数值分析复习题及答案

数值分析复习题
一、选择题
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字.
A ．4和3
B ．3和2
C ．3和4
D ．4和4
2. 求积公式
()()2
1
121
1()(2)636f x dx f Af f ≈
++⎰
，那么A ＝〔 〕
A ． 16
B ．13
C ．12
D ．2
3
3. 通过点
()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕
A ．
()00l x ＝0，
()110
l x = B ．
()00l x ＝0，
()111l x = C ．()
00l x ＝1，
()111
l x = D ． ()
00l x ＝1，
()111
l x =4. 设求方程
()0
f x =的根的牛顿法收敛，那么它具有〔 〕敛速。

A ．超线性
B ．平方
C ．线性
D ．三次
5. 用列主元消元法解线性方程组
1231231
220223332
x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.
A ．
232
x x -+= B ．
232 1.5 3.5
x x -+= C ．
2323
x x -+= D ．
230.5 1.5
x x -=-二、填空
1. 设
2.3149541...x *
=，取5位有效数字，那么所得的近似值x=.
2.设一阶差商
()()()211221
14
,321f x f x f x x x x --=
=
=---，
()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 那么二阶差商
()123,,______
f x x x =3. 设(2,3,1)T
X =--, 那么2||||X = ，=∞||||X 。

4．求方程 2
1.250x x --= 的近似根，用迭代公式
x =
01x =， 那么 1______x =。

5．解初始值问题 00'(,)
()y f x y y x y =⎧⎨
=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。

6、
1151A ⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭，那么A 的谱半径 ＝。

7、设
2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+== ，那么[]12,,n n n f x x x ++=和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。

8、假设线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，那么雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉〔Euler 〕方法的局部截断误差为 。

10、为了使计算
23123101(1)(1)y x x x =+
+-
---的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。

11. 设T
X )4,3,2(-=, 那么=1||||X ，2||||X =.
12. 一阶均差()01,f x x =13. 3n =时，科茨系数
()()()
33301213,88C C C ===，那么()33C =14. 因为方程()420
x f x x =-+=在区间
[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间有根。

15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题
()211y y y
x y ⎧'=+⎪⎨
⎪=⎩
的计算公式.　
16.设
* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，那么*
x 有位有效数字。

17. 对1)(3
++=x x x f , 差商=]3,2,1,0[f ( )。

18. 设(2,3,7)T
X =-, 那么||||X ∞=。

19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()
n
n k
k C
==
∑。

20. 假设a =2.42315是2.42247的近似值，那么a 有( )位有效数字.
21. )(,),(),(10x l x l x l n 是以n ,,1,0 为插值节点的Lagrange 插值基函数，那么=
∑
=n
i i x il 0
)(( ).
22. 设f (x )可微，那么求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ).
23. 迭代公式
f BX X k k +=+)()1(收敛的充要条件是。

24. 解线性方程组A x =b (其中A 非奇异，b 不为0) 的迭代格式f x x
+=+)()
1(k k B 中的B 称为( ). 给定方
程组⎩⎨
⎧-=-=-458921
21x x x x ，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。

25、数值计算中主要研究的误差有 和 。

26、设
()(0,1,2)
j l x j n =L 是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，那么()j i l x =(,0,1,2)i j n =L ；0
()n
j j l x ==
∑。

27、设
()(0,1,2)
j l x j n =L 是区间[,]a b 上的一组n 次插值基函数。

那么插值型求积公式的代数精度为；插值型求
积公式中求积系数
j A =
；且
n
j
j A
==
∑。

28、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。

29、
2
()1,f x x =+那么[1,2,3]_________,[1,2,3,4]_________f f ==。

30.设x * = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，那么x *有位有效数字。

31.
3
()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)，[0,1,2,3,4]f =。

32.求方程
()x f x =根的牛顿迭代格式是。

33.1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,那么A ∞= , 1A =。

34. 方程求根的二分法的局限性是。

三、计算题
1．设
32
01219
(), , 1, 44f x x x x x ====
〔1〕试求 ()f x 在 19,44⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()
j j H x f x j H x f x ===，
()
x H 以升幂形式给出。

〔2〕写出余项 ()()()R x f x H x =-的表达式
2．
的 满足
，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数
，使
0，1…收敛？　
3． 推导常微分方程的初值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩的数值解公式：
'''1111(4)3n n n n n h y y y y y +-+-=+++〔提示： 利用Simpson 求积公式。

