2012届高考数学一轮复习单元测试卷第四单元数列(人教A版)

2012届高考数学一轮复习单元测试卷第四单元数列
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.（2011信阳二模）等比数列{n a }中，若1a ＋2a ＝1，3a ＋4a ＝9，那么4a ＋5a 等于 （ ） A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81 【答案】B
【解析】223412()9a a q a a q +=+==，所以3q =±，所以4534()27a a q a a +=+=±，故选B .
2.（2011珠海市五月高三综合测试二）设正项等比数列{}n a ，{}lg n a 成等差数列，公差
lg3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为 （ ）
A ．lg 3n
B ．3n
C ．3n
D ．1
3n - 【答案】B
【解析】依题意有13lg 3lg36lg3a +=，所以13a =.设等比数列{}n a 的公比为q ，则
2
1
a q a =
，所以21lg lg lg lg3q a a d =-==，所以3q =，所以1333n n n a -=⨯=，故选B . 3.（2011福州一联）把1，3，6，10，15，21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图所示），则第七个三角形数是 （ ） A . 27 B . 28 C . 29 D . 30
【答案】B 【解析】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律可得第七个三角形数是7(17)
123467282
++++++=
=.故选B . 4.(2011山东省济南市二模)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且2
4754a a a =⋅，2a =1，则
1a = （ ）
A.
2
1
B. 22
C.
2 D.2
【答案】B
【解析】由2
4754a a a =⋅得2
42
64a a =
，所以4
4,q q =
=
21a a q =
=故选B. 15
1063
1
5.(2011福建三明二中二模) 数列{}n a 满足*12463(),9n n a a n N a a a ++=∈++=且，则
15796
log ()a a a ++的值是 （ ）
A ．2-
B ．12
-
C ．2
D ．
12
【答案】A
【解析】由已知得{}n a 是等差数列，公差为3d =，所以
5792469a a a a a a d ++=+++36=，所以15796
log ()2a a a ++=-.故选A .
6. (2011甘肃诊断)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+，则
5
3
a a = （ ）
A . 56
B . 13
C . 35
D . 16
【答案】 A
【解析】因为15535()52a a S a +=
=，又52853()6S a a a =+=，所以535
6
a a =.故选A. 7.（2011大连双基测试）在等比数列{}n a 中，若23691032a a a a a =，则2
9
12
a a 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
【答案】B
【解析】 设公比为q ，由23691032a a a a a =得 5632a =，所以62a =，所以 232
9666
126()2a a q a a a q ===.故选B . 8.（2011浙江名校联盟二模）正项等比数列{}n a 中的前n 项和为n S ，且48a =，
4138S S -=，则公比等于 （ ）
A ．5
B ．3
C ．
2
D ．
2 9. (2011江西八校联考)设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和n S 为，14799a a a ++=，
25893a a a ++=，若对任意*∈N n ，都有k n S S ≤成立，则k 的值为 （ ）
A ．22
B ．21
C ．20
D ．19 【答案】C
【解析】依题意即求n S 最大时的项数n .将两已知等式相减，可得公差2d =-，所以
13999a d +=，解得139a =，所以392(1)412n a n n =--=-.当0n a >时，n S 取得最大值，所以4120n ->，得20.5n <，所以20k n ==.故选C .
10.（2011丰台二模）已知数列{}n a 中，135a =，1
1
1(2)n n a n a -=-≥，则2011a =（ ）
A ．12-
B . 23-
C . 35
D . 5
2
【答案】 C
【解析】由递推公式得223a =-
，352a =，435a =，52
3
a =-，……，所以数列是周期数列，周期为3，于是20116703113
5
a a a ⨯+===.故选C .
11. （2011杭州二中5月模拟）在数列｛a n ｝中，12a =，当n 为正奇数时，12n n a a +=+，
当n 为正偶数时，12n n a a +=，则6a = （ ）
A ．11
B ． 17
C ． 22
D ．23 【答案】C
【解析】逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22，故选C .
12. （2011大连双基测试）已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，
若1431,3,9a a S >>≤，设1
n n
b na =，则使1299
100
n b b b +++<
成立的最大n 值为
（ ） A ．97 B ．98
C ．99
D ．100
【答案】 B
【解析】因为3239S a =≤，即23a ≤，且11a >，43a >，首项及公差d 为整数，所以可得12a =，1d =，所以1n a n =+，所以111
(1)1
n b n n n n =
=-++，
12111
11111223
111n n b b b n n n n ++
+=-+-+
+
-=-=+++所以991100
n n <+成立的最大n 值为98.故选B .
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. （2011惠州市二模）已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若3n n b a =， 则数列{}n b 的前9项和等于 . 【答案】405
【解析】由2115
163
4153a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨
=+==⎩⎩， 33(1)3,n a n n ∴=+-=39,n n b a n == 数列{}n b 的前9项和为9981
9405.2
S +=
⨯= 14.(2011上海奉贤区4月调研)在等比数列{}n a 中，0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a ，
则54a a +的最小值为 . 【答案
】【解析】由已知得445()16a a ⋅=，因为0n a >，所以得452a a ⋅=，所以
45a a +≥=.
