辅助角公式专题五星级训练100题(详细答案word版)

辅助角公式(也称收缩公式，化一公式)
专项五星级训练题100道
3．(***)将函数f (x )＝
32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos 2⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g (x )的图像关于x ＝π
6
对称，则φ的最小值为( )
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．5π6
4．(***)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 满足f ⎝⎛⎭⎫π 5＝f ⎝⎛⎭
⎫2π
15，则实数a 的值为( )
A ． 3
B ．33
C ．－ 3
D ．－3
3
5．(***)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a 2－3sin x ＋
⎝⎛⎭
⎫3a 2＋1cos x ．将f (x )的图象向右平移π 3个长度单位得到函
数g (x ) 的图象，若对任意x ∈R ，都有g (x )≤⎪⎪⎪⎪g ⎝⎛⎭⎫π
4成立，则a 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
6．(****)设函数f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0＜φ＜π )的图象的一条对称轴是x ＝1，则sin(2φ)＝
( )
A ．－45
B ．－35
C ．45
D ．3
5
7．(****)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)，若函数f (x )在⎝⎛⎭
⎫π
2，π上单调递减，则实数ω
的取值范围是( )
A ．⎣⎡⎦⎤13，32
B ．⎣⎡⎦⎤13，23
C ．⎝⎛⎦⎤0，13
D ．⎝⎛⎦⎤0，23
8．(*****)若α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π
3，则cos(α＋β)＋2cos(α－β)的最小值为( )
A ．－32
B ．32
C ．12
D ．－1
2
12.若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为3π
4，则正数
ω的值是( )
A .13
B . 23
C . 4
3 D .32
13. (****)函数f (x )＝2cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )－1在区间⎝⎛⎭
⎫π3，2π
3上是单调函数，则正数ω的取值范
围( )
A ．0＜ω≤12
B ．0＜ω≤2
C ．0＜ω≤14或12≤ω≤1
D ．1
4＜ω≤2
14. (****)已知函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω＞0)在(0，1)内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω
的取值范围是( )
A ．⎝⎛⎦⎤103，236
B ．⎣⎡⎭⎫103，133
C ．⎝⎛⎦⎤176，133
D ．⎝⎛⎦
⎤176，23
6
15．(****)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →
＋
μAD →
则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．2 2
C ． 5
D ．2
二、填空题：
16．(*)把3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π
6化为A sin(α＋β)(A ＞0)的形式 ＝________________ .
17．(****)函数y ＝3cos x ＋4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π 6，π
3的值域为_____________．
18．(***)已知α为锐角，cos α＝cos10°
cos10°＋3sin10°
，则α＝_________．
19．(***)已知方程2sin x ＋cos x ＝c 在(0，π )上有两个根α和β，则sin(α＋β)＝__________． 20．(***)①设x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________． 21．(***)已知sin10°＋m cos10°＝2cos140°，则m ＝__________．
22．(***)函数f (x )＝3sin x ＋4cos x ，若直线x ＝θ是曲线y ＝f (x )的一条对称轴，则cos2θ＋sin θcos θ＝
________．
23．(***)如果函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π
8对称，那么a ＝____________．
24．(**)设φ＞0，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)为偶函数，则φ的最小值为_______． 25．(****)已知函数f (x )＝a sin x ＋3cos x 的图象关于直线x ＝
7π 6对称，则函数g (x )＝f (x )－75
在⎣⎡⎦
⎤－π 2，7π 2上的所有零点之和为_________．
27. (****)函数y ＝x ＋1＋4－2x 的最大值为__________.
28. (****)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值为_______.
29. (***)已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为_
_______.
30．(***) (2009年安徽高考理科试卷第14题)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →
，它们的夹角为
120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC →＝xOA →＋yOB →
，其中x ，y ∈R ,则x ＋y 的最大值是＝________．
三、解答题：
32．(*)试将以下各式化为A sin(α＋β)(A ＞0)的形式.
(1)
32sin α－1
2
cos α (2) sin α＋cos α (3)2sin α＋6cos α (4)3sin α－4cos α
33．(**)试将以下各式化为A sin(α＋β)(A ＞0，β∈[－π，π])的形式.
(1) sin α－cos α (2) cos α－sin α (3) －3sin α－cos α (4) 6(sin θ ＋cos θ )＋2(sin θ －cos θ )
34．(***)若sin(x ＋50°)＋cos(x ＋20°)＝3，且0≤x ＜360°，求角x 的值.
35．(***)若3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝23，且 －π
2＜x ＜0，求sin x －cos x 的值.
36. (**)关于x 的方程2sin x ＋5cos x ＝1
k 有解，求实数k 的取值范围.
37. (**)已知sin x －3cos x ＝4m －6
4－m
，求实数m 的取值范围.
38． (****)y ＝2sin x ＋3cos x 是由y ＝sin x ＋a cos x (a ＞0)右移φ(φ＞0)个单位得到的，求sin φ．
39．(***)已知正实数a ，b 满足a sin π 5＋b cos
π 5a cos π 5－b sin
π 5＝tan 8π 15，求b
a 的值．
40． (***)1cos290°＋1
3sin250°
41. (***)3tan12°－3
sin12°·(4cos 212°－2)
42. (***)cos10°
tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°
43．(***)利用辅助角公式化简：sin80°
cos50°
•()
1＋3tan10°
47．(****)cos40°＋sin50°(1＋3tan10°)
sin70°1＋cos40°
．
48．(****) [2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°．
49．(****)求2sin130°＋sin100°(1＋3tan10°)
1＋cos10°
的值.