〕
4． 利用矩阵的LU 分解法解方程 组
12312312
32314
252183520
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩5. 函数
21
1y x =
+的一组数据：
求分段线性插值函数，并计算
()
1.5f 的近似值.
6. 线性方程组123123123
1027.21028.35 4.2
x x x x x x x x x --=⎧⎪
-+-=⎨⎪--+=⎩〔1〕写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；〔2〕于初始值
()()
00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()
1X
〔保存小数点后五位数字〕.
7. 用牛顿法求方程3
310x x --=在
[]1,2之间的近似根〔1〕请指出为什么初值应取2？〔2〕请用牛顿法求出近似根，准确到0.0001.
8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1
011dx x +⎰.　
9．用二次拉格朗日插值多项式
2()sin 0.34
L x 计算的值。

插值节点和相应的函数值是〔0，0〕，〔0.30，0.2955〕，〔0.40，0.3894〕。

10.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间的一个根，误差限210ε-=。

11.用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2252182411
24321321321x x x x x x x x x ，取T
)0,0,0()0(=x ，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。

12.求系数
123,,A A A 和使求积公式
13. 对方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=--=++8
4102541015
1023321321321x x x x x x x x x 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由
14. 确定求积公式 )
5.0()()5.0()(11
1
Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰
- 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代
数精度.
15. 设初值问题 1
01
)0(23<<⎩⎨
⎧=+='x y y
x y . (1) 写出用Euler 方法、步长h =0.1解上述初值问题数值解的公式；
(2)写出用改良的Euler 法〔梯形法〕、步长h =0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解21,y y ，保存两位小数。

16.
取节点1,5.0,0210===x x x ，求函数x
e y -=在区间]1,0[上的二次插值多项式)(2x P ，并估计误差。

17、函数()y f x =的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式3()P x
1(2P =的近似值。

18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长0.1h =，1,(0,0.6)
(0) 1.y y x x y '=-++⎧∈⎨
=⎩。

19．确定求积公式
012()()(0)()
h
h
f x dx A f h A f A f h -≈-++⎰。

中待定参数
i
A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度
20、一组试验数据如下
：
求它的拟合曲线〔直线〕。

用列主元消去法解线性方程组123123123
2346,3525,433032.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
22.
(1)用拉格朗日插法求()f x 的三次插值多项式；(2)求x ， 使()0f x =。

确定以下求积公式中的待定参数，使其代数准确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数准确度
24、用Gauss
消去法求解以下方程组
. 试求12, x x 使求积公式1
1211()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++⎰的代数精度尽量高，并求其代数精度。

. 取步长
h =0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题'25 (12)(1)1
y x y
x y =-⎧≤≤⎨
=⎩
. 用列主元消去法求解方程组123123123
1233151833156
x x x x x x x x x -+=⎧⎪
-++=-⎨⎪++=⎩并求出系数矩阵A 的行列式detA 的值.
用牛顿(切线)法求3的近似值。

取x 0=1.7, 计算三次，保存五位小数。

29、数据如下：
求形如
bx a y +=
1
拟合函数。

30、用二次拉格朗日插值多项式
2()
L x 计算sin 0.34。

插值节点和相应的函数值如下表。

31、利用改良的尤拉方法求解初值问题，其中步长0.2
h =,(0,0.8)
(0) 1.
y y x x y '=+⎧∈⎨
=⎩。

32、讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，如果收敛，比拟哪种方法收敛快。

其中
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203A .
简述题：表达在数值运算中，误差分析的方法与原那么是什么？
数值分析复习题答案
一、选择题1.A 2.D 3.D 4.C 5.B
二、填空1、2.31502、
()()()()2312123315
3,,11
2,,416f x x f x x f x x x x x ---===
--3、6 和
4、1.5
5、()()11,,2k k k k k h y f x y f x y +++⎡+⎤⎣⎦6
、()A ρ=、[][]12123,,3,,,,0n n n n n n n f x x x f x x x x +++++==；8、 收敛9、
()
h O 10、
11310121(1)(1)y x x x ⎛⎫
⎛⎫=+
+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
11. 9
和
；12.
()()
0101
f x f x x x -- 13. 1
8 14.
()()120f f < 15. ()12
00.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪
=⎪⎩L
；16、3 ；17、1 ；18、7 ；19、1；20．3；21.x ；22.1()
1()n n
n n n x f x x x f x +-=--’；23. ()1B ρ<；24、.迭代矩阵， 1()
121()21
1(8)91(4)5k k k k x x x x ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩；25.相对误差 绝对误
差26.1,,
0,i j i j =⎧⎨
≠⎩
1；27. 至少是n
()b
k
a l x dx
⎰
，b-a ；28. 3
4(4)
((),(,)1802b a b a f a b ζζ---
∈；29. 1
0；30、4；31、1，0；32、1()
1'()
n n n n n x f x x x f x +-=-
-；33、 7, 6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。

