2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)3：导数

2012高考真题分类汇编：导数
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理
8】设函数
()f x 在R 上可导，其导函数为,
()f x ，且函数
)(')1(x f x y 的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f （D ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f 【答案】D
【解析】由图象可知当
2x 时，0)(')1(x f x y ，所以此时0)('x f ，函数递增.当
12x
时，0)
(')1
(x f x y ，所以此时0)
('x f ，函数递减.当21
x 时，0)
(')1
(x f x y
，所以此时0)
('x f ，函数递减.当2x
时，0)
(')1(x f x y
，
所以此时0)('x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(f ，极小值)2(f ,选D.
2.【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12
x
y
e 上，点Q 在曲线ln(2)y
x 上，则PQ
最小值为（
）
()A 1ln 2
()
B 2(1ln 2)
()C 1
ln 2
()
D 2(1ln 2)
【答案】B
【解析】函数
12
x
y
e 与函数ln(2)y x 互为反函数，图象关于y x 对称
函数12
x
y
e 上的点1(,
)2
x
P x e 到直线y
x 的距离为12
2
x e x
d
设函数min
min
111ln 2
()
()
1
()1ln 2
2
2
2
x
x
g x e
x g x e
g x d 由图象关于
y
x 对称得：PQ 最小值为min
22(1ln 2)d ,
3.【2012高考真题陕西理7】设函数
()
x
f x xe ，则（
）
A. 1x 为()f x 的极大值点
B.1x 为()f x 的极小值点
C. 1x
为()f x 的极大值点
D. 1x
为()f x 的极小值点
学
【答案】D. 【解析】x
x
x
xe e
x f xe x f )(',
)
(，令0)
('x f ，则1x
，当1x 时0)
('x f ，
当1x
时0)
('x f ，所以1x
为)(x f 极小值点，故选 D.
4.【2012高考真题辽宁理
12】若[0,
)x
，则下列不等式恒成立的是
(A)2
1x
e x x
,
(B)
2
111124
1
x x
x
(C)2
1cos 12
x x
…(D)2
1ln(1)8
x x x
…【答案】C
【解析】设2
2
11()cos (1
)
cos 1
2
2
f x x
x x x ，则()
()sin ,
g x f x x x 所
以
()
c g x x
≥，所
以
当
[0,
)
x
时
，
()
()
g x g x f x
g
为增函数，所以≥
同理2
1()(0)
0cos (1
)02
f x f x x ≥，≥，即2
1cos 1
2
x x …，故选 C
【点评】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力，难度较大。

5.【2012高考真题湖北理
3】已知二次函数
()y
f x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的
面积为
A ．2π5
B ．43
C ．
32
D ．
π2
【答案】B 【解析】
根据图像可得：
2
()
1y f x x ，再由定积分的几何意义，可求得面积为
1
2
3
11
1
14(1)(
)
3
3
S
x dx x
x .
6.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y ＝x2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝
（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 【答案】A 【解析】若函数c x x
y 33
的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有
一个为
0，函数的导数为
33'2
x y ，令033'2
x
y ，解得1x
，可知当极大值为
c f 2)1(，极小值为2)1(c
f .由02
)1(c
f ，解得2c
，由
02
)
1(c
f ，解得2c
，所以2c
或2c
，选 A.
二、填空题
7.【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线
C 到直线l
的距离，已知曲线C 1：y=x 2
+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2
+(y+4)2
=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______。

【答案】
4
9【解析】曲线C 2：x 2
+(y+4)2
=2到直线l:y=x 的距离为22
2221
1
|40|2
2
d
，
曲线C 1：y=x 2
+a 对应函数的导数为
x y 2，令12x
得2
1x
，所以C 1：y=x 2
+a 上的点为
)41,21(a ，点)4
1
,
21(a 到到直线l:y=x 的距离应为
2，所以21
1
|
4121|
2
2
a ，解得
4
9a
或4
7a
（舍去）。

8.【2012高考真题江西理11】计算定积分
dx
x x
1
1
2
)sin (___________。

【答案】
3
2【命题立意】本题考查微积分定理的基本应用。

【解析】
3
2)
cos 3
1
()sin (11
3
11
2
x x dx
x x 。

9.【2012高考真题山东理15】设0a
.若曲线y x 与直线,0x
a y 所围成封闭图形的
面积为2
a ，则a ______.
【答案】9
4a
【解析】由已知得
2
2
3
2
3
3
2|
3
2a a
x x
S
a a
，所以3
22
1
a
，所以9
4a。

10.【2012高考真题广东理12】曲线y=x 3
-x+3在点（1，3）处的切线方程为
．
【答案】0
1
2y x 【解析】
132
x
y
，当1x 时，2y ，此时2k ，故切线方程为
)1(23x y ，即
01
2y x 。

