推荐高中数学第一章直线多边形圆2.4切割线定理2.5相交弦定理学案北师大版选修4_1

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2.4&2.5 切割线定理相交弦定理
[对应学生用书P23]
[自主学习]
1.切割线定理
(1)文字语言:过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项.
(2)符号语言:从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB,T是切点,则PT2=PA·PB.
(3)图形语言:如图所示.
推论:过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积,等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理).
2.相交弦定理
(1)文字语言:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
(2)符号语言:⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P,则PA·PB
=PC·PD.
(3)图形语言:如图所示.
[合作探究]
1.由相交弦定理知,垂直于弦的直径平分弦.那么,直径被弦分成的两条线段与弦有何关系?
提示:弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.
2.如图,圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB=PC·CD?
提示:只有PA=PC时才有PA·PB=PC·CD成立.
[对应学生用书P23]
[例1] 如图所示,⊙O
1与⊙O 2相交于A ,B 两点,AB 是⊙O 2的直径,过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点E ,并与BO 1的延长线交于点P .PB 分别与⊙O 1,⊙O 2交于C ,D 两点.求证:
(1)PA ·PD =PE ·PC ; (2)AD =AE .
[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用.解题时由割线定理得PA ·PE =PD ·PB ,再由切割线定理知PA 2
=PC ·PB 可得结论,然后由(1)进一步可证AD =AE .
[精解详析] (1)∵PAE ,PDB 分别是⊙O
2的割线, ∴PA ·PE =PD ·PB .①
又∵PA ,PCB 分别是⊙O 1的切线和割线, ∴PA 2
=PC ·PB .② 由①②得PA ·PD =PE ·PC . (2)连接AD ,AC ,ED ,
∵BC 是⊙O 1的直径,∴∠CAB =90°. ∴AC 是⊙O 2的切线. 又由(1)知PA PE =PC
PD ,
∴AC ∥ED .∴AB ⊥ED .
又∵AB 是⊙O 2的直径,∴AD =AE , ∴AD =AE .
讨论与圆有关的线段间的相互关系,常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决,通常用分析法揭示解题的思考过程,而用综合法来表示解题的形式.
1.(湖北高考)如图,P 为⊙O 外一点,过P 点作⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ,D 两点.若QC =1,CD =3,则PB =.
解析:由切割线定理,得QA2=QC·QD=4⇒QA=2,则PB=PA=2QA=4.
答案:4
[例2] 的垂线分别交⊙O于C,D两点,垂足是点E.
求证:PC·PD=AE·AO.
[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD=AP·PB,又P为AB的中点,所以PC·PD=AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可.
[精解详析] 连接OP,
∵P为AB的中点,
∴OP⊥AB,AP=PB.
∵PE⊥OA,
∴AP2=AE·AO.
∵PD·PC=PA·PB=AP2,
∴PD·PC=AE·AO.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起,经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论.
2.(湖南高考)如图,已知AB ,BC 是⊙O 的两条弦,AO ⊥BC ,AB =3,BC =22,则⊙O 的半径等于.
解析:设AO ,BC 的交点为D ,由已知可得D 为BC 的中点,则在直角三角形ABD 中,AD =AB2-BD2=1,设圆的半径为r ,延长AO 交圆O 于点E ,由圆的相交弦定理可知BD ·CD =AD ·DE ,即(2)2
=2r -1,解得r =32
.
答案:32
[例3] AD 、BC 相交于E 点,F 为CE 上一点,且DE 2
=EF ·EC .
(1)求证:∠P =∠EDF ; (2)求证:CE ·EB =EF ·EP .
(3)若CE ∶BE =3∶2,DE =6,EF =4,求PA 的长.
[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用.解题时先证△CED ∽△
DEF ,同时利用平行关系可证(1);然后证明△DEF ∽△PEA ,结合相交弦定理可证(2);最后由
切割线定理可求PA .
[精解详析] (1)证明:∵DE 2
=EF ·EC , ∴DE ∶EC =EF ∶ED .