三、计算题
1．解：〔1〕
()32142632331
22545045025
x x x x H =-
++- 〔2〕
()522191919
(1)(),()(,4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈2．解：由 ()x x ϕ=，可得 3()3x x x x ϕ-=-，
1
(()3)()
2x x x x ϕψ=--=3． .解： 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 ()y f x =’
在区间 []11,n n x x -+上积分，
得
11
11()()(,())n n x n n x y x y x f x y x dx
+-+-=+
⎰
，记步长为h, 对积分
11
(,())n n x x f x y x dx
+-⎰
用Simpson 求积公式得
[]11
11112(,())()4()()(4)63
n n x n n n n n n x h h
f x y x dx f x f x f x y y y +--++-≈
++≈++⎰
’’’所以得数值解公式：
1111(4)
3
n n n n n h
y y y y y +-+-=+++’’’4．解
5. 解[]0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---%[]1,2x ∈，
()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--%所以分段线性插值函数为6. 解：原方程组同解变形为
1232133
120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84
x x x x x x x x x =++⎧⎪
=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为
()()()()()()
()()()1123121313
120.10.20.72
0.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式
()()()()()()
()()()11231121
31113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩
(0,1...)m =用雅可比迭代公式得
()()
10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得
()()
10.72000,0.90200,1.16440X =7. 解：
()331
f x x x =--，
()130
f =-<，
()210
f =>
()233
f x x '=-，
()12f x x
''=，
()2240
f =>，故取2x =作初始值
迭代公式为
()()3111112
113133
n n n n n n n n f x x x x x x f x x ---------=-=-'-()312121()31n n x x --+-或， 1,2,...
n =02x =，
()
312
231 1.88889
321x ⨯+=
=⨯-，
()
322
2 1.888891 1.87945
3 1.888891x ⨯+=
=⨯-()
3322 1.879451 1.87939
3 1.879451x ⨯+=
=⨯-，
320.000060.0001
x x -=<方程的根 1.87939
x *
≈8.解 梯形公式
()()()2
b
a
b a
f x dx f a f b -≈
⎡+⎤⎣⎦⎰
应用梯形公式得
1
01111[]0.75121011dx x ≈+=+++⎰ 辛卜生公式为
()()()[4(]62
b
a
b a a b
f x dx f a f f b -+≈
++⎰
应用辛卜生公式得()()1011010[04()1]162dx f f f x
-+≈+++⎰1111
[4]16101112=+⨯++++2536=9．解
020*******
010*********()()()()()()
()()()()()()()
=0.333336
x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------10.用二分法求方程
3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间的一个根，误差限210ε-=。

解
11.解迭代公式
13. 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取T )0,0,0()
0(=x
,经7步迭代可得：T
)010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x 14．4.
解
15. 解1(1) 0.1(32)0.3 1.2n n n n n n y y x y x y +=++=+16.解：
)
5.0)(0(0
10
5.01
5.01)0(0
5.01)(5.05
.015.002------
--+
---+
=----x x e e e x e e x p =
1+2(
)5.0()12(2)15.015.0-+-+----x x e e x e []
)1)(5.0(!
3)
()(,1max ,21,0''3''--'''=
-==-=∈-x x x f x p e y M e y x x x ξ时10≤≤∴x ，
)1)(5.0(!
31
)(2--≤
-x x x x p e x 17、解：差商表
由牛顿插值公式：
19．解：分别将2
()1,,f x x x =，代入求积公式，可得
02114
,33A A h A h
===。

令3()f x x =时求积公式成立，而4
()f x x =时公式不成立，从而精度为3。

20、解：设y a bx =+那么可得
51531
1555105.5
a b a b +=⎧⎨
+=⎩于是 2.45, 1.25a b ==，即 2.45 1.25y x =+。

解：
即123123233433032,13,118238,8,2.2.x x x x x x x x x ++==⎧⎧⎪⎪
-=-⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩
22. 解：用反插值得
解令2
()1,,f x x x =代入公式准确成立，得
1223
12023A B h hA Bx h A Bx h ⎧
⎪+=⎪
-+=⎨⎪⎪+=⎩
；解得
1131
,,322x h B h A h
===，得求积公式对3
()f x x =；
334
14
0()[()3()]239h h
h f x dx h f h h -=≠-+=-⎰
故求积公式具有2次代数准确度。

24、解：此题是Gauss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。

故
. 解：由等式对2
()1,,f x x x =准确成立得：122212231
231x x x x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩,
解此方程组得
又当3
)(x x f =时 左边≠右边
∴ 此公式的代数精度为2. 解：梯形法为1110.2[(25)(25)]n n n n n n y y x y x y +++=+-+-即
1121()1515
n n n n y x x y ++=
++迭代得
123450.62667,0.55566,0.58519,0.64840,0.72280
y y y y y =====.解：先选列主元12i =，2行与1行交 换得
(1)(1)
183115|123315,
1116A b ⎡⎤
---⎢⎥⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦消元；
3行与2行交换；消元；
回代得解3213,2,1x x x ===；行列式得
722det 1866167
A =-⋅
⋅=-
是2()30f x x =-=的正根，'()2f x x =，牛顿迭代公式 为
213
2n n n
n x x x x +-=-， 即 13
(0,1,2,...)22n n n
x x n x +=
+=取x 0=1.7, 列表如下：29、数据如下：
求形如
bx a y +=
1
拟合函数。

