成都七中17届高二理科数学下期半期考试试卷答案

22
k )x
2kmx
2
m
4
0.
1
4
4k2m2 4(4 k2)(m2 4) 0, 得 k2 4 m2.
设 M ( x1, y1) ， N (x2, y2 ) ，线段 MN 的中点为 Q (x0, y0) .
则 x1 x2
2 km 4 k2
， x1x2
m2
4 ，所以
2
x0
4k
km 4 k2
， y0
kx0 m
成都七中 2015-2016 学年下期 2017 届半期考试数学（理科）试卷 ( 参考答案）
一．选择题 CBABD ADACD BA 二、填空题
13. 2 3, 2
1 14. y
4
15. 2 3 或 2 5
3
5
16. ①④
三.解答题
17.解：（1）共有 36 个不同的基本事件，列举如下： （ 1， 1），（1，2），（1，3），（1，4），（ 1， 5），（1，6），
6
210 . …… 10 分
3
则d1
1
y
2 0
4y 0
26
2
5
1 10 ( y 0
4) 2
36 ,
当 y 0 4 时,(d 1) min 3. 6 ，此时 x 0
y
2 0
6
8, 3
∴当 P
8 ,
4 时,(d 1) min
3
3. 6 .……６分
3
（ 2）设抛物线的焦点为 F，则 F , 2
0 ，且 d 2
4
4
1 (x1 2)(x2 2)
2,
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 16
∴ x1x2 2( x1 x2 ) 36
①
又 k AB
y2 y1 x2 x1
1
x
2 2
4
x2
1
x
2 1
4
x1
1 4 (x2
x1),
∴直线 AB方程为：y y 1
x1 x2 (x 4
x1) .
代入①，化简得： y 9 x1 x2 (x 2) ， 4
4 5 ( y1
y2 )2
4y1y2
4
(
6m 5 )2
4
16 25 ，
5 1 m2
1 m2
4
4
令 t 1 m2 ，则 t 1 ，且 m2 t 1 ，
4
4
4
36 1
16
∴ S MAN
4 5
(t ) 25 4
t2
4 25 t
8 25
2
9 1 50 2
(
)
25 (t
1)，
4t 9
9
4
∴当 t 1 ，即 m 0 ，直线 l 的方程为 x 4
C
C1 1
42
C62
（2）有二等品的概率 P2
C41C21 C22 C62
3. 5
或 P2
1 C42 C62
2 1
3
3 .……６分 5
8 .……６ 分 15
21.解：（1）设抛物线
C 的方程为
2
x
2 py( p
0) ，
由点 M （2，1）在抛物线 C 上，得 4=2p，则 p=2.
∴抛物线 C 的方程为 x 2 4y .……２分
5
5
（Ⅱ）当直线 l 与 x 轴不垂直时, 由（Ⅰ）知， AM AN 时, m 当 m k 时，直线 l 为 y k( x 1) 过点 A(1, 0) ，矛盾，故舍去 .
0, 或x 3. 5
……８分
k或m 3k . 5
当 m 3 k 时，直线 l 为 y k ( x 3) ，
5
5
当 l x轴时，直线 l 的方程为 x 3 ， 5
所以 S MAN 的最大值为 64 .…… 14分 25
3 时， (S MAN )max 64 .
5
25
∴向上的点数之积为 6 的概率为 4 36
1
…… 10 分
9
18.解：（1）由 2a 2 3 ，得 a 3 ，又 c 5 , ∴b2 c 2 a2 2 ,
∴双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 1 . ……４分 32
（ 2）设直线 l 的方程为 y 2x m, A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) .
（2）组成事件“向上的点数之差为 3”的基本事件有（ 1，4），（2，5），（3，6），
（ 6， 3），（5，2），（4，1）共 6 种。
∴向上的点数之差为 3 的概率为 6 36
1 . ……６分
6
（3）组成事件“向上的点数之积为 6”的基本事件有（ 2，3），（3，2），（1，6）， （ 6， 1）共 4 种。
∴恰有一枚一等品的概率 P( N ) P( A1 ) P( A2 ) 8
8
8 . ……６分
30 30 15
（ 2）由于 M 1，M 2 和 M 3 是互斥事件，且 M M1 M2 M3 .
∴ P( M)
P( M1) P( M2) P( M3 )
882 30 30 30
3 . …… 12 分
5
解法二：（1）恰有一枚一等品的概率 P1
0.
2
2
∴ (1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k )( m
2
4)
2km(km 1)
2
1
2
m
0,
k4
k4
化简得
2
5m
2
2km 3k
0 ，解得 m
当 m k 时，（* ）式不成立．
k或m 3k . 5
当m
3 k 时，代入（
* ）式，得
2
k
5，k
5.
