第3课时等比数列及其前n项和

第3课时 等比数列及其前n 项和
1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的有关概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数．这个数列叫等比数列，这个常数叫公比．用q 表示． (2)等比中项
如果三个数a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，那么G a ＝b
G ，即G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式 (1)等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，q ≠0，则它的通项公式a n ＝a 1·q n －
1.
(2)等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q . 3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n b
n 仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .
考点一 等比数列基本量的计算
[例1] (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63
D ．84
(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． (3)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________． (4)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 1．等比数列{}a n 中，a 3＝9，前三项和S 3＝27，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－1
2
D ．－1或－1
2
2．已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 25＝2a 3a 6，S 5＝－62，则a 1的值是__________． 3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于_．
考点二 等比数列的判定或证明
[例2] (1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列
D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . ①设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； ②求数列{b n }的通项公式．
1．在数列{}a n 中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{}a n 是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝43a n －13×2n ＋
1＋23，n ＝1,2,3，….
(1)求首项a 1的值；
(2)求证：数列{a n ＋2n }是等比数列．
考点三 等比数列的性质及应用
[例3] (1)已知各项不为0的等差数列{}a n 满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{}b n 是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26
D ．16
(3)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a 1＝( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
1．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
2．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
等差、等比数列综合问题的规范答题
[典例] (本题满分12分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和为T n ，求T n .
[高考真题体验]
1．(高考大纲全国卷)设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63
D ．64
2．(高考课标卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.
3．(高考课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A ．2
B ．1 C.12 D.1
8
4．(高考全国乙卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝1
3，
a n
b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．
课时规范训练 A 组 基础演练
1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设{}a n 是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )
A ．2
B ．－2 C.12
D ．－12
3．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．±2 B ．－2 C. 2
D ．±2
4．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511
D ．1 023
5．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334
D.17
2
6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．
8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *， 都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.
9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.
10．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫S n ＋54是等比数列．
B 组 能力突破
1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1
m －1
，则数列{a n }的公比为( )
A ．－2
B ．2
C ．－3
D ．3
2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －
1 B ．－(－2)n
－1
C ．(－2)n
D ．－(－2)n
3．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2
n 等
于( )
A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1 D.1
4
(3n －1)
4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－8，a 4＋a 5＋a 6＝1，则a 1
1－q ＝__________.
5．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．。