解：
30、解：过点001122(,),(,),(,)x f x f x f 的二次拉格朗日插值多项式为
020*******
010*********()()()()()()
()()()()()()()
x x x x x x x x x x x x L x f f f x x x x x x x x x x x x ------=
++------
代值并计算得 2sin 0.34(0.34)0.33336L ≈=。

　
31、解：
32、解：
简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原那么有：1〕要防止除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2〕要防止两近数相减；3〕要防止大数吃掉小数：4〕注意简化计算步骤，减少运算次数。

一、 选择题(共30分，每题3分)
1、以下说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是〔 〕。

〔A 〕方法收敛性； 〔B 〕方法的稳定性；〔C 〕方法的计算量；
〔D 〕方法的误差估计。

2、方程3−2x −5=0在区间[2,3]存在唯一正根，假设用二分法计算，至少迭代〔 〕次可以保证误差不超过
3x 。

3102
1
-⨯(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。

3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是〔 〕
〔A 〕调换方程位置； 〔B 〕选主元； 〔C 〕直接求解； 〔D 〕化简方程组。

4、设，那么和的值分别为1039)(48++=x x x f ]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f ]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 〔
〕
〔A 〕1，1； 〔B 〕9×8!，0；
〔C 〕9，0； 〔D 〕9，1。

5、假设用复化的辛浦生公式计算积分，问积分区间要〔
〕等分才能保证误差不超过？
⎰
π
sin xdx 5102-⨯〔A 〕10； 〔B 〕15； 〔C 〕20； 〔D 〕25。

6、用一般迭代法求解方程组Ax =b 的解，那么当〔
〕时，迭代收敛。

g Bx x k k +=+)()1(〔A 〕方程组系数矩阵A 对称正定； 〔B 〕方程组系数矩阵A 严格对角占优；
〔C 〕迭代矩阵B 严格对角占优； 〔D 〕迭代矩阵B 的谱半径ρ(B )<1。

7、在区间[0,1] 上满足y (0)=1.5,y (1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( )(A) y = 2；
(B) y = 1.5 ；(C) y = 2.5 ；
(D) y = 4 。

8、复相关系数的取值区间为： ()
(A) ； (B) ； (C)； (D)10≤≤R 11≤≤-R 1≤≤∞-R ∞
≤≤-R 19、方差分析主要用于分析〔
〕
(A)自变量和因变量都是分类变量(B)自变量和因变量都是顺序变量
(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量
10、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是〔
〕
(A)各分类间方差相等　
(B)各分类间均值相等
(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每题3分)
1、数值计算中主要研究的误差有 和 。

2、的相对误差约是的相对误差的倍。

*x *x 3. 方程求根的二分法的局限性是。

4、求方程根的割线法的收敛阶为____ 。

5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为。

6、假设用高斯-赛德尔法解方程组，其中a 为实数，那么该方法收敛的充要条件是a 应满足__。

⎩
⎨⎧-=+=+324
2121x ax ax x 7、线性代数方程组Ax =b 相容的充要条件是____ __。

8、单纯形算法的根本思路是: 。

9、参数假设检验的含义是。

10、假设检验的根本思想的根据是
三、〔7分〕确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。

四、〔8分〕方程组分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+==-+=+-3
51110288321
321321x x x b Ax x x x x x x 或分量形式。

五、〔9分〕设步长为h ，分别用Euler 方法、隐式Euler 方法和梯形方法写出微分方程的求解公式。

⎩⎨⎧=+-='1
)0(1
y y x y 六、〔8分〕设总体X 在区间 [a , b ] 上服从均匀分布，其中a 、b 未知，为总体X 的样本，求a 、b n X X X ,,,21 的极大似然估计量．
七、〔8分〕将如下线性规划问题化成标准型：
参加答案
一、 选择题(共30分，每题3分)
1、以下说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是〔 C 〕。

〔A 〕方法收敛性； 〔B 〕方法的稳定性；〔C 〕方法的计算量；
〔D 〕方法的误差估计。

2、方程3−2x −5=0在区间[2,3]存在唯一正根，假设用二分法计算，至少迭代〔 C 〕次可以保证误差不超过
3x 。

3102
1
-⨯(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。

3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是〔〕
〔A 〕调换方程位置； 〔B 〕选主元； 〔C 〕直接求解； 〔D 〕化简方程组。