5
∴直线 l 的方程为 y
5x 3 5 或 y 5
5x 3 5 . ……７ 分 5
综上所述，直线 l 的方程为 5x y 3 5 0 , 或 5x y 3 5
y 2x m
由 x2 y2 32
，得 10x 2 12mx 3( m2 2) 0 , 1
∴
24(
2
m
10)
0 ，得 m
10 . ……６分
∴弦长 AB
5 24( m2 10 ) 10
4 ，解得 m
210 ,
3
∴直线 l 的方程为 y 2x
210 或 y 2x 3
19.解：（1）设 P
y
2 0
,
y0 ,
（ 2， 1），（2，2），（2，3），（2，4），（ 2， 5），（2，6），
（ 3， 1），（3，2），（3，3），（3，4），（ 3， 5），（3，6），
（ 4， 1），（4，2），（4，3），（4，4），（ 4， 5），（4，6），
（ 5， 1），（5，2），（5，3），（5，4），（ 5， 5），（5，6）， （ 6， 1），（6，2），（6，3），（6，4），（ 6， 5），（6，6） . ……２分
（ 2）( Ⅰ) 当 l x轴时，设 l : x m，
代人椭圆得 y 2 1 m2 .
∵ MN 4 1 m2 2(1 m) ，解得 m 1（舍去）
∴直线 l 方程为 x
3 . ……４分 5
, m或 3 , 5
当 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y kx m.
y kx m
由 x2
2
y
得 (4
PF ,
∴ d1 d 2 d 1 PF ,
9 26
2 它的最小值为点 F 到直线 l 的距离
5
6. 1.
∴ d 1 d 2 min 6. 1 . …… 12 分
20.解法一：把每枚圆珠笔标上号码，一等品分别记作 A ，B ，C，D ，二等品分 别记作 E， F.
依次不放回从盒子中取出 2 枚圆珠笔， 得到的两个标记分别记为 x 和 y，则 （ x，y）表示一次抽取的结果，即基本事件。由于是随机抽取，所以抽取到任何
∴直线 l 过定点 Q( 3 , 0) .…… 10分 5
2
设直线 l 方程为 x my 3 ，代入椭圆 C： y x2 1，
5
4
化简得 ( 1 4
则 y1 y2
2 26
16
m ) y my
5
25
6
m
5 1
， y1y2
2
m
4
0，
16 25 ， …… 11 分 12
m 4
∴ S MAN
18 2 5 y1 y2
事件的概率相等 . 用 M 表示“抽取的 2 枚圆珠笔中有二等品” ， M 1 表示“仅第一次抽取的是
二等品”，M 2 表示“仅第二次抽取的是二等品” ，M3 表示“两次抽取的都是二等 品” .
M1 和 M 2 中的基本事件个数都为 8，M 3 中的基本事件为 2，全部基本事件的 总数为 30.
（ 1）由于 M 1 与 M 2 是互斥事件，记 N M1 M2 .
4m . 4 k2
由 AM
AN ，得 AQ
MN ,则 kAQ k
1，化简得 3km
2
k
4 （* ）．
由 AM AN 得 AM AN (x1 1)( x2 1) y1y2 0 ,
∴ (x1 1)( x2 1) (kx1 m)( kx2 m) 0 ,
化简得 (1
2
k ) x1x2
( km 1)(x1
2
x2 ) 1 m
（ 2）设该等边三角形 OPQ 的顶点 P、Q 在抛物线上， 且 P( x p , y p ) ，Q( x Q , y Q) ，
则
x
2 p
4y
p
，
x
2 Q
4y Q ，
由 OP
OQ，得
x
2 p
y
2 p
x
2 Q
y
2 Q
，即
(
yp
yQ )( y p
yQ
4)
0.
又 y p 0 ， y Q 0 ，则 y p y Q ， x p xQ ，即线段 PQ 关于 y 轴对称 .
……４分
∴ poy 30 ， y p
3x p
，代入
x
2 p
4y p ，得 x p
4 3.
∴该等边三角形边长为 8 3 ， S POQ 48 3 . ……７分
（ 3）设 A( x 1,
y 1 ) ， B( x 2,
y
2
)
，则
x
2 1
4y
1
，
x
2 2
4y 2 ，
12
12
∴ k1k2
y1 1 y2 1
x1 1 x2 1
所以直线 AB恒过定点（ 2, 9 ）． …… 12 分
22. 解：（1）设椭圆 C 为 y2 2
x2
2
1 (a b 0) ，
ab
∵椭圆 C 过点 P(1 , 3) ，且一个焦点为 (0, 3) , 2
a2 ∴3
3 b2, 1
2
解得 a 2
4,
a 2 4b 2 1,
b 1.
2
∴椭圆 C 的标准方程为 y x2 1.……３ 分 4