50．(***)求f(x)＝2－cos x
2＋sin x
的值域．
51．(****)解方程：1＋x2
x＋1＋x
2＝22.
52．(***)当0＜x＜π
2时，函数
f(x)＝
1＋cos2x＋8sin2x
sin2x的最小值是多少？
53．(***)求y ＝cos2x
cos x ＋sin x ＋sin2x 的值域．
54．(***)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6＋3cos x 的最小值是多少？
55．(***)求函数y ＝3sin(x ＋10°)＋5sin(x ＋70°)的最大值．
56．(***)已知函数f (x )＝
34sin x －14cos x ．(1)若cos x ＝－513，x ∈⎣⎡⎦
⎤π
2，π，求f (x )的值；(2)将函数f (x )的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0＜m ＜π，求m 的值.
57. (***)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图像过点⎝⎛⎭⎫π6，1
2．
(1)求的φ值；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数y
＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
4上的最值.
58．(***)已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3
2
.(1)求函数f (x )的最小正周期及取得最大值时x 的取值集
合；(2)求函数f (x )图像的对称轴方程.
59．(***)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －
32，且f (0)＝32，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1
2
．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
60．(***)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋2π3＋2cos 2x
2，x ∈R ．(1)求f (x )的值域；(2)求函数f (x )图像的对称中心坐
标.
61．(***)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4.(1)求函数f (x )的最小正周期和对称轴方程；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π
2上的值域.
62．(***)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭
⎫π3－x ，g (x )＝12sin2x －1
4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )
＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．
63．(****)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π
8x ＋1，若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，
求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，4
3时，函数y ＝g (x )的最大值．
64．(***)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤π4，π
2．(I)求f (x )的最大值和最小值； (II)若不等
式|f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π
2上恒成立，求实数m 的取值范围．
65．
66．(***)求函数y ＝x ＋4＋5－x 2 的最大值和最小值.
67．(***)已知x 2－2x ＋y 2＋4y ＝0，求x －2y 的取值范围.
68．(***)已知函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[－1，1]，且2a 2＋6b 2＝3，求证：|f (x )|≤2.
69．(****)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0 ，求证：23≤x 2＋y 2＋3≤213.
70．(****)解方程22x 2＋x －1－x 2－2＝0.
71．(***)由沿河城市A 运货到城市B ，B 离河岸最近点C 为30km ，C 和A 的距离为40km ,如果每公
里运费水路比公路便宜一半，如图，计划沿BD 修一条公路，则A 、D 之间距离为多少时，运费最低？
72. (****)如图1，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线
段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0，x ∈[0，4])的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为拆线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A 、ω的值和M 、P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使拆线段MNP 最长？
73．(****)如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为π
4
，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP
＝θ，(1) 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；(2)求矩形PQRS 的面积y 的最大值．
74．(****)如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行
于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．
75．(****)如图，现在要在一块半径为1 m ，圆心角为60°的扇形纸板AOB 上剪出一个平行四边形
MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式；(2)求S 的最大值及相应θ的值．
76．(****)半圆O 的半径为1，A 为直径延长线上一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，在△ABC 中
AB ＝AC ，设∠AOB ＝θ，求线段OC 长度的最大值，并指出此时θ的值.
77．(***)当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，求cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫θ－π4的值．
78．(***)已知tan19x °＝
cos99°＋sin99°
cos99°－sin99°
，求x °.
79．(***)已知函数f (x )＝22sin x 2cos x 2＋22cos 2x
2
－2，若方程f (ωx )＝3(ω＞0)在区间[0，π]上至少
有两个不同的解，求实数ω的取值范围．
80．(****)已知在△ABC 中，a 2－ab ＋b 2＋2c 2＝8，求△ABC 面积的最大值．
81．(*****)已知△ABC 中，锐角A 、B 满足sin 2A ＋sin 2B ＝sin 3(A ＋B )，求证：A ＋B ＝π
2
．
82.(*****)已知a ，b ，A ，B ∈R ，若对于一切实数x ，都有f (x )＝1－a cos x －b sin x －A cos2x －B sin2x ≥0.
求证：a 2＋b 2≤2，A 2＋B 2≤1.
83. (****)(1995年全国高考试题)若a ，b ∈R ，A ＝{}(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z ，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，
y ＝3m 2＋15，m ∈Z }，C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤144}是平面xoy 内的点集.讨论是否存在a ，b ，使得：(1)A ∩B ≠ø，(2)(a ，b )∈C 能同时成立？
84. (****)求证：已知△ABC 三边长为a ，b ，c ，面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S (威森伯克不等式)． 89. (****)已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252．
92．(****)已知a 、b 是不同时为0的实数，且a sin x ＋b cos x ＝0，A sin2x ＋B cos2x ＝C ，求证：2abA ＋
(b 2－a 2)B ＋(a 2＋b 2)C ＝0．
93. (***)(2020·全国2卷文17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2⎝⎛⎭
⎫π
2＋A ＋cos A
＝54
. (1)若a ＝3，求△ABC 周长的取值范围； (2).若a ＝3，求2b ＋c 的最大值. (3) 若a ＝3，求bc 的取值范围.
94．(****)求f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．
95. (***)若关于x 的方程3＋2sin x ＋cos x
1＋2sin x ＋3cos x
＝k 恒有实数解，求实数k 的取值范围．
96. (***)设θ为锐角，求y ＝(1＋3)sin2θ＋(1－3)cos2θ的最大值及此时θ的值.
97. (**)求函数y ＝2sin x －3
3cos x －4的最大值与最小值.
98. (***)若α、β为方程a cos x ＋b sin x ＝c (a 2＋b 2≠0)在区间(0，π)上的两个相异根，求证：sin(α＋β)
＝2ab a 2＋b
2.
