高三数学专题复习题七：数学思想与方法

专题七：数学思想与方法

第一课时：函数、方程思想 备考要点：

1.函数思想指用函数的概念和性质去分析和解决问题,具体表现在：通过函数性质解题，用映射和函数观点去观察和分析问题，对解不等式或讨论方程解的个数，以及求参数的范围，可通过构造函数的方法运用函数性质求解。

2.方程思想指运用变量间相等关系，建立方程（或方程组）后解答问题，如：将函数与方程间等价转化，通过等价转化后问题的解决来达到问题本身的解决。

3.函数思想与方法是密切相关的，如：函数问题中的求反函数，求函数的值域等可转化为方程问题解决，而方程问题也可用函数观点处理，如f(x)=0的根就是函数y=f(x)的零点，即y=f(x)与x 轴的图象交点的横坐标。 典例分析：

1．（1）已知关于x 的方程22

2cos 0x x a -+=有唯一解，求a 的值；

(2)解不等式x(1+22

2)(1)(1(1)2x x x ++++++)>0.

2.已知f(x)=lg

2x ax b +,且f(1)=0,当x>0时，总有1

()()lg f x f x x

-=。 (1)求f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)=lg(m+x)的解集为∅，求实数m 的取值范围。

3.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左顶点为A(-1,0),过点A 作两直线交双曲线右

支于1122(,),(,)B x y C x y 两点，且ABC 为正三角形。

(1) 求证：B,C 两点关于x 轴对称； (2) 设12x >，求b 的取值范围。

课堂练习：

1．关于x 的方程222

(1)10x x k ---+=,给出下列四个命题：

（1） 存在实数k,使得方程恰有2个实根； （2） 存在实数k,使得方程恰有4个实根； （3） 存在实数k,使得方程恰有5个实根； （4） 存在实数k,使得方程恰有8个实根。 其中假命题的个数是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.4 2.已知函数f(x)=2(1)()x m x m m R -++∈.

（1）若tanA,tanB 是方程f(x)+4=0的两个实根，A 、B 为锐角三角形的两内角，求证：

m ≥5;

（2）对任意实数α，恒有f(2+cos α)≤0,证明m ≥3;

（3）在（2）的条件下，若函数f(sin α)的最大值是8，求m.

规律总结：

1．构造函数建模的实际问题，应准确恰当选取变量，注意变量的实际背景，对于通过建立背景函数后讨论其性质解答的数学综合问题，，关键是据问题的背景找到适当的模型函数（能用中学方法讨论性质的函数），然后再运用函数方法求解。

2．函数、方程、不等式是一个有机体，在运用函数与方程思想研究这些对象时，要善于根据具体问题抽象、提炼其本质，利用一般规律处之。

第二课时：分类与整合思想 备考要点：

1.分类讨论的原因：很多数学问题由于涉及的范围的综合性，受到多种条件的交叉制约，形成复杂局面，不能从整体上解决，这时可从“分割”入手，各个击破，达到整体解决的目的，

2.分类讨论的标准和原则：由分类原因，对讨论对象确定一个统一标准进行分类，其原则是不重复且不遗漏，分层次但不越级讨论。 典例分析：

1． 设2

()21f x x x =--在区间[,1]t t +上的最小值为()g t 。 （1）求()g t ，并画出()g t 的图象

（2）求函数()()(1)F x xg x x =>的单调区间。

2． 定义函数()(1)1n n f x x =+-，x>-2,n N +∈,其导函数记为()n f x '。 （1）求证：()n f x nx ≥；

（2）设01

10()(1)

(1)()n n n n f x f f f x ++'='，求证：0<0x <1； (3)是否存在区间[](],,0a b ⊆-∞，使函数h(x)=32()()f x f x -区间[],a b 上的值域为

[],ka kb ？若存在，求出最小的k 值及相应的区间[],a b 。

课堂练习： 1.函数f(x)=

19

1

n x n =-∑的最小值为（ ）

A.190

B.171

C.90

D.45 2.已知函数3

2

3()31f x ax x a

=-+-

. （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若曲线y=f(x)上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.

规律总结：

1.认真审题，有的分类讨论使显性的，有的分类讨论是隐性的，后者是在问题深入研究中发现的。分类讨论一方面抓住分类各个击破，另一方面还须把分类讨论结果进行整合，形成规律性的结果。

1． 分类讨论是运用逻辑划分的数学思想解题，它不同于配方法、待定系数法等数学方法，操作时没有固定模式，须要在解题中不断总结规律，它需要较高的数学素养才能科学地进行分类整合。

第三课时：数形结合思想 备考要点：

1． 会用函数的图象解决有关问题，如解方程、不等式等； 2． 掌握三角函数的图象特征及三角函数几何定义的应用； 3． 掌握简单的线性规划解决实际问题；

4． 掌握圆锥曲线及其几何量的图形特征与方程或定义的内在联系的应用。 典例分析：

1． 已知函数f(x)=3

31x ax +-,g(x)=()5f x ax '--,其中()f x '是f(x)的导函数。 （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有g(x)<0,求实数x 的取值范围；

（2）设a=2

m -,当实数m 在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个

公共点。

2． 求所有的实数a ，使关于x 的不等式1x ax -<的解集中，恰有两个整数。

3．已知函数2

()2f u u au b =++-，其中1

()u x x R x

=+

∈，若方程()0f u =至少有一实根，,a b R ∈求22

a b +的最小值。

课堂练习：

1．记[]x 表示不超过x 的最大整数，则y=[]x 的图象与y=x －1的图象的交点个数为 . 2．在四面体ABCD 内部有一点O,使得直线AO 、BO 、CO 、DO 与四面体的面BCD 、CDA 、DAB 、ABC 分别交于1111,,,A B C D 四点，且满足1111AO BO CO DO

k A O B O C O D O

====，

求k 的所有可能的值。