15．（2011菏泽二模）已知21n a n =-（n N +∈），把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角数阵，记(,)S m n 表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则(10,6)S 对应数阵中的数是 . 【答案】101
【解析】观察知每一行的第一个数构成数列：1，3，7，13，21，…，相邻两
项构成递推关系：12n n a a n +=+，所以 109871816181434
a a a a =+=++=++65412481060870137891a a a =++=++=++=+=，即第10行的第一
个数为91，所以第10行第6个数为101.
16. (2011黑龙江四校联考) 设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12310b b b b a a a a ++++= .
【答案】1033
【解析】2(1)11n n n a =+-⨯=+，12n n b -=， 所以123
10124256512b b b b a a a a a a a a a ++++=+++
++
10
12(124256512)1010103312
-=+++
+++=+=-.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17. （本小题满分10分）(2011江西师大附中等重点学校联考文科)已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求通项n a 及n S ；
（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项
和n T .
【解析】（1）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列， 所以,212)1(219+-=--=n n a n
2(1)
19(2)202
n n n S n n n -=+
⨯-=-. （2）由题意13,n n n b a --=所以1
3n n n b a -=+，则 1
2
31
(133)20.2
n n n n T S n n --=+++
+=-++
18. （本小题满分10分）(2011福州市年3月质量检查文科)等差数列{}n a 中，已知
......
19
17151311
9
75
31
12,341==a a ，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若42,a a 分别为等比数列{}n b 的第1项和第2项，试求数列{}n b 的通项公式
及前n 项和n S .
【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由已知有⎩⎨
⎧=+=12
33
11d a a ，
解得3=d ，
()n n a n 3313=-+=∴.
（2）由（1）得,12,642==a a 则12,621==b b ， 设{}n b 的公比为,q 则21
2
==
b b q ， 从而n n n b 23261⋅=⋅=-，
所以数列{}n b 的前n 项和(
)(
)
1262
1216-=--=
n n
n s . 19. （本小题满分12分）（2011江西“八校”4月联合考试文科)数列{}n a 满足11a =，
1122
n n
n n
n a a a ++=+（n N +∈）. （1）证明：数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（3）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【解析】（1）由已知可得1122n n n n
n a a a ++=+，即11221n n n n a a ++=+，即11221n n
n n
a a ++-= ∴ 数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列.
（2）由（1）知1
22
(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴ 21n n a n =
+. （3）由（2）知2n
n b n =⋅
231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，
23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+
+-⋅+⋅，
相减得：2
3
1
12(12)22222
212
n n
n n n S n n ++--=+++
+-⋅=-⋅-
11222n n n ++=--⋅
∴ 1(1)22n n S n +=-⋅+.
20.（本小题满分12分）（2011东北师大附中第三次摸底）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对*
n N ∈，都有52n n a S =+成立，
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列2log n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n M . 【解析】(1)当1n =时，1115252a S a =+=+，∴112
a =-
. 当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()111
2255
n n a a -=
--- 11,4n n a a -∴=-即11
4
n n a a -=-
∴数列{}n a 成等比数列，其首项112a =-
，公比为1
4
-， ∴数列{}n a 的通项公式1
1124n n a -⎛⎫
=-⋅- ⎪
⎝⎭
.
(2)由(1)知()1212n
n
n a -=-⋅,2log 12n n b a n ∴==-.
{}12,n n n b b b +-=-∴为等差数列,且首相为11b =-,公差为 2.-
()
21122
n n n M n -+-∴=
=-
21.（本小题满分13分）（2011郑州市五校联考）在数列{n a }中，
3
11=a ，并且对任意n N *∈，2n ≥都有n n n n a a a a -=⋅--11成立，令)(1
*∈=N n a b n
n . (1)求数列{}n b 的通项公式 ； (2)求数列{
}n
a n
的前n 项和n T . 【解析】（1）当1n =时，31
1
1==
a b ，
当2≥n 时，由n n n n a a a a -=⋅--11得
1
111n n a a --=，所以11=--n n b b ， 所以数列}{n b 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列}{n b 的通项公式为2+=n b n ，
（2）
1111()(2)22
n a n n n n n ==-++， 所以11111111
(123243511n T n n =-+
-+-++-
-+ 2211131135)[()]222124(32)n n
n n n n n n ++-=-+=
+++++ 34(1)2
44(1)(2)
n n n ++=-++.
22. （本小题满分13分）(2011福建四地六校第三次联考理科)数列{}n a 满足11a =，
22a =，
22
21(1cos )2sin 322
n n n n a a ππ
+=-+，1,2,3,n =.
(1)求4,3a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a a a S +⋅⋅⋅++=21，求n S 2. 【解析】（1）32122
sin
22cos 3
1112
123=+=+=+⎪⎭⎫
⎝
⎛
-=a a a π
π，
3423231122sin 222cos 3
112
2224=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a ππ 一般地，即21212n n a a +--=，
2221212112121
(1cos )2sin 2322
n n n n n a a a ππ+----=-+=+
即数列21{}n a -是以11a =，公差为2的等差数列.
1212-=∴-n a n
n n m a n a n a 2222223222sin 222cos 3
1
1=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ππ 又，
即数列2{}n a 是首项为22a =，公比为
2
3
的等比数列， 1
1
2232232--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=∴n n n
a a .
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-==*-*N m m n N m m n n a n n ,2,322,12,2
2
综上可得. （2）()()n n n n n a a a a a a a a a a S 2421231212212+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅++=--
()[]⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=-132********n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=32662.。