∵∠DEF 是公共角,∴△CED ∽△DEF . ∴∠EDF =∠C . ∵CD ∥AP ,∴∠C =∠P . ∴∠P =∠EDF .
(2)证明:∵∠P =∠EDF ,∠DEF =∠PEA , ∴△DEF ∽△PEA . ∴DE ∶PE =EF ∶EA , 即EF ·EP =DE ·EA . ∵弦AD ,BC 相交于点E , ∴DE ·EA =CE ·EB . ∴CE ·EB =EF ·EP .
(3)∵DE 2
=EF ·EC ,DE =6,EF =4, ∴EC =9.∵CE ∶BE =3∶2,∴BE =6. ∵CE ·EB =EF ·EP ,∴9×6=4×EP . 解得EP =27
2
.
∴PB =PE -BE =152,PC =PE +EC =45
2.
由切割线定理得PA 2
=PB ·PC . ∴PA 2
=152×452.∴PA =152
3.
解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理,同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用.
3.如图,E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点,直线EF ∥CB ,交AD 的延长线于点F ,FC 与圆
交于点G .求证:
(1)△DFE ∽△EFA ; (2)△EFG ∽△CFE . 证明:(1)∵EF ∥CB , ∴∠DEF =∠DCB .
∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角, ∴∠DAB =∠DCB =∠DEF .
∵∠DFE =∠EFA ,∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知:△DFE ∽△EFA ,∴EF AF =FD
FE .
即EF 2
=FA ·FD .
由割线定理得FA ·FD =FG ·FC . ∴EF 2=FG ·FC , 即EF GF =FC FE
. 又∵∠EFG =∠CFE ,∴△EFG ∽△CFE .
本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用.难度中档,是高考命题的热点内容.
[考题印证]
(新课标全国卷Ⅱ)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,
割线PBC 与⊙O 相交于点B ,C ,PC =2PA ,D 为PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点E .证明:
(1)BE =EC ; (2)AD ·DE =2PB 2
.
[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理.
[自主尝试] (1)连接AB,AC.
由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
[对应学生用书P25]
一、选择题
1.如图,已知⊙O的两条弦AB,CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE
=CE+3,则CD的长为( )
A.4 B.5
C.8 D.10
解析:选B 设CE=x,则DE=3+x.根据相交弦定理,得x(x+3)=2×2,x=1或x=-4(不合题意,应舍去).
则CD=3+1+1=5.
2.如图,点P是⊙O外一点,PAB为⊙O的一条割线,且PA=AB,
PO交⊙O于点C,若OC=3,OP=5,则AB的长为( )
A.10B.2 2
C.5D. 6
解析:选B
设PA=AB=x,延长PO交圆于点D.
因为PA·PB=PC·PD,OC=3,OP=5,所以PC=2,PD=8.
所以x·2x=16,所以x=2 2.
3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则( )
A.CE·CB=AD·DB B.CE·CB=AD·AB
C.AD·AB=CD2D.CE·EB=CD2
解析:选A 在直角三角形ABC中,根据直角三角形射影定理可得CD2=AD·DB,再根据切割线定理可得CD2=CE·CB,所以CE·CB=AD·DB.
4.如图,CA,CD分别切圆O1于A,D两点,CB,CE分别切圆O2于B,E两点.若∠1=60°,∠2=65°,判断AB,CD,CE的长度,下列关系正确的是( )
A.AB>CE>CD B.AB=CE>CD
C.AB>CD>CE D.AB=CD=CE
解析:选A 因为∠1=60°,∠2=65°,
所以∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-65°=55°,
所以∠2>∠1>∠ABC,
所以AB>BC>AC,
因为CA ,CD 分别切圆O 1于A ,D 两点,
CB ,CE 分别切圆O 2于B ,E 两点,
所以AC =CD ,BC =CE , 所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题
5.如图,圆O 是△ABC 的外接圆,过点C 的切线交AB 的延长线于点D ,CD =27,AB =3,则BD 的长为.
解析:由切割线定理得:DB ·DA =DC 2
,即DB (DB +BA )=DC 2
,∴DB 2
+3DB -28=0,∴DB =4.
答案:4
6.如图,从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ,已知PA =22,PC =4,圆心O 到BC 的距离为3,则圆O 的半径为.
解析:记圆O 的半径为R .依题意得PA 2=PB ·PC ,PB =PA2
PC
=2,BC =PC -PB =2,
所以R =12