11.【2012高考真题上海理
13】已知函数)(x f y 的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、
)5,2
1
(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y （10x
）的图象与x 轴围成的图形的面积
为。

【答案】
45【解析】当
2
10
x
，线段
AB 的方程为
x y 10，当
12
1x 时。

线段
BC 方程为
12
11
50
x y ，整理得1010x y
，即函数
1
2
1,1010210
,10)
(x x x
x x f y
，所以
1
2
1,
1010210
,10)
(2
2
x x x
x x x xf y
，函数与
x 轴围成的图形面积为
dx
x x
dx
x )1010(102
12
1210
2
12
12
3
21
3)
53
10(
3
10x x
x
4
5。

12.【2012高考真题陕西理14】设函数
ln ,0()
21,0
x x f x x x
，D 是由x 轴和曲线()
y
f x 及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y 在D 上的最大值
为
.
【答案】2．【解析】函数)(x f y
在点)0,1(处的切线为)1)(1('0x f y ，即1x y .所以D 表示的
平面区域如图当目标函数直线经过点M 时
z 有最大值，最大值为
2)1(20z .
三、解答题
13.【2012高考真题广东理21】（本小题满分
14分）
设a ＜1，集合}0|{x
R x A
，}6)1(32|{2
a x a x
R x B ，B A D。

（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数
ax x
a x
x f 6)1(32)(2
3
在D 内的极值点．
【答案】本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.
14.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）
设1()
(0)x
x
f x ae
b a ae。

（I ）求()f x 在[0,)上的最小值；
（II ）设曲线()y
f x 在点(2,(2))f 的切线方程为32
y
x ；求,a b 的值。

【答案】本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查分类讨论思想，代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

【解析】（I ）设
(1)x
t
e t
；则22
2
2
111
a t
y
at
b y a
at
at
at
，
①当1a 时，0
y 1y
at
b at
在1t 上是增函数，得：当1(0)t
x
时，()f x 的最小值为1a
b a。

②当01a 时，12y
at
b b at ，
当且仅当11(,ln )x
at t e
x a a
时，()f x 的最小值为2b 。

（II ）11()
()
x
x
x
x
f x ae
b
f x ae
ae
ae ，
由题意得：
2
2
2
2
2
12(2)
33313
1(2)
2
2
2
f ae
b a ae
e f ae
b
ae。

15.【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）已知函数
f （x ）=e x
＋ax 2
-ex ，a ∈R.
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求函数f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）试确定
a 的取值范围，使得曲线
y=f （x ）上存在唯一的点
P ，曲线在该点处的切线与
曲线只有一个公共点
P.
【答案】本题主要考查函数导数的应用、二次函数的性质、函数零点的存在性定理等基础知识，考查推理论证能力、基本运算能力、抽象概括能力，以及分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想
.
16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分
12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
设函数f （x ）=ax+cosx ，x ∈[0，π]. （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；
（Ⅱ）设f （x ）≤1+sinx ，求a 的取值范围. 【答案】
17.【2012高考真题北京理18】（本小题共13分）
【答案】解：（）由1c ，为公共切点可得：
2
()1(0)f x ax a
，则()
2f x ax ，12k a ，
3
()
g x x
bx ，则2
()=3f x x
b ，2
3
k b ，
23
a
b
又(1)
1f a
，(1)1g b ，
1
1
a
b ，即a
b ，代入①式可得：
33a b
．
（2）2
4a
b ，
设3
2
2
1()
()()14
h x f x g x x
ax a x
则2
2
1()
324h x x
ax a ，令()0h x ，解得：1
2
a x ，26
a x ；
0a
，
2
6a a ，
原函数在
2
a ，
单调递增，在2
6
a a ，单调递减，在
6
a ，上单调递增
①若
12
a ≤
，即2a ≤时，最大值为2
(1)4
a
h a
；
②若
126
a a ，即2
6a
时，最大值为
1
2a h ③若
16
a ≥
时，即6a ≥时，最大值为12
a h
．
综上所述：当02a
，时，最大值为2
(1)
4
a
h a
；当2,
a 时，最大值为12
a h
．
18.【2012高考真题新课标理
21】（本小题满分
12分）
已知函数
()f x 满足满足1
2
1()
(1)(0)2
x f x f e
f x
x ；
（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若2
1()2
f x x
ax b ，求(1)a b 的最大值.
【答案】（1）1
2
1
1()
(1)(0)()(1)(0)2
x x f x f e f x x
f x f e
f x
令1x
得：(0)1f 1
2
1
1()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e
x x
f f e f e
得：2
1()
()
()
1
2x x
f x e
x
x g x f x e
x
()
10
()x
g x e
y
g x 在x
R 上单调递增()
0(0)
0,()
(0)0
f x f x
f x f x 得：()f x 的解析式为
2
1()2x
f x e
x
x
且单调递增区间为
(0,)，单调递减区间为(,0)（2）2
1()
()(1)02x
f x x
ax b h x e a x b
得()
(1)
x
h x e
a ①当1
0a
时，()
()h x y
h x 在x R 上单调递增
x
时，()
h x 与()
0h x 矛盾
②当1
0a
时，()
0ln(1),()0ln(1)
h x x a h x x a 得：当ln(1)x
a 时，min
()(1)(1)ln(1)0
h x a a a b 2
2
(1)(1)(1)ln(1)(10)
a b a a a a
令
2
2
()
ln (0)F x x
x x x
；则()
(12ln )F x x x ()
,()0
F x x
e F x x
e
当
x e 时，max
()2
e F x 当1,a e b
e 时，(1)a b 的最大值为
2
e 19.【2012高考真题天津理
20】本小题满分14分）
已知函数)ln()(a x x x f 的最小值为0，其中.
0a （Ⅰ）求
a 的值；
（Ⅱ）若对任意的
),,
0[x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值；
（Ⅲ）证明
n
i n i
1
2)12ln(122（*
N n ）.
【答案】
20.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y 在0x x
处取得极大值或极小值，则称0
x 为函数)(x f y
的极值点。