99. (***)求函数y ＝sin3x sin 3x ＋cos3x cos 3x
cos 22x
＋sin2x 的最小值.
100. (****)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：x＋y＋z≤3.
∴a ＜a 2
＜a 2＋b 22＜b 2
＜b
选A
3．解析：f (x )＝
32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋cos 2⎝⎛⎭
⎫x ＋π6 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝
32sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π6＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋12＝cos2x ＋12
∴ g (x )＝cos(2x －2φ)＋1
2
∵此函数的图像关于x ＝π
6对称
∴ 2×π
6－2φ＝kπ (k ∈Z )
∴ φ＝π6－1
2k π (k ∈Z )且φ＞0
∴ 当k ＝0时，φ＝π
6最小
选A
4．解析：依题意，函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的对称轴为x ＝π
6
∴函数f (x )在x ＝π
6
时取得最值
又f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，其最值为±1＋a 2 ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋a cos ⎝⎛⎭
⎫π
6＝±1＋a 2
即 12＋3
2a ＝±1＋a 2 解得a ＝ 3 选A
5．解析：函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a 2－3sin x ＋
⎝⎛⎭
⎫3a 2＋1cos x ＝12a sin x ＋32a cos x ＋(cos x －3sin x )
＝a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
3
＝a 2＋4·sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3＋φ
式中的辅助角φ满足sin φ＝
2a 2＋4，cos φ＝a
a 2＋4
依题意，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝a sin x ＋2cos x ＝a 2＋4·sin(x ＋φ)且π
4为g (x )的最值点
∴ a sin π4＋2cos π
4＝±a 2＋4
a •
22＋2×2
2
＝±a 2＋4 解得a ＝2 选D
6．解析：f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ＋θ )，其中sin θ＝－
25，cos θ＝1
5
已知f (x )的图象的一条对称轴是x ＝1⇒π＋φ＋θ＝k π＋π2⇒φ＝k π－π
2
－θ
sin(2φ)＝sin(2k π－π－2θ )＝sin2θ＝2sin θcos θ
＝2×
⎝
⎛⎭⎫－25×15
＝－4
5
选A
7．解析：函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)
＝32sin2ω＋1
2(1＋cos2ωx ) ＝
32sin2ω＋12cos2ωx ＋12
＝sin ＋12
由函数f (x )在⎝⎛⎭
⎫π
2，π上单调递减
且2ωx ＋π6∈⎝⎛⎭
⎫ωπ＋π6，2ωπ＋π
6
得⎩
⎨⎧ωx ＋π6≥π
2＋2kπ
2ωπ＋π6≤3π2
＋2k π
(k ∈Z )⇒13＋2k ≤ω≤2
3
＋k (k ∈Z ) 又因为12×2π2ω≥π－π
2(ω＞0)⇒所以k ＝0
所以实数ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，23
选B
8．解析：cos(α＋β)＋2cos(α－β)
＝3cos αcos β＋sin αsin β ＝9cos 2α＋sin 2αsin(β＋φ) ＝8cos 2α＋1sin(β＋φ)
其中辅助角φ满足sin φ＝
3cos α1＋8cos 2α，cos φ＝sin α
1＋8cos 2α
∵ α∈⎣⎡⎦⎤0，π
3⇒tan α∈[0，3]
∴tan φ＝3cos αsin α＝3
tan α∈[)3，＋∞ ∴φ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2
又β∈⎣⎡⎦
⎤0，π
3
∴β＋φ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6 ⇒ sin(β＋φ)∈⎣⎡⎦⎤1
2，1
由α∈⎣⎡⎦⎤0，π
3⇒8cos 2α＋1的最小值为3
∴8cos 2α＋1•sin(β＋φ)的最小值为
32 即cos(α＋β)＋2cos(α－β)的最小值为32
选B
∴
S a 2＋4bc
的最大值为2
16
故选A
∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z )，当k ＝－1时，φ＝－π
4
．选B ．
12．解析：f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π
3
∵f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为3π
4
选B
13．解析：f (x )＝2cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )－1
＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1 ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π
6
由π3＜x ＜2π3，ω＞0，得2ωπ3＋π6＜2ωx ＋π6＜4ωπ3＋π
6 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上递增
所以⎩
⎨⎧4ωπ3＋π6≤π
22ωπ3＋π6≥－π2
⇒0＜ω≤1
4
又y ＝sin x 在⎝⎛⎭
⎫π2，3π
2上递减
所以⎩⎨⎧4ωπ3＋π6≤3π
22ωπ3＋π6≥π2
⇒解得12
≤ω≤1
综上，所述正数ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，14∪⎣⎡⎦⎤1
2，1
故选C
14．解析：f (x )＝sin πωx －3cos πωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫πωx －π
3
∵x ∈(0，1)
∴πωx －π3∈⎝⎛⎭
⎫－π3，ωπ－π
3
又∵函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω＞0)在(0，1)内恰有3个最值点和4个零点 由图像得3π＜πωx －π3≤7π2⇒103＜ω≤23
6
∴实数ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤103，23
6
故选A
15．解析：建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2，1)
设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ∵ CD ＝1，BC ＝2
∴ BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC •CD BD ＝25
＝25
5
∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4
5
设P (x 0
，y 0
)，则⎩⎨⎧x 0
＝2＋255cos θy 0
＝1＋25
5
sinθ(θ为参数)，而AP →＝(x 0
，y 0
)，AB →＝(0，1)，AD →
＝(2，0)
