学
提下，尽量使数学模型简单。为此，在建立数学模型时，
常做许多假设和简化，最后得到的是具有一定精度的近似 的数学模型。
本章主要采用解析法建立系统的数学模型，关于实验
法将在后续章节中进行介绍。
7
2.2 微分方程
微分方程是描述各种控制系统动态特性的最基本的数
学工具，也是后面讨论的各种数学模型的基础。因此，本 节将着重介绍描述线性定常控制系统的微分方程的建立和