4、设，那么和的值分别为1039)(48++=x x x f ]2,2,2,2,2,2,2,2,2[876543210f ]3,3,3,3,3,3,3,3,3,3[9876543210f 〔 B 〕
〔A 〕1，1；
〔B 〕9×8!，0；
〔C 〕9，0； 〔D 〕9，1。

5、假设用复化的辛浦生公式计算积分，问积分区间要〔 A 〕等分才能保证误差不
⎰
π
sin xdx 超过？5102-⨯〔A 〕10；
〔B 〕15；
〔C 〕20；
〔D 〕25。

6、用一般迭代法求解方程组Ax =b 的解，那么当〔 D 〕时，迭代收敛。

g Bx x k k +=+)()1(〔A 〕方程组系数矩阵A 对称正定； 〔B 〕方程组系数矩阵A 严格对角占优；〔C 〕迭代矩阵B 严格对角占优；
〔D 〕迭代矩阵B 的谱半径ρ(B )<1。

7、在区间[0,1] 上满足y (0)=1.5,y (1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( A )(A) y = 2；
(B) y = 1.5 ；(C) y = 2.5 ；
(D) y = 4 。

8、复相关系数的取值区间为： ( A )
(A) ； (B) ； (C)； (D)10≤≤R 11≤≤-R 1≤≤∞-R ∞
≤≤-R 19、方差分析主要用于分析〔 D 〕
(A)自变量和因变量都是分类变量(B)自变量和因变量都是顺序变量
(C)自变量和因变量都是数值变量(D)自变量是分类变量，因变量是数值变量
11、方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是〔 B 〕
(A)各分类间方差相等　
(B)各分类间均值相等
(C)各分类间均值不相等(D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每题3分)
1、数值计算中主要研究的误差有 和 。

2、的相对误差约是的相对误差的
倍。

*x *x 2
1
3. 方程求根的二分法的局限性是。

收敛速度慢，不能求偶重根。

4、求方程根的割线法的收敛阶为____ 。

或618.12
51+5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为。

5
6、假设用高斯-赛德尔法解方程组，其中a 为实数，那么该方法收敛的充要条件是a 应满足____
⎩⎨⎧-=+=+3
24
2121x ax ax x __。

2
2<
a 7、线性代数方程组Ax =
b 相容的充要条件是____ __。

rank (A )= rank (A ,b )
8、单纯形算法的根本思路是: 根据问题的标准型,从可行域中某个根本可行解 (顶点)开场,转换到另一个根本可行解(顶点),并使得每次的转换,目标函数值均有所改善,最终到达最大值时就得到最优解。

9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。

10、假设检验的根本思想的根据是小概率事件原理："小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。

〞三、〔7分〕确定以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。

四、〔8分〕方程组分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+==-+=+-3
5111028
8321
321321x x x b Ax x x x x x x 或
分量形式。

五、〔9分〕设步长为h ，分别用Euler 方法、隐式Euler 方法和梯形方法写出以下微分方程的求解公式：。

⎩
⎨
⎧=+-='1)0(1
y y x y 六、〔8分〕设总体X 在区间 [a , b ] 上服从均匀分布，其中a 、b 未知，为总体X 的样本，求a 、b n X X X ,,,21 的极大似然估计量．
七、〔8分〕将如下线性规划问题化成标准型：
试题
…
一. 填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕
1.设有节点，其对应的函数的值分别为，那么二次拉格朗日插值基函012,,x x x ()y f x =012,,y y y 数为。

0()l x 2.设，那么关于节点的二阶向前差分为。

()2f x x =()f x 0120,1,3x x x ===3.设，，那么＝，。

110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦233x ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦1A 1x =4.个节点的高斯求积公式的代数准确度为。

1n +二．简答题〔本大题共3小题，每题
8分，共24分〕
1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
()x ϕ的不动点？
()x ϕ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A 的主123n λλλλ>≥≥≥L 特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式，满足以下插值条件：
()3P x i x 123i y 2
412
i y '
3
并估计误差。

〔10分〕
四．试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。

〔10分〕1,2,4n =1
01
1I dx x
=+⎰
五．用Newton 法求的近似解。

〔10分〕()cos 0f x x x =-=六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
〔10分〕12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？
123123123202324
812231530
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩〔10分〕
八．就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。

〔10分〕
0(0)y y
y y λ'=⎧⎨=⎩参考答案
一．填空题〔每题3分，共12分〕
1.
； 2.7；3. 3，8；4. 。

()1200102()()
()()
x x x x l x x x x x --=
--2n+1二．简答题〔本大题共3小题，每题8分，共24分〕
1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。

〔
4分〕
对于对称正定阵A ，从可知对任意k i 有 L 的元素不会增大，误差可控，不
21i
ii ik
k a l ==
∑
||ik l ≤需选主元，所以稳定。