∵AP →＝λAB →＋μAD →
＝λ(0，1)＋μ(2，0)＝(2μ，λ) ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ
两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55
cos θ
＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中sin φ＝
55，cos φ＝25
5
) 当且仅当θ＝π
2＋2kπ－φ(k ∈Z )时，λ＋μ取得最大值3
故选A
16．解析：3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－3cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6
＝23⎣⎡⎦⎤1
2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－32sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6
＝23sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6－π
3
＝23sin ⎝⎛⎭
⎫α－π
6
17．解析：y ＝3cos x ＋4sin x ＝5sin(x ＋φ)，其中cos φ＝45，sin φ＝3
5
∴π6＜φ＜π
3
∴π3＜π6＋φ＜x ＋φ＜π3＋φ＜2π3
∴1≥sin(x ＋φ)≥sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝sin π6cos φ＋cos π6sin φ＝12×45＋32×35＝4＋3310
∴所求值域为⎣⎢
⎡⎦⎥
⎤
4＋3310，1
18．解析：cos10°
cos10°＋3sin10°
＝cos10°2⎝⎛⎭
⎫12cos10°＋32sin10°
＝sin80°2sin40° ＝2sin40°cos40°2sin40°
＝cos40° ＝cos α ∵α为锐角 ∴α＝40°
19．解析： 2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中sin φ＝
15，cos φ＝2
5
依题意，5sin(α＋φ)＝5sin(β＋φ)
∴α＋φ＝π－β－φ ∴α＋β＝π－2φ
∴sin(α＋β)＝sin(π－2φ)＝sin2φ＝2sin φcos φ＝2×15×25＝45
20．解析：f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中φ由sin φ＝
25，cos φ＝1
5 确定 ∵x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值
∴f (θ)＝5sin(θ＋φ)＝5⇒sin(θ＋φ)＝1⇒θ＋φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )
∴θ＝2k π＋π
2
－φ
∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝25＝25
5
21．解析：sin10°＋m cos10°
＝1＋m 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫11＋m 2sin10°＋m 1＋m 2
cos10° 设sin φ＝
11＋m 2，cos φ＝m
1＋m 2
则sin10°＋m cos10° ＝1＋m 2⎝
⎛⎭
⎪⎫11＋m 2sin10°＋m 1＋m 2
cos10° ＝1＋m 2(cos φcos10°＋sin φsin10°) ＝1＋m 2cos(φ－10°)＝2cos140° ∴φ－10°＝140°⇒φ＝150°
其中φ由sin φ＝11＋m 2＞0和cos φ＝m
1＋m
2
＜0共同确定 ∴m ＜0
∴1＋m 2＝2⇒m ＝－ 3
22．解析：f (x )＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，其中φ由sin φ＝45，cos φ＝3
5
共同确定
∵直线x ＝θ是曲线y ＝f (x )的一条对称轴 ∴θ＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )
∴θ＝k π＋π
2－φ⇒2θ＝2k π＋π－2φ
∴cos2θ＋sin θcos θ
＝cos(2k π＋π－2φ)＋1
2sin(2k π＋π－2φ)
＝－cos2φ＋1
2sin2φ＝2sin 2φ－1＋sin φcos φ
＝2⎝⎛⎭⎫452 －1＋45×35
＝
1925
23．解析：f (x )＝sin2x ＋a cos2x ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)，φ为辅助角
∵函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－π
8对称
∴函数f (x )在x ＝－π
8
时取得最值
∴sin2×
⎝⎛⎭⎫－π8＋a cos2×⎝⎛⎭
⎫－π8＝1＋a 2⇒－22＋22a ＝1＋a 2⇒a ＝1
24．解析：f (x )＝sin(2x ＋φ)－3cos(2x ＋φ)
＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋φ－π
3
∵f (x )为偶函数
∴φ－π3＝k π＋π2⇒φ＝k π＋5π
6(k ∈Z )
∴φmin ＝
5π
6
25．解析：f (x )＝a sin x ＋3cos x ＝a 2＋3sin(x ＋φ)
式中辅助角φ满足sin φ＝
3a 2＋3，cos φ＝a a 2＋3
∵函数f (x )的图象关于直线x ＝7π
6对称
∴函数f (x )在x ＝7π
6处取得最值
∴f ⎝⎛⎭⎫7π6＝a sin 7π6＋3cos 7π
6＝±a 2＋3
即－12a －3
2＝±a 2＋3，解得a ＝1
∴sin φ＝
3a 2＋3＝32，cos φ＝a a 2＋3＝12
，可以取φ＝π3
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，g (x )＝f (x )－75＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－7
5
x ∈⎣⎡⎦⎤－π 2，7π 2⇒t ＝∈⎣⎡⎦⎤
－π 6
，23π 6
易知方程2sin t ＝75在⎣⎡⎦⎤
－π 6，23π 6上共有4个根，从小到大依次为t 1，t 2，t 3，t 4
易知t 1＋t 2＝π，t 3＋t 4＝5π ∴t 1＋t 2＋t 3＋t 4＝6π
∴x 1＋π3＋x 2＋π3＋x 3＋π3＋x 4＋π
3＝6π
∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝6π－4π3＝14π3
即函数g (x )＝f (x )－75在⎣⎡⎦⎤－π 2，7π 2上的所有零点之和为14π
3
27．解析：∵(2·x ＋1)2＋(4－2x )2＝6
∴设2·x ＋1＝6sin θ，4－2x ＝6cos θ
y ＝3sin θ＋6cos θ＝3sin ()θ＋φ≤3，式中φ由tan φ＝2且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2确定
∴函数y ＝x ＋1＋4－2x 的最大值为3
28．解析：则4x 2＋y 2＋xy ＝1⇒154x 2＋14x 2＋xy ＋y 2＝1⇒
⎝⎛⎭⎫152x 2 ＋⎝⎛⎭⎫12
x ＋y 2 ＝1
∴设
152x ＝sin θ，1
2x ＋y ＝cos θ 则x ＝
215sin θ，y ＝cos θ－1
15
sin θ ∴2x ＋y ＝415sin θ＋cos θ－115sin θ ＝3
15
sin θ＋cos θ ＝2615⎝⎛⎭⎫64
sin θ＋104cos θ
＝2
615
sin(θ＋φ)≤2105(式中tan φ＝15
3，且可取φ为锐角)
即2x ＋y 的最大值为210
5
29．解析：f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]＝a ＋1·sin[(1－a )x ＋φ]
