高考数学一轮复习 阶段检测评估(二)配套练习

【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 阶段检测评估(二)配套练习
(时间:120分钟,满分:150分)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知一扇形的半径为r,周长为3r,则该扇形的圆心角等于 ( ) A.3
π
B.1
C.23
π
D.3
【答案】 B
2.在梯形ABCD 中,AB ∥CD,且|AB|λ=|DC|,设AB =u u u r
a AD ,=u u u r
b ,则AC u u u r 等于( )
A.λa +b
B.a λ+b
C.1λa +b
D.a 1λ
+b
【答案】 C
【解析】 AC AD DC =+=u u u r u u u r u u u r
b 1AB λ+=u u u r b 1λ
+a .故选C. 3.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60circ ,那么|a +3b |等于( )
A.7
B.10
C.13
D.4
【答案】 C
【解析】 ∵|a +3b |2
=|a |2
6+a ⋅b +9|b |2
1611=+⨯⨯⨯cos60°+9=13,
∴|a +3b |13=.
4.若cos(-100°)=k,则tan80°等于( )
A.2
1k - B.2
1k -- C.2
1k k
+ D.2
1k k
-+
【答案】 B
【解析】 ∵cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=k, ∴cos80°=-k.∴sin80°2
2
1()1k k =--=-.
∴tan80°21sin80cos80k k
-︒==-︒.
5.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin ()6t πω+(A>00)ω,≠的图象如图所示,则当150
t =时,电
流强度是… ( )
A.-5安
B.5安
C.53安
D.10安
【答案】 B
【解析】 由图象知11050A T =,=.则2100T
πω==π.
∴I=10sin(100π)6
t π+,
当150
t =时,I=10sin(2π)56
π+=.
6.如图,在四边形ABCD 中,设AB u u u r =a ,AD u u u r
=b , BC uuu r =c ,则DC u u u r 等于( )
A.a -b +c
B.b -(a +c )
C.a +b +c
D.b -a +c 【答案】 A
7. 若O 为△ABC 所在平面内一点,且满足(OB －OC )·(+－2)=0则
△ABC 的形状是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三形 【答案】 B
【解析】设△ABC 中BC 边上的中点为D ,
∵OB －OC =CB , OB +OC －2OA = OB －OA +OC －OA =AB u u u r +AC =2AD u u u r
, 又∵CB ·2AD u u u r
=0,
∴CB ⊥AD .则△ABC 为等腰三角形.
8.已知函数f(x)=sinx-cos x x ,∈R ,则把导函数f′(x)的图象向左平移4
π个单位后得到的函数是( )
A.2y =cosx
B.2y =-cosx
C.2y =
sinx
D.2y =-sinx
【答案】 A
9.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |5=,若(a +b )⋅c =52
,则a 与c 的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【答案】 C
【解析】 由题意知a +b =(-1,-2), 设a +b 与c 的夹角为θ,
∴(a +b )⋅c 52=⇒|a +b ||c |cos 52
θ=.
∴cos 12
θ=.∴60θ=°.
又a +b =(-1,-2)与a =(1,2)共线且方向相反. ∴a 与c 的夹角为120°.
10.已知向量a =(cos 2α,sin )α,b =(1,2sin 1)(4παα-,∈,π),若a ⋅b 25=,则tan ()4
πα+的值为( )
A.13
B.27
C.17
D.23
【答案】 C
【解析】 由a ⋅b 25=,得cos 2α+sin (2αsin 21)5
α-=,
又cos 212α=-sin 2
α,
即1-2sin 22α+sin 2
α-sin 25α=,有sin 35
α=.
若(]42ππα∈,,则sin 235
α>>,
所以(2
πα∈,π),则tan 34α=-.
所以tan 1()47
πα+=,选C.
11.下列各式: ①|a |a a =
⋅;
②(a ⋅b )⋅c =a (⋅b ⋅c );
③OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r ;
④在任意四边形ABCD 中,M 为AD 的中点,N 为BC 的中点,则2AB DC MN +=u u u r u u u r u u u u r
;
⑤a =(cos α,sin )α,b =(cos β,sin )β,且a 与b 不共线,则(a +b )
(⊥a -b ).
其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3
D.4
【答案】 D
【解析】 |a |=a a ⋅正确; (a ⋅b )⋅c ≠a (⋅b ⋅c );
OA OB BA -=u u u r u u u r u u u r
正确;
如图所示,
MN MD DC CN =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 且MN MA AB BN =++,u u u u r u u u r u u u r u u u r 两式相加可得2MN AB DC =+,u u u u r u u u r u u u r
即命题④正确;
∵a ,b 不共线,且|a |=|b |=1,
∴a +b ,a -b 为菱形的两条对角线,即得(a +b )⊥(a -b ).