〔4分〕
2. 解：〔1〕假设，那么称为函数的不动点。

〔2分〕
()*
*x
x ϕ=*x ()x ϕ
〔2〕必须满足以下三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：()x ϕ()x ϕ1〕是在其定义域是连续函数； 〔2分〕()x ϕ2〕的值域是定义域的子集； 〔2分〕()x ϕ3〕在其定义域满足普希兹条件。

〔2分〕
()x ϕ3.解：参照幂法求解主特征值的流程 〔8分〕
步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限 ，最大迭代次数N;步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;步3：计算vk=Auk-1;
步4：计算并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;
步5：假设|mk- μ|< ，计算，输出mk,uk ；否那么，转6；步6：假设k<N,置k:=k+1, μ:=mk ，转3；否那么输出计算失败信息，停顿
三． 解：〔1〕利用插值法加待定系数法： 设满足 那么〔3分〕
()2p x ()()()22212,24,312,p p p ===()2
2376,p x x x =-+
再设
〔3分〕
()()()()()32123p x p x K x x x =+---
〔1分〕
2K =
〔1分〕
()32329156p x x x x =-+-〔2〕 〔2分〕()()()()()()2
4311234!
R x f x x x ξ=
---四．解：应用梯形公式得 〔2分〕
()()11
012I I f f ≈=+⎡⎤⎣⎦
〔1分〕
0.75= 应用辛普森公式得： 〔2分〕
()()21104162I I f f f ⎡
⎤⎛⎫
≈=
++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
〔1分〕
0.69444444=[][]1max ;k k r i
i n
v v ≤≤=
应用科特斯公式得：
〔2分〕()()41113703212327190424I I f f f f f ⎡
⎤⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
≈=
++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
〔2分〕
0.6931746=五．解：由零点定理，在有根。

〔2分〕cos 0x x -=(0,
2
π
由牛顿迭代格式
〔4分〕
1cos 0,1,......1sin n n
n n n
x x x x n x +-=-=+取得，
04
x π
=
〔3分〕12340.73936133;0.739085178
0.7390851330.739085133
x x x x ====故取 〔1分〕
*
40.739085133x x ≈=六．解：对系数矩阵做三角分解：
〔2分〕
1112
1321222331323325610041319106361u u u l u u l l u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
〔4分〕
125621373414A LU -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
假设，那么； 〔2分〕Ly b =12310,1,4y y y ==-=假设，那么
〔2分〕
Ux y =(3,2,1)T
x =。

七．解：〔1〕对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为
〔2分〕
00.50.51010.50.50B -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
其特征多项式为，且特征值为
()2
det() 1.25I B λλ
λ
-=+
〔2
分〕
1230,,λλλ===故有，因而雅可比迭代法不收敛。

〔1分〕
() 1.251B ρ=>〔2〕对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为
〔2分〕
00.50.500.50.5000.5B -⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
其特征值为
〔2分〕
1230,0.5λλλ===故有，因而Gauss-Seidel 迭代法收敛。

〔1分〕
()0.51B ρ=<八．证明题〔本大题共2小题，每题7分，共14分〕1. 证：该问题的准确解为 〔2分〕0()x
y x y e
λ=欧拉公式为 〔2分〕
1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+对任意固定的，i x x ih ==有，
〔2分〕/1/00(1)[(1)]i i x h
x h i y y h y h λλλλ=+=+那么
〔1分〕0()i
x i y e
y x λ=2.证：牛顿迭代格式为
〔3分〕
125,0,1,2,66n n n
x a
x n x +=
+= 因迭代函数为而又， 〔2分〕
()25,66x a x x ϕ=+()35,63a
x x
ϕ'=
+*x =那么。

51
062
ϕ'
=
=
≠故此迭代格式是线性收敛的。

〔2分〕
试题
一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设方程，可以表成，那么满足；那么由迭代公式产生的序列0)(=x f )(x x ϕ=)(x ϕ)(1n n x x ϕ=+{}
n x 一定收敛于方程的根。

0)(=x f 4．区间上的三次样条插值函数是满足：；[,]a b ()S x 5．设总体未知，写出的95%的置信区间： ；
2
~(,)
,X N μσμσμ
6．正交表中各字母代表的含义为；
()p
q
N L n m ⨯7．取步长，解的Euler 法公式为：；
2.0=h ]1,0[,1)0(2'∈⎩
⎨⎧=-=x y y
x y 8．对实际问题进展建模求解时可能出现的误差有： ；
7.二元非线性函数 ，该函数从X 0 出发的最速下降方向为：；2
2
1122120()+-2+4,(1,2)T
f x x x x x x x X =+=8．二元非线性函数 ，该函数从X 0 出发的Newton 方向为：；。

2
2
1122120()+-2+4,(1,2)T
f x x x x x x x X =+=二、〔此题8分〕某商场决定营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。