依题意，a ＋1＝2⇒a ＝3 ∴f (x )＝3sin(－2x )＋cos(－2x )
＝－3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π
6
∴f (x )的最小正周期为π
30．解析：设∠AOC ＝α，则⎩⎨⎧OC →·OA →＝xOA →·OA →＋yOB →·OA
→OC →·OB →＝xOA →·OB →＋yOB →·OB →⇒⎩
⎨⎧cos α＝x －1
2y cos(120°－α)＝－12
＋y
∴x ＋y ＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6≤2
31．解析：2x
cos x ＋2π
2
＝a ·2x
⇒sin ⎝⎛⎭⎫π
2－x ＋2π
2－x ＝a
3cos y ＋sin y ＝2a －2
y ＋π3＋1
⇒sin ⎝⎛⎭⎫y ＋π
3＋2y ＋π
3＋1
＝a
构造函数f (x )＝sin x ＋2x
易知f (x )在⎝⎛⎭
⎫0，π2单调递增，故π2－x ＝y ＋π3⇒x ＋y ＝π
6
32．解析：(1)
32sin α－12cos α＝sin ⎝⎛⎭
⎫α－π
6
(2) sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4
(3) 2sin α＋6cos α＝22⎝⎛⎭
⎫12 sin α＋32 cos α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 (4) 3sin α－4cos α＝5sin(α＋θ)，其中θ由sin θ＝－45，cos θ＝3
5且θ∈(－π，π)确定
33．解析：(1) sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α－π
4
(2) cos α－sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π
4
(3) －3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－5π
6
(4) 6(sin θ ＋cos θ )＋2(sin θ －cos θ )
＝23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4
＝4
⎣⎡⎦
⎤32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π
6
＝4sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
12
34．解析：sin(x ＋50°)＋cos(x ＋20°)＝sin[(x ＋20°)＋30°]＋cos(x ＋20°)
＝sin(x ＋20°)cos30°＋cos(x ＋20°)sin30°＋cos(x ＋20°) ＝32sin(x ＋20°)＋1
2cos(x ＋20°)＋cos(x ＋20°) ＝
32sin(x ＋20°)＋32
cos(x ＋20°) ＝3⎣⎡⎦⎤12sin(x ＋20°)＋32cos(x ＋20°)
＝3sin(x ＋20°＋60°)＝3sin(x ＋80°)＝ 3 ∴ sin(x ＋80°)＝1且0≤x ＜360° ∴ x ＋80°＝90°，∴x ＝10°
35．解析：3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
12
＝2sin ⎝
⎛⎭
⎫
α＋
π12＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4
＝23
∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13⇒sin α＋cos α＝23⇒1＋2sin αcos α＝29⇒2sin αcos α＝－7
9
∴1－2sin αcos α＝1＋79＝169⇒ (sin x －cos x )2＝16
9
∵－π
2＜x ＜0
∴sin x －cos x ＜0 ∴sin x －cos x ＝－4
3
36．解析：∵2sin x ＋5cos x ＝3sin(x ＋φ)＝1
k
有解
∴1|k |≤3⇒|k |≥13⇒ k ≤－13或k ≥13
实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪⎣⎡⎭⎫1
3，＋∞
37．解析：sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝
4m －64－m
∴⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪4m －64－m ≤2⇒|2m －3|≤|4－m |⇒4m 2－12m ＋9≤16－8m ＋m 2⇒3m 2－4m －7≤0
⇒－1≤m ≤7
3
实数m 的取值范围为⎣
⎡⎦⎤－1，7
3
38．解析：y ＝2sin x ＋3cos x ＝13(sin x cos α＋cos x sin α)＝13sin(x ＋α)，其中sin α＝
313，cos α＝2
13
y ＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2(sin x cos β＋cos x sin β)＝1＋a 2sin(x ＋β) 其中sin β＝
a 1＋a 2，cos β＝1
1＋a 2
∵y ＝2sin x ＋3cos x 是由y ＝sin x ＋a cos x (a ＞0)右移φ(φ＞0)个单位得到 ∴13sin(x ＋α)＝1＋a 2sin(x ＋β－φ) ∴1＋a 2＝13⇒a ＝23，且sin β＝a 1＋a 2＝2313，cos β＝11＋a 2
＝1
13
∴x ＋α＝x ＋β－φ⇒φ＝α－β
∴sin φ＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝313×113－213×2313
＝3－4313
39．解析：∵ a sin π 5＋b cos
π 5
a cos π 5－
b sin
π 5
＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫π5＋φa 2＋b 2cos ⎝⎛⎭⎫π5＋φ
＝tan ⎝⎛⎭
⎫π5＋φ＝tan 8π 15
∴π5＋φ＝8π 15＋⇒φ＝k π＋π
3 (k ∈Z ) ∵上式中sin φ＝
b a 2＋b 2，cos φ＝a
a 2＋
b 2
∴ b a ＝tan φ＝tan ⎝
⎛⎭⎫k π＋π3＝tan π
3＝ 3
40．解析：1cos290°＋1
3sin250°
＝1cos70°－1
3sin70° ＝3sin70°－cos70°
3sin70°cos70°
＝4sin40°
3sin40°
＝
43
3
41．解析：3tan12°－3
sin12°·(4cos 212°－2)
＝3·sin12°
cos12°
－32sin12°·(2cos 212°－1) ＝3(sin12°－3cos12°)
2sin12°cos12°·cos24°
＝
43sin(12°－60°)
2sin24°·cos24°
＝－
43sin48°
sin48°
＝－4 3
42．解析：cos10°
tan20°
＋3sin10°tan70°－2cos40°
＝cos10°cos20°sin20°＋3sin10°cos20°
sin20°－2cos40°
＝
cos20°
sin20°
(3sin10°＋cos10°)－2cos40° ＝2cos20°sin20°sin40°－2cos40°
＝2×sin40°cos20°－cos40°sin20°sin20°
＝2×sin20°sin20°
＝2
43．解析：
sin80°
cos50°•(
)1＋3tan10° ＝sin80°cos50°•⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10° ＝sin80°cos50°•⎝ ⎛⎭⎪⎫
cos10°＋3sin10°cos10° ＝
sin80°cos50°•
⎝⎛⎭
⎫2sin40°cos10°＝2.