∴命题①③④⑤正确.
12.设a 12()a a =,,b 12()b b =,.定义一种向量积:a ⊗b 12121122()()()a a b b a b a b =,⊗,=,.已知
m 1(2)2
=,,n (0)3
π=,,点P(x,y)在y=sinx 的图象上运动,点Q 在y=f(x)的图象上运动,满足
OQ =u u u r
m OP ⊗+u u u r n (其中O 为坐标原点),则y=f(x)的最大值A 及最小正周期T 分别为 ( )
A.2π,
B.24π,
C.142
π,
D.12
π,
【答案】 C
【解析】 设0000()()()Q x y OQ x y OP x y ,,=,,=,,u u u r u u u r
∵OQ =u u u r
m OP ⊗+u u u r n ,
∴00111()(2)()(0)(2)(0)(2)232332
x y x y x y x y πππ,=,⊗,+,=,+,=+,,
∴ 002312
x x y y π⎧=+,⎪⎨⎪=,
⎩
∴ 001262x x y y π⎧=-,⎪⎨⎪=.
⎩
代入y=sinx 中,得02y =sin 1()026
x π-,
∴y=f(x)的最大值为12
,周期为4π,选C.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 13.函数y=tan 3(2)4
x π-的单调区间是 .
【答案】 5()(2828
k k k ππππ+,+∈Z )
【解析】 y=-tan 3(2)4
x π-,
由k π3224x k ππ-<-<π(2
k π+∈Z ),
得5(2828
k k x k ππππ+<<+∈Z ).
14.化简(tan10°cos103)sin50︒-⋅=︒
.
【答案】 -2
【解析】 原式sin10cos10(3)cos10sin50︒︒=-⋅︒︒
sin103cos102sin502sin50sin50︒-︒-︒===-︒︒
.
15.向量a 、b 满足(a -b )(2⋅a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 夹角的余弦值等于 . 【答案】 12
-
【解析】 设a 与b 的夹角为θ. 由(a -b )(2⋅a +b )=-4,
得2|a |2
-a ⋅b -|b |2
4=-,
2|a |2-|a ||b |cos θ-|b |2
4=-.
又∵|a |=2,|b |=4,∴cos 12
θ=-.
16.(2012山东济南质检)在△ABC 中3290AB BC A ,=,=,∠=°,如果不等式|BA tBC -u u u r u u u r |≥|AC u u u r
|恒成立,
则实数t 的取值范围是 . 【答案】 1(][1)2
-∞,⋃,+∞
【解析】 由3290AB BC A =,=,∠=°可知30B ∠=°,
则由题意知|BA u u u r |22t +|BC uuu
r |22tBA BC -⋅≥u u u r u u u r |AC u u u r |2,
即2
4620t t -+≥,解得1t ≥或12
t ≤.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,设向量m =(a,b),n =(sinB,sinA),p =(b-2,a-2). (1)若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形;
(2)若m p ⊥,边长c=2,角3
C π=,求△ABC 的面积.
【解】 (1)证明:∵m ∥n ,∴asinA=bsinB, 即22a b a b R R
⋅=⋅,
其中R 是△ABC 外接圆半径,∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)由题意可知m p ⋅=0, 即a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab.
由余弦定理可知2
2
2
4()3a b ab a b ab =+-=+-, 即2
()340ab ab --=, ∴ab=4(舍去ab=-1).
∴△ABC 的面积12S ab =sin 142C =⋅⋅sin 33
π=.
18.(本小题满分12分)已知向量a 3=cosx,cosx),b =(0,sinx),c =(sinx,cosx),d =(sinx,sinx). (1)当4
x π=时,求向量a 、b 的夹角;
(2)当[0]2
x π∈,时,求c d ⋅的最大值.
【解】 (1)∵4
x π=,∴a 62(
=,b 2(0=,
则a ⋅b 6221(
(02
=⋅=,
cos<a , b >12
12
2
22
a b a b ⋅==
=||||
⋅. ∴向量a ,b 的夹角为3
π.
(2)⋅c d =(sinx,cos )(x ⋅sinx,sinx)=sin 2
x +sinxcosx
1cos2x sin2x 22-=+
11(22
=+sin2x-cos2x) 2122
=+sin (2)4x π-.
∵[0]2x π∈,,∴32444
x πππ-≤-≤.
当242x ππ-=,即38
x π=时,c d ⋅取最大值
212
+. 19.(本小题满分12分)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且5AB AD ⋅=,u u u r u u u r |AD u u u r |2
10=.
(1)求D 点的坐标;
(2)用AB AD ,u u u r u u u r
表示AC u u u r .