3
=2.
答案:2
7.如图,⊙O 的弦ED ,CB 的延长线交于点A ,若BD ⊥AE ,AB =4,BC =2,AD =3,则DE =;CE =.
解析:由切割线定理得AB ·AC =AD ·AE ,即4×6=3×(3+DE ),解得DE =5;
易知AD AB =AC AE =34

又∠A =∠A ,故△ABD ∽△AEC ,故∠BCE =∠BDA =90°,
BD
EC =
AD AC
. 在直角三角形ABD 中,BD =42-32=7, ∴CE =BD·AC AD =7× 63=27.
答案:5 27
8.如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF =CF =2,AF ∶FB ∶BE =4∶2∶1.若CE 与圆相切,则线段CE 的长为.
解析:设BE =x ,则FB =2x ,AF =4x ,由相交弦定理得DF ·FC =AF ·FB ,即2=8x 2
,解得
x =12,AE =72,再由切割线定理得CE 2=EB ·EA =12×72=74,所以CE =
72
. 答案:
72
三、解答题
9.如图,P 为圆O 外一点,PA ,PB 是圆O 的两条切线,A ,B 为切
点,OP 与AB 相交于点M ,且点C 是AB 上一点.
求证:∠OPC =∠OCM .
证明:连接OB ,由切线长定理,得PA =PB ,PM ⊥AB ,
PO 平分∠APB .
又PB ⊥OB ,在Rt △OPB 中,OB 2
=OP ·OM , ∵OB =OC ,∴OC 2
=OP ·OM , 即
OC OP =OM
OC
,∴△OCP ∽△OMC ,∴∠OPC =∠OCM . 10.如图,两个同心圆的圆心是O ,大圆的半径为13,小圆的半径为
5,AD 是大圆的直径.大圆的弦AB ,BE 分别与小圆相切于点C ,F .AD ,BE 相交于点G ,连接BD .
(1)求BD 的长.
(2)求∠ABE +2∠D 的度数.
(3)求BG AG
的值.
解:(1)连接OC ,
因为AB 是小圆的切线,C 是切点,所以OC ⊥AB ,
所以C 是AB 的中点.
因为AD 是大圆的直径,
所以O 是AD 的中点.
所以OC 是△ABD 的中位线.
所以BD =2OC =10.
(2)连接AE .
由(1)知C 是AB 的中点.
同理F 是BE 的中点.
即AB =2BC ,BE =2BF ,
由切线长定理得BC =BF .
所以BA =BE .所以∠BAE =∠E .
因为∠E =∠D ,
所以∠ABE +2∠D =∠ABE +∠E +∠BAE =180°.
(3)连接BO ,在Rt △OCB 中,
因为OB =13,OC =5,
所以BC =12,AB =24.
由(2)知∠OBG =∠OBC =∠OAC .
因为∠BGO =∠AGB ,
所以△BGO ∽△ AGB .
所以BG AG =BO AB =1324
.
11.如图,在Rt △BDE 中,∠BDE =90°,BC 平分∠DBE 交DE 于点C ,
AC ⊥CB 交BE 于点A ,△ABC 的外接圆的半径为r .
(1)若∠E =30°,求证:BC ·BD =r ·ED .
(2)若BD =3,DE =4,求AE 的长.
解:(1)证明:取AB 的中点为O ,△ABC 是直角三角形,AB 是斜边,O
是外接圆的圆心,连接CO ,
所以BO =CO ,∠BCO =∠OBC ,
因为BC 是∠DBE 的平分线,
所以∠DBC =∠CBA ,
所以∠OCB =∠DBC ,
所以OC ∥DB (内错角相等,两直线平行),
所以OC BD =CE DE ,
把比例式化为乘积式得
BD ·CE =DE ·OC ,
因为OC =r ,
所以BD ·CE =DE ·r .
因为∠D =90°,∠E =30°,
所以∠DBE =60°,
所以∠CBE =12∠DBE =30°,
所以∠CBE =∠E ,
所以CE =BC ,
所以BC ·BD =r ·ED .
(2)过点C 作CH ⊥OE ,垂足为H .BD =3,DE =4,根据勾股定理,BE =5,OC =OA =r ,
因为OC ∥DB ,
所以△OCE ∽△BDE ,
所以OC BD =OE BE =CE DE ,即r 3=OE 5=CE 4,
解得OE =53r ,CE =43r .
CH =OC·CE OE =45
r , 因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ,
则△BDC ≌△BHC ,
所以BH =BD =3,则HE =2.
在Rt △CHE 中,根据勾股定理得:CH 2+EH 2=CE 2, 即⎝ ⎛⎭⎪⎫45r 2
+22=⎝ ⎛⎭⎪⎫43r 2

解得:r =158,
则AE =BE -2r =5-154=54.。

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