47．解析：cos40°＋sin50°(1＋3tan10°)
sin70°1＋cos40°
＝cos40°＋sin50°⎝
⎛⎭⎫1＋
3sin10°cos10°sin70°1＋cos40°
＝cos40°＋sin50°
⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°sin70°1＋cos40°
＝cos40°＋sin50°
⎝⎛⎭
⎫2cos50°cos10°sin70°1＋cos40°
＝cos40°＋sin50°
⎝⎛⎭
⎫2cos50°cos10°sin70°1＋cos40°
＝cos40°＋⎝⎛⎭
⎫cos10°cos10°sin70°2cos 220° ＝cos40°＋1cos20°2cos20° ＝cos40°＋1 2cos 220° ＝2cos 220° 2cos 220° ＝2.
48．解析：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°
＝⎣⎡⎦⎤2sin50°＋sin10°⎝⎛⎭⎫1＋3sin10°cos10°·2sin 280°
＝⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤
2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°
＝⎣⎡⎦
⎤2sin50°＋sin10°⎝⎛⎭⎫2sin40°cos10°·2cos10° ＝22(sin50°cos10°＋cos50°sin10°) ＝22sin60° ＝ 6
49．解析：2sin130°＋sin100°(1＋3tan10°)
1＋cos10°
＝
2cos40°＋cos10°
⎝
⎛⎭
⎫
1＋3sin10°cos10°2cos 25°
＝2cos40°＋()
3sin10°＋cos10°2cos 25°
＝2cos40°＋2sin40°2cos 25°
＝
22cos5°
2cos 25°
＝2
50．解析：y ＝2－cos x
2＋sin x ⇒2y ＋y sin x ＝2－cos x ⇒ y sin x ＋cos x ＝2－2y ⇒1＋y 2sin(x ＋φ)＝2－2y
∴|sin(x ＋φ)|＝|2－2y |
1＋y 2
≤1⇒|2－2y |≤1＋y
2⇒3y 2－8y ＋3≤0⇒y ∈⎣⎡⎦⎤－13，3
51．解析：∵原方程中的x 的取值范围为非零实数
∴作代换：x ＝tan θ且θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π
2
则原方程化为
1cos θ＋1sin θ＝2 2 即sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ 2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝2sin2θ
∴2θ＝2kπ＋θ＝2kπ＋π－⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4
∴θ＝2kπ＝23kπk ∈Z )
又∵θ∈⎛⎭⎫－π，0∪⎝⎛⎭⎫0，π
2
∴θ12＝－5π12
∴x 12＝－2－3
52．解析：∵ f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝1＋cos2x ＋4(1－cos2x )sin2x ＝5－3cos2x
sin2x
设 y ＝5－3cos2x
sin2x ，则y ·sin2x ＋3cos2x ＝5
即
y 2＋9•sin(2x ＋φ)＝5(其中tan φ＝3
y
)
∵ |sin(2x ＋φ)|≤1
∴ y 2＋9≥5⇒y 2≥16⇒y ≤－4或y ≥4
由 0＜x ＜π
2⇒0＜2x ＜π⇒sin2x ＞0 且5－3cos2x ＞0
∴y ＞0 ∴y ≥4
故f (x )的最小值为4
53．解析：y ＝cos2x
cos x ＋sin x ＋sin2x ＝cos 2x －sin 2x cos x ＋sin x
＋sin2x ＝cos x －sin x ＋sin2x
设t ＝cos x －sin x ，则|t |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫π
4－x ≤ 2
∵t 2＝(cos x －sin x )2＝1－sin2x ⇒sin2x ＝1－t 2 ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122 ＋5
4 (－2≤t ≤2)
∴当t ＝12时，y max ＝5
4；当t ＝－2时，y min ＝－2－1
∴y ∈⎣⎡⎦⎤－2－1，5
4
54．解析：函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭
⎫x －π
6＋3cos x
＝cos x cos π6－sin x sin π6－cos x cos π6－sin x sin π
6＋3cos x
＝－sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋2π
3
∵ x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0⇒∴x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3⇒sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3∈⎣⎡⎦
⎤1
2，1
∴ f (x )的最小值为1
55．解析：y ＝3sin(x ＋10°)＋5sin(x ＋70°)
＝3sin(x ＋10°)＋5sin[(x ＋10°)＋60°]
＝3sin(x ＋10°)＋5[sin(x ＋10°)cos60°＋cos(x ＋10°)sin60° ＝3sin(x ＋10°)＋5×12×sin(x ＋10°)＋5×3
2×cos(x ＋10°)
＝112sin(x ＋10°)＋53
2cos(x ＋10°) ＝
1
2
112＋(53)2sin(x ＋10°＋φ) ＝7sin(x ＋10°＋φ)，这里φ为辅助角 ∴y max ＝7
56．解析：(1)若cos x ＝－513，x ∈⎣⎡⎦
⎤π2，π⇒sin x ＝12
13
∴f (x )＝34sin x －14cos x ＝34×1213－14×⎝⎛⎭⎫－513＝5＋123
52
(2) f (x )＝
34sin x －14cos x ＝12sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6 将函数f (x )的图像向右平移m 个单位，得g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －m －π
6
由题意知函数g (x )为奇函数 ∴m ＋π6＝k π＋π
2
由0＜m ＜π，得m ＝π3
57．解析：(1) f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭
⎫π
2＋φ
＝12sin2x sin φ＋12cos φ＋12cos2x cos φ－1
2
cos φ ＝1
2
cos ()2x －φ
∵ f (x )图像过点⎝⎛⎭
⎫π6，1
2
∴ 12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ ⇒ cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1⇒⎝⎛⎭
⎫π3－φ＝0⇒φ＝π3
(2) 由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3⇒g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
6
∵ x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π4⇒4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π
6
∴当4x ＋π6＝π2即x ＝π12时，g (x )取得最大值1