根据统计，商场每天需要的营业员数如下表：
星期一二三四五六日需要人数
300
300
350
400
480
600
550
(1) 为商场人力资源部建立线性优化模型安排每天的上班人数，使商场总的营业员数最少。

〔不要求计算出结果〕；
(2) 写出所建立的模型的对偶形式。

三、〔此题8分〕的数据如表：
)(x f x
0 137)
(x f 0 0.5 21.5
试求三次插值多项式P(x)，给出相应的误差估计式，并求f (2)的估计值。

四、〔此题12分〕为了改良录音效果，今比拟三种不同磁粉的录音带的放音效果，用这三种不同的磁粉(记为
)的录音带录音，假设，，得到的数据已汇总成方差分析表如下
123,,A A A 2~(,)i i A N μσ1,2,3i =方差来源平方和自由度样本方差
F 值
组间SSA
667.73
组SSE
12
总和SST 1114.9314
(1)试把上述方差分析表补充完整
(2)问这三种磁粉的平均放音效果有无显著差异？〔取，〕0.05α=0.05(2,12) 3.89F =五、〔此题10分〕利用单纯形方法求解下面的线性规划〔要求写出计算过程〕：
六、〔此题10分〕试确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量
⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(高。

七、〔此题12分〕为研究家庭收入X 〔元〕和食品支出Y 〔元〕关系，随机抽取了12个家庭的样本，得到数据如下表假设与之间符合一元线回Y X 归模型,(1)试用上表数据建立线性回归方程；〔2〕检验回归效果是否显著(0.05α=)；〔3〕试解释回归方程的经济意义。

〔
0.0250.05(10) 2.2281,(10) 1.8125
t t ==〕
八、〔此题16分〕设方程组为〔1〕对方程组进展适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；
〔2〕写出对应的高斯－塞德尔迭代格式；
〔3〕取初始向量
，求迭代次数
T x )0,0,0()0(=家庭序号家庭收入i
X 食品支出
i
Y 2i X i i X Y 2i Y 12074001404923099002708133391089297814401116004401215155225525614419656167268676208648381014443801009359122531581104210176442010011228484176641231996127981合计
346
99
10964
3056
863
使得。

k 3)
()1(10-∞
+≤-k k x x 答案
一、填空题(此题24分，每题3分)1. 假设方程可表成，且在有唯一根，那么满足
0)(=x f )(x x ϕ=[,]a b *x )(x ϕ，那么由迭代公式产生的序列一定收敛于。

)(1
n n x x ϕ=+{}n x *x 〔满足：,且有,；〕
)(x ϕ1()[,]x C a b ϕ∈[,]x a b ∀∈()[,]x a b ϕ∈'()1x L ϕ≤<2. 二元非线性函数，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 〔最2
2
1122120()24,(2,2)T
f x x x x x x x X =-++-=速下降方向为：〕；
()4,
2T
p =-3．二元非线性函数，该函数从X 0 出发的Newton 方向为221122120()24,(2,2)T
f x x x x x x x X =-++-=〔Newton 方向为： 〕；
()2,
0T
p =-4．在区间上通过点，那么其三次样条插值函数是满足
)(x f y =],[b a (,),0,1,2,,i i x y i n =L )(x S 〔〔1〕在每个小区间是次数不超过3次的多项式，〔2〕在区间上二阶导数连续，〔3〕满足插值条件
[,]a b 〕；
(),0,1,2,,i i S x y i n ==L 5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值落入W 的概率为0.15，12(,,,)n X X X L 那么犯第一类错误的概率为________〔0.15〕 ；
6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈短愈好。

但当增大置信水平时，那么相应的置信区间长度总是变长 ；7．
取
步
长
，
解
的Euler 法公式为：
2.0=h ]1,0[,1
)0(2'∈⎩⎨
⎧=-=x y y
x y 〔 〕；
1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+=L 8．对实际问题进展建模求解时可能出现的误差有： 〔模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。

〕 。

二、〔此题8分〕某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。

钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进展冶炼，每种矿物的成分含
量和价格如下表。

矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

合金
矿石
锡〔%〕
锌〔%〕
铅〔%〕
镍〔%〕
杂质〔%〕
费用〔元/吨〕
1251010253034024000303026030155206018042020040202305
8
5
15
17
15
190
〔1〕建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品本钱最低。

〔不要求计算出结果〕；〔2〕写出所建立的模型的对偶形式。

〔1〕设 是第j 种矿石的数量，目标是使本钱最低，得线性规划模型如下：
,1,2,5)j x j =L （
4分
123451245124513512345123451min 340260*********..0.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.1
0.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70Z x x x x x s t
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+2345.70.40.80.4510,
1,2,5
j x x x x x j +++=≥=L 〔2〕上述线性规划模型的对偶形式如下：
4分
1234561234561456234561245612max 0.280.150.10.550.35..0.25-0.10.10.250.250.73400.40.30.30.7260
0.150.050.20.20.41800.20.20.40.40.8230
0.080.050.1f y y y y y y s t
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =-+-+++-++≤-++≤-+-++≤--++≤-+345611
12453650.170.170.451900,0,0,0,,y y y y y y y y y R y R -++≤≥≥≥≥∈∈
三、〔此题8分〕的数据如表：
)(x f x
0 137)
(x f 0 0.5 21.5
试求三次插值多项式P(x)，求的近似值，并给出相应的误差估计式。

