Einstein扩散方程的推导

液体中悬浮粒子的不规则运动及其扩散的关系
假定：每一单个粒子所进行的运动，同其他一切粒子的运动都是无关的；
同一个粒子在各个不同时间间隔中的运动，都必须被看做是相互独立的过程，只要我们设想所选取的这些时间间隔都不是太小的就行了。

我们在考查中引进时间间隔τ，它比起可观察到的时间间隔要小得多，但是，尽管如此，它所具有的大小还可以使一个粒子在两个相互衔接的时间间隔τ内所进行的运动被认为是相互独立的事件。

假设在一个液体中总共有n 个悬浮粒子。

经过时间间隔τ，单个粒子的X 坐标要增加∆，此处∆对于每个粒子都有一个不同的（正的或者负的）值，对于∆，某种频率定律成立；在时间间隔τ内经历了处于∆和d ∆+∆之间的位移的粒子数dn ，可由如下形式的一个方程来表示：
()dn n d ϕ=∆∆，
此处
()1
d ϕ+∞
-∞∆∆=⎰， 而ϕ只是对于非常小的∆才不是零，并且满足条件
()()ϕϕ∆=-∆
我们现在要研究扩散系数是怎样依存于ϕ的，在此我们再一次限于这样的情况：每一单位体积的粒子数（即浓度）v 只同x 和t 有关。

设每一单位体积的粒子数为(,)v f x t =，我们要从粒子在时刻t 时的分布计算出在时刻t τ+时的分布。

由函数()ϕ∆的定义，不难得出时间t τ+时位于两个垂直于X 轴并具有横坐标x 和x dx +的平面之间的粒子数。

我们得到：
(,)(,)()f x t dx dx f x t d τϕ∆=+∞
∆=-∞+=⋅
+∆∆∆⎰
但是，既然τ很小，那么我们现在就可以置
(,)(,)f f x t f x t t
ττ∂+=+∂ 此外，我们还可以按∆的幂来展开(,)f x t +∆：
222
(,)(,)(,)(,)2f x t f x t f x t f x t x x ∂∆∂+∆=+∆++∂∂ 我们可以把这个展开式带入积分中，因为只有很小的∆值才能对后者有所贡献（因为展开要求的），我们得到
222()()()2f f f f f d d d t t x τϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞
∂∂∂∆+⋅=∆∆+∆∆∆+∆∆+∂∂∂⎰⎰⎰
在右边，由于()()x x ϕϕ=-，第二、四等各项等于零；而在第一、三、五等各项中，所有后一项都比前一项小得多。

由于我们考虑到
()1d ϕ+∞
-∞∆∆=⎰
同时我们置 2
1()2d D ϕτ+∞-∞
∆∆∆=⎰ 并且只考虑右边的第一项和第三项，我们就从这方程得到
22f f D t x
∂∂=∂∂。