江苏省通州高级中学导数及其应用多选题试题含答案

江苏省通州高级中学导数及其应用多选题试题含答案

一、导数及其应用多选题

1．已知函数()3

sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）

A ．()f x 是奇函数

B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点

C ．若()f x 为增函数，则1a ≤

D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点

【答案】ACD 【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】

对于A 选项，函数()3

sin f x x x ax =+-的定义域为R ，

()()()()3

3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选

项正确；

对于B 选项，当3a =-时，()3

sin 3f x x x x =++，则()2

cos 330f x x x '=++>，

所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；

对于C 选项，()2

cos 3f x x x a '=+-，

由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2

3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，

所以，函数()g x '在R 上为增函数，

当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；

对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2

cos 33f x x x '=+-.

由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，

()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，

由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】

结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；

（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.

2．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2

⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦上的平均变化率为

194

B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4

27

y =

有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称

D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】

运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，

先得出1x ，2x 为方程()2

3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选

项． 【详解】

对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，

则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()

119

123

19222

1412

⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；

对于B ，当1a =时，()()2

3212f x x x x x x =-=-+，

()()()2341311f x x x x x '=-+=--，

可得下表：

因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227

f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =

有两个实数解，一个解为1

3

，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2

3

1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦

，

则有()()()()()()33

211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，

()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，

令()0f x '=，可得方程()2

3210x a x a -++=，

因为()

()2

2

412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，

所以1x ，2x 为方程()2

3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧

+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，

则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--

()()()()33

221212121x x a x x a x x =+-++++

()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦

()()()22211221212

221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦

()()()()()2124221

2113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦

因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.

3．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的