2
当4x ＋π6＝7π6即x ＝π4时，g (x )取得最小值－14
58．解析：f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3
2
＝2cos x ⎝
⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3
2
＝sin x cos x ＋3cos 2x －
3
2
＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－3
2
＝12sin2x ＋3
2
cos2x
＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3
∴ (1) 函数f (x )的最小正周期为π
当f (x )取得最大值时，2x ＋π3＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π
12 (k ∈Z )
∴ f (x )取得最大值时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪x ＝k π＋π12，(k ∈Z )
(2) 由2x ＋π3＝k π＋π2⇒ x ＝12k π＋π
12
(k ∈Z )
∴函数f (x )图像的对称轴方程为x ＝12k π＋π
12
(k ∈Z )
59．解析：由f (0)＝
32，得2a －32＝32⇒a ＝3
2
由f ⎝⎛⎭⎫π4＝12，得32＋12b －32＝1
2⇒b ＝1
∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －
3
2
＝
32(1＋cos2x )＋12sin2x －32
＝12sin2x ＋3
2cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3
(1) 2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2⇒k π＋π12≤x ≤k π＋7π
12
(k ∈Z )
∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π
12(k ∈Z )．
(2) 函数f (x )的图像向右平移π
6，所得图像对应的函数成为奇函数
60．解析：f (x )＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋2π3＋2cos 2x
2
＝cos x cos 2π3－sin x sin 2π
3＋1＋cos x
＝－12cos x －3
2sin x ＋cos x ＋1
＝12cos x －3
2sin x ＋1 ＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
3＋1
(1) x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[0，2] (2) 令x ＋π3＝k π＋π2⇒x ＝k π＋π
6
∴函数f (x )图像的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π
6，1
61．解析：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4
＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
3－cos2x
＝12cos2x ＋3
2sin2x －cos2x ＝
32sin2x －1
2
cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6
(1) 函数f (x )的最小正周期为π
由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z ) 解得函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝12k π＋π
3
(2) x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2⇒2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6⇒ sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1
即函数f (x )在区间⎣
⎡⎦⎤－
π12，π2上的值域为⎣⎡⎦
⎤－32，1
62．解析：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭
⎫π
3－x
＝12cos 2π3＋1
2
cos2x
＝12cos2x －14 ∴f (x )的最小正周期为π (2) h (x )＝f (x )－g (x )
＝12cos2x －14－12sin2x ＋14 ＝12cos2x －1
2sin2x ＝
22cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4 当2x ＋π4＝2k π即x ＝k π－π8时，h (x )取得最大值2
2
63．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭
⎫π4x －π6－2cos 2π
8x ＋1
＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π
4x
＝
32sin π4x －32cos π4
x ＝3sin ⎝⎛⎭
⎫π4x －π3
依题意，g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4
(2－x )－π
3
＝－3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π
6
＝3sin ⎝⎛⎭
⎫π4x ＋5π
6
当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，π4x ＋5π6∈⎣⎡⎦⎤5π6，7π
6
∴y ＝g (x )的最大值为3sin
5π6＝3
2
64．解析：f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭
⎫π
4＋x －3cos2x
＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π
2＋2x －3cos2x
＝sin2x －3cos2x ＋1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＋1
由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2⇒2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3⇒ sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤1
2，1
∴ f (x )∈[2，3]
故 (1) f max ＝3，f min ＝2．
(2) |f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立⇔－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π
2上恒成立
⇔ m －2＜f (x )＜m ＋2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π
2上恒成立
∴m ＋2＞3且m －2＜2⇒1＜m ＜4 ∴实数m ∈(1，4)
65．解析：f (x )＝－
32(1－cos2x )＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2x －32
由f ⎝⎛⎭⎫α2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－32 ＝14－32，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝1
