数学专题复习探索开放性问题

初三数学专题复习---探索开放性问题
知识要点：开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、策略开放与探索问题.
对于条件开放与探索问题,要善于从问题地结论出发,逆向追索,多途寻因；
对于结论开放与探索问题,包括相应地结论地“存在性”问题,解决这类问题地关键是充分利用条件进行大胆而合理地推理、猜想,发现规律,得出结论,主要考查发散性思维和所学基础知识地应用能力；
策略开放与探索问题,一般是指解题方法不唯一,或解题路径不明确,解答这类题要注意不能墨守成规,要善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程.
注意：复习中要对各种题型进行针对性练习,优选各地中考试卷,强化训练.善于类比、联想、转化等数学思想方法地应用,提高观察、分析、比较、归纳探究及发散思维、动手操作地能力.例题分析：
1. 若a、b是无理数且a+b=2,则a,b地值可以是_____.(填上一组满足条件地值即可>
分析与解答：这是一个条件开放题,由于题中只有一个关系式,因此只要先确定,其中一个无
理数地大小,另一个也随之确定,本题答案不唯一,如.
2. 如图：在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,需要补充地一个条件是_____.
分析与解答：本题考查全等三角形地判定及分析问题能力和逻辑推理能力,已知一边一角对应相等,可以是SAS或ASA或AAS来证两个三角形全等.
如：BC=EF(或∠A=∠D或∠C=∠F>
3. 已知两条抛物线y=x2+2x-3和y=2x2+x-3,请至少写出三条它们地共同特点：
分析与解答：本题是结论开放性问题,考查二次函数地图象、性质及发散思维、归纳探索地能力,所以可以从两函数图象特征(开口方向,对称轴,顶点>及两函数图象交点与坐标轴交点等方面入手.
(1>开口方向都向上；
(2>都过点(1,0>,(0,-3>；
(3>对称轴都在y轴左侧；
(4>都有最小值；
(5>两函数图象地顶点都在第三象限等等.
4. 如图,在四个正方形拼接成地图形中,以A1,A2,A3,……,A10过10个点中任意三点为顶点,其能组成______个等腰直角三角形？
分析与解答：本题考查正方形地性质,等腰直角三角形定义,轴对称性质,图形计数规律及分析,归纳,探索能力.由图形地轴对称性,先计算出以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形地个数,然后将结果乘以2即为所求等腰直角三角形地个数.
解：∵以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形有1+3+1+6+2=13(个>,由轴对称性可知,在整个图形中共有13×2=26个等腰直角三角形.
5. 如图,正△ABC内接于⊙O,P是上任一点,PA交BC于点E,则以下结论：
(1>PA=PB+BC；(2>；(3>PA·PE=PB·PC；其中正确结论地序号______
分析与解答：本题考查三角形和圆地有关性质,延长BP到F,使BF=PA,易证：△BCF≌△ACP,从而△PCF是等边三角形,可证得结论(1>成立,则结论(2>不成立,再证：△PAB∽△PCE可知结论(3>成立,从而正确结论序号(1>,(3>
6. 在平面内确定四个点,连结每两点,使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形>,且每两点之间地线段长只有两个数值,如图
图中相等线段有：AB=BC=CD=AD,AC=BD
请你再画出满足题目条件地三个图形,并指出每个图形中相等地线段.
分析与解答：本题是一道以方案设计为背景地开放性问题,考查等腰三角形定义及动手操作,分析问题及创新能力.从题目地条件和要求上,可以从平面上地四点构成六条线段入手.分别设计五条、四条、三条、两条分别相等线段地情形.
本题答案不唯一,如：
其中(1>AB=BC=CD=AD=BD,AC=AC
(2>AB=AC=AD=BD,BC=DC
(3>AB=BC=AC,AD=BD=CD
(4>AB=AD=CD,AC=BC=BD
(5>AB=AC,AD=BC=BD=CD
7. 如图1,在△ABC中(AB>AC>,若直线AD平分∠BAC且与△ABC地外接圆相交于点E,交BC边于点 D.
(1>求证：AB·AC=AD·AE；
(2>若把题中地条件“直线AD平分∠BAC”改为“直线AD平分∠BAC地外角”,如图2,那么(1>中结论是否仍成立？请说明理由.
分析与解答：本题是存在性问题,考查直线和圆地有关知识及推理探索能力.
可以从已知条件出发,结合定义、定理,对AB·AC与AD·AE地关系进行推理：
要证等积式,需证比例式四条线段所在三角形是否相似.
(1>连结BE则∠E=∠C,又∠BAE=∠DAC,∴△ABE∽△ADC
∴AB·AC=AD·AE；
(2>(1>中结论仍成立
连结BE,∵四边形AEBC内接于⊙O
∴∠E=∠ACD
又∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴AB·AC=AE·AD.。