【解】 (1)设D(x,y),则(12)(1)AB AD x y =,,=+,u u u r u u u r
. ∴12AB AD x y ⋅=++=u u u r u u u r
5, ①
|AD u u u r |2
22
(1)10x y =++=. ②
联立①②,解得 23x y =-,
⎧⎨
=,
⎩ 或 21x y =,⎧⎨=.⎩
∴D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)当D 点的坐标为(-2,3)时(12)(13)(21)AB AD AC ,=,,=-,,=-,,u u u r u u u r u u u r
设AC mAB nAD =+,u u u r u u u r u u u r
则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).
∴ 2123m n m n -=-,⎧⎨=+.⎩
∴ 11m n =-,
⎧⎨
=.
⎩
∴AC AB AD =-+u u u r u u u r u u u r .
当D 点的坐标为(2,1)时,设AC p AB q AD =+,u u u r u u u r u u u r
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
∴ 2312p q p q -=+,⎧⎨=+.⎩
∴ 11p q =,
⎧⎨
=-,
⎩
∴AC AB AD =-u u u r u u u r u u u r .
∴当D 点的坐标为(-2,3)时AC AB AD ,=-+u u u r u u u r u u u r
; 当D 点的坐标为(2,1)时AC AB AD ,=-u u u r u u u r u u u r
.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosxsin ()33
x π+-sin 2
x +sinxcosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的最大值及最小值; (3)写出f(x)的单调递增区间.
【解】 f(x)=2cos 1(2x sin 32x +
cos 3)(12
x --cos2x)+12sin2x
12=sin 23x +233x cos 122x +sin2x =sin 23x (2)3
x π+.
(1)函数f(x)的最小正周期22
T π==π.
(2)当sin (2)13
x π+=,
即223x k π+=π(2k π+∈Z ),x=k π(12
k π+∈Z )时,f(x)有最大值2;
当sin (2)13x π+=-,即223x k π+=π(2k π-∈Z ),x=k π-5(12
k π∈Z )时,f(x)有最小值-2.
(3)由2k π2223x k ππ-≤+≤π(2
k π+∈Z ),
解得k π512x k π-≤≤π12
k π+,∈Z .
∴f(x)的单调递增区间是[k π512k π-,π]12
k π+,∈Z .
21.(本小题满分12分)已知O 为坐标原点,向量(OA =u u u r sin 1)(OB α,,=u u u r cos 0)(OC α,,=-u u u r
sin 2)α,,点P 满足
AB BP =u u u r u u u r .
(1)记函数()()82
f PB CA ππαα=⋅,∈-,,u u u r u u u r
讨论函数()f α的单调性,并求其值域;
(2)若O,P,C 三点共线,求|OA OB +u u u r u u u r
|的值. 【解】 (1)(AB =u u u r
cos α-sin 1)α,-, 设()OP x y =,,u u u r
则
(BP x =-u u u r cos )y α,. 由AB BP =u u u r u u u r
得x=2cos α-sin 1y α,=-, 故(2OP =u u u r
cos α-sin 1)α,-.
(PB =u u u r sin α-cos 1)(2CA α,,=u u u r
sin 1)α,-, ()(f PB CA α=⋅=u u u r u u u r
sin α-cos 1)(2α,⋅sin 1)α,-
2= sin 22α-sin αcos 1α-
(=-sin 2α+cos 2)α
=(2)4
πα+,
又()82ππα∈-,,故50244
ππα<+<.
当024
2ππα<+≤,即88
ππα-<≤时()f α,单调递减;
当52244πππα<+<,即82
ππα<<时()f α,单调递增.
故函数()f α的单调递增区间为()82ππ,,单调递减区间为(]88
ππ-,,
因为sin (2)(1]4
πα+∈,
故函数()f α的值域为[1).
(2)(2OP =u u u r cos α-sin 1)(OC α,-,=-u u u r
sin 2)α,,
由O,P,C 三点共线可得(1)(-⨯-sin )2(2α=⨯cos α-sin )α, 得tan 43
α=,sin2α2sin cos 2tan 2422225
sin cos 1tan αααααα=
==++.
|OA OB +u u u r u u u r |2
74(sin cos )12sin2ααα=++=+=
. 22.(本小题满分10分)已知函数f(x)=asinx+bcosx 的图象经过点(0)3π,和(1)2
π,.
(1)求实数a 和b 的值;
(2)当x 为何值时,f(x)取得最大值?
【解】 (1)依题意,有 31()0322()12
f a b f a ππ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩ 13a b ⇒=,=-.
(2)由(1)知f(x)=sin 3x -cosx=2sin ()3
x π-.
因此,当23x k π-=π(2k π+∈Z ),即x=2k π+5(6
k π∈Z )时,f(x)取得最大值2.。