高等数学教学教案 格林公式及其应用

§11.3 格林公式及其应用
授课次序69
教 学 基 本 指 标
教学课题 §
11.3 格林公式及其应用 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 格林公式及其应用
教学难点 各种不同情况下的计算 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》
作业布置 《高等数学》标准化作业
双语教学 微分 ：differential calculus ；全微分：total differential ；偏微分：partial differential ；
积分：integral ；重积分：multiple integral ；二重积分：double integral ；三重积分：threefold integral
课堂教学目标
1． 掌握格林公式；
2． 会运用平面曲线积分与路径无关的条件； 3． 会求全微分的原函数。

教学过程 1．格林公式（45min ）；
2．平面曲线积分与路径无关的条件（20min ）
； 3．全微分的原函数（25min ）
教 学 基 本 内 容
§11.3 格林公式及其应用
一、格林公式
单连通与复连通区域:设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ,则称D 为平面单连通区域,否则称为复连通区域.
对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内在他近处的那一部分总在他的左边.
区域D 的边界曲线L 的方向:
定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P (x ,y )及Q (x ,y )在D 上具有一阶连续偏导数,则有
⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx dxdy y
P
x Q )(
,
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
简要证明:
备注栏
仅就D 即是X －型又是Y －型的情形进行证明. 设D ={(x ,y )|ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ),a ≤x ≤b }.因为
y
P ∂∂连续,所以由二重积分的计算法有 dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a
x x b a D
)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.
另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
⎰⎰⎰⎰⎰+=+=a
b
b a
L L L
dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[212
1
ϕϕ
dx x x P x x P b
a )]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰.因此⎰⎰⎰=∂∂-L D
Pdx dxdy y
P .
设D ={(x ,y )|ψ1(y )≤x ≤ψ2(y ),c ≤y ≤d }.类似地可证
⎰⎰⎰=∂∂L D
Qdx dxdy x Q
.
由于D 即是X －型的又是Y －型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得
⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫
⎝
⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q . 应注意的问题:对复连通区域D ,格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D 来说都是正向.
设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y ,Q =x ,则由格林公式得
⎰⎰⎰-=L D
ydx xdy dxdy 2, 或⎰⎰⎰-==L
D
ydx xdy dxdy A 21.
例1.椭圆x =a cos θ,y =b sin θ所围成图形的面积A . 分析:只要
1=∂∂-∂∂y P x Q , 就有A dxdy dxdy y
P x Q
D
D
==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)(. 解:设D 是由椭圆x =a cos θ,y =b sin θ所围成的区域. 令y P 21-
=,x Q 2
1=, 则12121=+=∂∂-∂∂y P x Q .于是由格林公式,
例2 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线,证明
⎰=+L dy x xydx 022.
证:令P =2xy ,Q =x 2,则
022=-=∂∂-∂∂x x y
P
x Q . 因此,由格林公式有
0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx D
L . (为什么二重积分前有“±”号？ )
3.计算
⎰⎰-D
y dxdy e 2
,其中D 是以O (0, 0),A (1, 1),B (0, 1)为顶点的三角形闭区域.
分析: 要使
2y e y
P x Q -=∂∂-∂∂,只需P =0,2
y xe Q -=.
解:令P =0,2
y xe Q -=,则2
y e y
P x Q -=∂∂-∂∂. 因此,由格林公式有
⎰⎰⎰++--=BO
AB OA y D
y dy xe dxdy e 2
2
)1(2
111
02
2
----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA
y . 例4计算
⎰+-L y x ydx
xdy 22,其中L 为一条无重点、
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.
解: 令22y x y P +-=
,2
2y x x Q +=.
则当x 2+y 2≠0
时,有
y
P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂2222
2)(. 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时,由格林公式得
022=+-⎰L y x ydx xdy ;
当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l :x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydx
xdy y x ydx xdy ,其中l 的方向
取逆时针方向.
于是⎰⎰+-=+-l L y x ydx
xdy y x ydx xdy 2222⎰+=πθθθ202
2222sin cos d r r r =2π.
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关:设G 是一个开区域,P (x ,y )、Q (x ,y )在区域G 内具有一阶连续偏导数.如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内 从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2,等式
⎰⎰+=+2
1
L L Qdy Pdx Qdy Pdx
恒成立,就说曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,否则说与路径有关.
设曲线积分
⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,L
1和
L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线,则有
⎰⎰+=+2
1
L L Qdy Pdx Qdy Pdx ,因为
⎰⎰+=+2
1
L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔02
1
=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx
⇔
02
1
=+++⎰⎰-
L
L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔0)
(21=+⎰
-+L L Qdy Pdx ,
在L 所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0,y 0)与终点(x ,y )有关. 如果
⎰+L
Qdy Pdx 与路径无关,则把它记为⎰
+)
,()
,(00y x y x Qdy Pdx
即
⎰
⎰+=+)
,()
,(00y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .
若起点(x 0,y 0)为G 内的一定点,终点(x ,y )为G 内的动点,则u (x ,y )⎰+=
)
,(),(0
y x y x Qdy Pdx
为G 内的的函数.
二元函数u (x ,y )的全微分为du (x ,y )=u x (x ,y )dx +u y (x ,y )dy .
表达式P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 与函数的全微分有相同的结构,但它未必就是某个函数的全微分.那么在什么条件下表达式P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 是某个二元函数u (x ,y )的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？
定理 3 设开区域G 是一个单连通域,函数P (x ,y )及Q (x ,y )在G 内具有一阶连续偏导数,则P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 在G 内为某一函数u (x ,y )的全微分的充分必要条件是等式x
Q y P ∂∂=∂∂在G 内恒成立.
简要证明:必要性:假设存在某一函数u (x ,y ),使得du =P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy ,
则有y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(,x
y u y u x x Q ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(.
因为
y P y x u ∂∂=∂∂∂2、x Q x y u ∂∂=∂∂∂2连续, 所以x
y u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,即x Q y P ∂∂=∂∂.
充分性:因为在G 内x
Q y P ∂∂=∂∂, 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关.考虑函数
u (x ,y )⎰+=
)
,(),(0
),(),(y x y x dy y x Q dx y x P .
因为 u (x ,y )⎰+=)
,()
,(0
),(),(y x y x dy y x Q dx y x P ⎰⎰+=x
x y y dx y x P dy y x Q 0
),(),(0,
所以
),(),(),(0
00
y x P dx y x P x dy y x Q x x u x x y y =∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰.
类似地有
),(y x Q y
u =∂∂,从而du =P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .
即P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy 是某一函数的全微分. 求原函数的公式:⎰+=
)
,(),(0
),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,
⎰⎰+=y y x
x dy y x Q dx y x P y x u 0
),(),(),(0,⎰⎰+=x
x y y dx y x P dy y x Q y x u 0
),(),(),(0.
例6 验证:
2
2y
x ydx
xdy +-在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. 解: 这里22y x y P +-=
,2
2y x x Q +=.。