4 又∵α∈(0，π)⇒α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3
∵sin π3＝32＞14
∴α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，π⇒cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝－154
∴sinα＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3
＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π
3
＝14×12－⎝⎛⎭⎫－154×32 ＝1＋358
66．解析：设x ＝5sin θ，θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2
则y ＝x ＋4＋5－x 2＝5sin θ＋4＋5cos θ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＋4
∵θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2⇒θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π
4
∴－
22≤sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4≤1 ∴4－5≤10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＋4≤4＋10
∴y ∈[]4－5，4＋10
67．解析：x 2－2x ＋y 2＋4y ＝(x －1)2＋(y ＋2)2＝5
设x －1＝cos θ，y ＋2＝sin θ
则x －2y ＝cos θ－2sin θ＋5＝5cos(θ＋φ)＋5∈[5－5，5＋5]
68．解析：由2a 2＋6b 2＝3⇒2
3
a 2＋2
b 2＝1
∴设a ＝
62sin θ，b ＝2
2
cos θ |f (x )|＝|ax ＋b |＝⎪⎪⎪⎪62x sin θ＋22cos θ＝
32x 2＋1
2
|sin(θ＋φ)|≤32x 2＋1
2
由x ∈[－1，1]⇒x 2≤1⇒32x 2＋1
2
≤ 2 ∴|f (x )|≤2
69．解析：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝(x －4)2＋(y ＋3)2≤4
∴设x －4＝2cos θ，y ＋3＝2sin θ x ＝2cos θ＋4，y ＝2sin θ－3 ∴x 2＋y 2＋3
＝(2cos θ＋4)2＋(2sin θ－3)2＋3 ＝32＋16cos θ－12sin θ ＝32＋20cos(θ＋φ)∈[12，52] ∴23≤x 2＋y 2＋3≤213
70．解析：令x ＝sin θ，θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2⇒θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π
4
22sin 2θ＋sin θ－cos θ－2＝0 ⇒2(2sin 2θ－1)＋sin θ－cos θ＝0 ⇒2(sin 2θ－cos 2θ)＋sin θ－cos θ＝0 ⇒(sin θ－cos θ)[2( sin θ＋cos θ)＋1]＝0 ⇒(sin θ－cos θ)⎣⎡⎦
⎤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4＋1＝0
由sin θ－cos θ＝0及θ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2，得θ＝π4，x ＝2
2
由2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－12及θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2⇒θ＋π4＝－π6⇒θ＝－5π
12
∴x ＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π
12＝－6＋24
71．解析：设∠BDC ＝θ，则BD ＝
30sin θ，AD ＝40－30tan θ ⎝⎛⎭
⎫arctan 34＜θ＜π2 设每公里运费水路和公路分别为a 和2a 不妨设由A 到B 的单程运费为y
则y ＝a ⎝⎛⎭⎫40－30tan θ＋2a ·30sin θ＝10a ·⎝⎛⎭⎫4＋3·2－cos θsin θ
令k ＝2－cos θ
sin θ，则cos θ＋k sin θ＝2⇒1＋k 2sin(θ＋φ)＝2
其中sin φ＝11＋k 2，cos φ＝k
1＋k 2
于是
2
1＋k 2
≤1⇒k ≥ 3 ∴y ≥10(4＋33)a
∴当k ＝3即cos θ＋3sin θ＝2⇒θ＝60°时，y 有最小值10(4＋33)a ，此时AD ＝40－103(km ) 答：当A ，D 之间距离为40－103km 时，运费最低
72．解析：(1)∵图象的最高点为S (3，23)
∴A ＝2 3
由图象知y ＝A sin ωx 的最小正周期T ＝12 又T ＝2πω，所以ω＝π6，于是y ＝23sin π6x
且M (4，3)，P (8，0)
故MP 两点间的距离为|MP |＝(8－4)2＋(－3)2＝5 (2)在△MNP 中，设∠NMP ＝θ ∵∠MNP ＝2π
3
∴θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
3
由正弦定理得5sin120°＝NP sin θ＝MN
sin(60°－θ)
∴NP ＝1033sin θ，MN ＝103
3
sin(60°－θ)
∴线段MNP 的长度为L ＝1033sin(60°－θ)＋103
3
sin θ
＝103
3
[sin(60°－θ)＋sin θ] ＝103
3
(sin60°cos θ－cos60°sin θ＋sin θ) ＝
1033⎝⎛⎭
⎫32cos θ＋12sin θ B
A
D
C
θ
＝1033sin(θ＋60°)≤1033
∴ 当∠NMP ＝30°时，折线段MNP 的长度最大值为103
3
73．解：(1)在直角三角形OPS 中，SP ＝2sin θ，OS ＝2cos θ 矩形的宽SP ＝2sin θ
∵∠ROQ ＝π
4
∴OR ＝RQ ＝SP ＝2sin θ
矩形的长RS ＝OS －OR ＝2cos θ－2sin θ ∴面积：y ＝(2cos θ－2sin θ)2sin θ ⎝
⎛⎭⎫0＜θ＜π
4
(2) y ＝2sin θcos θ－2sin 2θ＝sin2θ－(1－cos2θ)
＝ sin2θ＋cos2θ－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π
4－1
∵ 0＜θ＜π4⇒2θ＋π4∈⎝⎛⎭
⎫π4，3π
4
∴当2θ＋π4＝π2即θ＝π
8时，矩形PQRS 的面积y 的最大值为2－1
74．解析：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ
∴∠OCP ＝120°
在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP
sin θ
∴
2sin120°＝CP sin θ
所以CP ＝4
3
sin θ 又
OC sin(60°－θ)＝2
sin120°
∴OC ＝
4
3
sin(60°－θ) 因此△POC 的面积S (θ)＝1
2CP ·OC sin120°
＝12·43•sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝4
3
sin θsin(60°－θ) ＝
43
sin θ
⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θcos θ－
2
3
sin 2θ A
B P
O R S Q。