5动态规划演算法习题答案

5动态规划演算法习题答案
1．最大子段和问题：给定整数序列，求该序列形如的子段和的最大值：
1)已知一个简单演算法如下：
int maxsum(int n,int a,int
}试分析该演算法的时间複杂性。

2) 试用分治演算法解最大子段和问题，并分析演算法的时间複杂性。

3)试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划演算法解最大子段和问题。

分析演算法的时间複杂度。

（提示：令）
解：1）分析按照第一章，列出步数统计表，计算可得 2）分治演算法：将所给的序列a[1:n]分为两段 a [1:n/2]、a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种可能：
①a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；
②a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；
③a[1:n]的最大子段和为两部分的栏位和组成，即；
intmaxsubsum ( int *a, int left , int right)
int s2 =0;
int right_sum =0;
for ( int i = center +1; i sum)
sum = b;
j=i；
end}return sum;
}自行推导，答案：时间複杂度为o（n）。

2.动态规划演算法的时间複杂度为o（n）（双机排程问题）用两台处理机a和b处理个作业。

设第个作业交给机器a处理时所需要的时间是，若由机器b来处理，则所需要的时间是。

现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。

设计一个动态规划演算法，使得这两台机器处理完这个作业的时间最短（从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间）。

以下面的例子说明你的演算法：
解：（思路一）在完成前k个作业时，设机器a工作了x 时间，则机器b此时最小的工作时间是x的一个函式。

设f[k][x]表示完成前k个作业时，机器b最小的工作时间，则
其中对应第k个作业由机器b来处理（完成k-1个作业时机器a工作时间仍是x，则b在k-1阶段用时为）；而对应
第k个作业由机器a处理（完成k-1个作业，机器a工作时间是x-a[k]，而b完成k阶段与完成k-1阶段用时相同为）。

则完成前k个作业所需的时间为
1）当处理第一个作业时，a[1]=2,b[1]=3;
机器a所花费时间的所有可能值範围：0 x a[0].
x<0时，设f[0][x]= ∞，则max(x, ∞)= ∞；
0x<2时，f[1][x]=3，则max(0,3)=3，
x2时， f[1][x]= 0，则max(2,0)=2；
2）处理第二个作业时：x的取值範围是：0 <= x <= (a[0] + a[1])，
当x<0时，记f[2][x] = ∞；以此类推下去
（思路二）假定个作业的集合为。

设为的子集，若安排中的作业在机器a上处理，其余作业在机器b上处理，此时所用时间为，
则双机处理作业问题相当于确定的子集，使得安排是最省时的。

即转化为求使得。

若记，则有如下递推关係：（思路三）
此问题等价于求（x1,……xn），使得它是下面的问题最优解。

min max xi=0或1，i=1~n
基于动态规划演算法的思想，对每个任务i，依次计算集合s(i)。

其中每个集合中元素都是一个3元组（f1,f2,x）。

这个3元组的每个分量定义为
f1:处理机a的完成时间
f2：处理机b的完成时间
x：任务分配变数。

当xi=1时表示将任务i分配给处理机a，当xi=0时表示分配给处理机b。

初始时，s(0)=
令f=按处理时间少的原则来分配任务的方案所需的完成时间。

例如，当（a1，a2,a3,a4,a5,a6）=(2,5,7,10,5,2),(b1,b2,b3,b4,b5,b6)=(3,8,4,11,3,4)时，按处理时间少的原则分配任务的方案为（x1,x2,x3,x4,x5,x6）=（1,1,0,1,0,1）
因此，f=max=19。

然后，依次考虑任务i，i=1~n。

在分配任务i时，只有2种情形，xi=1或xi=0。

此时，令s(i)=u在做上述集合并集的计算时，遵循下面的原则：
①当（a,b,c）,(d,e,f)s(i)且a=d,b<=e时，仅保留（a,b,c）；
仅当max<=f时，(a,b,c)s(i)
最后在s(n)中找出使max达到最小的元素，相应的x即为所求的最优解，其最优值为max。

当（a1，a2,a3,a4,a5,a6）
=(2,5,7,10,5,2),(b1,b2,b3,b4,b5,b6)=(3,8,4,11,3,4)时, 按处理时间少的原则分配任务的方案为（x1,x2,x3,x4,x5,x6）=（1,1,0,1,0,1）
因此，f=max=19。

s(0)=;
s(1)=
s(2)=
s(3)=
s(4)=
s(5)=
s(6)=
max(f1,f2)最小的元组为(14,15,102), (14,15,82), (15,14,20)
所以，完成所有作业最短时间是15，安排有三种：
（1,1,0,0,1,1），（1,0,0,1,0,1）,(0,1,0,1,0,0)
3．考虑下面特殊的整数线性规划问题
试设计一个解此问题的动态规划演算法，并分析演算法的时间複杂度。

解：方法1.
设令，则上述规划问题转化为：
，其中，
把看作价值，看作重量，看作揹包容量。

转化为0/1揹包问题，所以可以0/1揹包问题的动态规划演算法来求解。

由于n件物品的0/1揹包的时间複杂性是o（2n），则此时为o（4n）。

方法2.
可以看成是另一种揹包问题。

即b为揹包容量，为揹包中可以装0，1，或者2件物品，对应的价值为，求在容量b 一定的前提下，揹包所容纳的物品的最大价值。

也就是引数完全相同的两个0-1揹包问题，它们同时制约于揹包容量为c这个条件。

在设计演算法时可以优先考虑，也就是先判断揹包剩下的容量能不能放进去，若可以再判断能否使，若可以则就再放入一个，这样就间接满足了的条件。