(4)f 解：
用Newton 插值法求的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：
)(x f x i
f (x i )
一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商
00
10.50.5
320.750.25/3
7 1.5－0.125－0.875/6－1.375/424
18.25/7
-0.37
-0.245
-0.033
-0.000075
由差商表得出的三次插值多项式为：
)(x f 3分
30.25 1.375
()0.5(1)(1)(3)342
N x x x x x x x =+
----于是有
2分
30.25 1.375
(4)(4)0.5443431342
2.7518.25
2177
f N ≈=⨯+
⨯⨯-⨯⨯⨯=+-=
相应的误差估计式为：
2分
3()[0,1,3,7,](1)(3)(7)
[0,1,3,7,4]431(0.000075(36)3)0.0027
R x f x x x x x f -⨯-==---=⨯⨯⨯⨯-≈四、〔此题12分〕为了考察硝酸钠NaNO 的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度〔〕，观察它在1003C 0
的水中溶解的NaNO 的重量〔g 〕，得观察结果如下：
3温度x 20 30334015 1326 3835 43重量y 7
9 8 11 5 4 8 10
9 10
〔1〕 求Y 对X 的线性回归方程。

〔结果保存小数点后两位。

〕
,
,
,,
29310
1
=∑=i i
x
8110
1
=∑=i i
y
∑==10
1
2574i i i
y x
957710
1
2=∑=i i x 701
10
1
2=∑=i i
y
〔2〕对回归方程的显著性进展检验。

〔取显著水平为0.05，0.01〕，，
0.05(1,8)=5.32F 0.01(1,8)11.26F =。

0.050.01(8) 1.8595(8) 2.8965t t ==解：
〔１〕29.3
8.1
x y == 4分
2
22701108.144.9YY i L y ny =-=-⨯=∑回归函数为 4分ˆ() 2.170.20x x μ
=+〔２〕2
11ˆˆ()(44.90.2023200.7)0.5428
YY xY
L bL n σ
=-=-⨯=-
，或2分
222ˆ0.2023200.715.21ˆ0.54
xY
b L F σ⨯=== 3.9T == 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的
0.050.01(1,8)(1,8)F F F F >>或 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。

12分
0.050.01(8)
(8)T t T t >>五、〔此题10分〕利用单纯形方法求解下面的线性规划〔要求写出计算过程〕：
解：
第一步： 化为标准型，……………………………………..(2分)第二步： 列出是单纯形表，………………………………..(2分)第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分)第四步： 列出是单纯形表，…………………………………..(3分)
第五步： 正确写出结果，最优解…(2分)
*
*
(15,10),8500T
x f ==六、〔此题10分〕试确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量
⎰--++-≈h h h f A f A h f A dx x f 101)()0()()(高。

解：
算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分
七、〔此题12分〕设有4种治疗荨麻疹的药，要比拟它们的疗效。

假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开场到痊愈所需时间，得到下面的记录：
药物治愈所需天数1234
5，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15
试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差异？〔，〕05.0=α0.05(3,20) 3.10F =解：
由于，故承受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差异0.05(3,20) 3.10F F <=〔正确算出F 值给10分，结论正确给2分〕八、〔此题16分〕设方程组为
〔1〕对方程组进展适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；〔2〕写出对应的高斯－塞德尔迭代格式；〔3〕取初始向量，用该方法求近似解，使。

T x
)0,0,0()
0(=)
1(+k x
3)
()1(10-∞
+≤-k k x x 方差来源平方和自由度样本方差F 值组间〔因子〕10.53 3.50.35
组〔误差〕200.52010.02
总和
211
23
-
解：
〔1〕将原方程组调整为，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+-=--8978793121321x x x x x x x 迭代法求解时收敛。

5分〔2〕高斯－塞德尔迭代格式为
5分
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=++=+++++98
918791979191)1(1)1(3)1(1)1(23)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 〔2〕取，用上述迭代格式计算得
T )0()0,0,0(=x
1 0.7777778 0.972222
2 0.9753086
2 0.9941701 0.999271
3 0.9993522
3 0.9998471 0.9999809 0.9999830
4 0.9999960 0.999999
5 0.9999996因，(4)(3)
30.000148910x x -∞-=<故取近似解。

6分*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。

6分*(4)(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T x x ≈=。