已知a b ，是实数，1和1是函数3
2
()f x x
ax
bx 的两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x ，求()g x 的极值点；
（3）设()
(())h x f f x c ，其中[22]c ，，求函数()y
h x 的零点个数．【答案】解：（1）由3
2
()f x x
ax
bx ，得2
()
32f'x x
ax b 。

∵１和1是函数3
2
()f x x
ax
bx 的两个极值点，
∴　(1)3
2=0f'a b ，(1)32=0f'a
b ，解得==
3a b 0，。

（2）∵ 由（1）得，3
()
3f x x
x ，∴2
3
()()2=32=1
2g x f x x
x x x
，解得123==1
=2x x x ，。

∵当2x <时，()0g x <；当21<x <时，()0g x >，
∴=2x 是()g x 的极值点。

∵当
21<x <或1x >时，()0g x >，∴　=1x 不是()g x 的极值点。

∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()
()h x f t c 。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：2, 2
d
当=2d 时，由（2 ）可知，()=
2f x 的两个不同的根为
I 和一 2 ，注意
到()f x 是奇函数，∴
()=2f x 的两个不同的根为一和2。

当
2d <时
，
∵
(1)=(2)=20
f d f d d >，
(1)=(2)=
2
0f d f d d <，
∴一 2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。

由（1）知()=311f'x x x 。

①　当2x
，时，()0f 'x >，于是()f x 是单调增函数，从而
()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在2，无实根。

② 当 1 2x
，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。

又∵(1)0f d <，(2)0f d >，=()
y f x d 的图象不间断，
∴()=f x d 在（1 , 2
）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一 2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当 1 1x ，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。

又∵(1)
0f d >，
(1)0f d <，=()
y f x d 的图象不间断，
∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当
=2d 时，()=f x d 有两个不同的根
12x x ，满足12=1=2x x ，；当
2d <时
()=f x d 有三个不同的根
315x x x ，，，满足2=3, 4, 5i x <i ，。

现考虑函数()y h x 的零点：
( i
）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。

而1()=f x t 有三个不同的根，
2()=f x t 有两个不同的根，故()y
h x 有5 个零
点。

( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足
2=3, 4, 5i t <i ，。

而=3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x 有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y
h x 有5 个零点；当2c <时，函数()
y
h x 有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y 的导数，根据1和1是函数)(x f y 的两个极值点代入列方程
组求解即可。

（2）由（1）得，3
()3f x x
x ，求出()g x ，令()=0g x ，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分
=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑
函数()y
h x 的零点。

21.【2012高考真题辽宁理
21】本小题满分12分)
设()
ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b 为常数，曲线()y f x 与
直线32
y
x 在(0，0)点相切。

(Ⅰ)求,a b 的值。

(Ⅱ)证明：当02x 时，9()
6
x f x x。

【答案】
【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。

本题容易忽略函数
)(x f 的定义域，根据条件曲线()y
f x 与直线32y
x 在(0，0)点相切，求
出,a b 的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明
9()
6
x f x x
即可。

从近几年的高
考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。

本题属于中档题。

22.【2012高考真题重庆理
16】（本小题满分
13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
设13
()ln 1,22
f x a x
x x 其中a R ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直
于y 轴.
（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.
【答案】
23.【2012高考真题浙江理
22】(本小题满分14分)已知a ＞0，b R ，函数3
42f x
ax
bx a b ．
(Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，
(ⅰ)函数f x 的最大值为|2a －b|﹢a ；(ⅱ) f x ＋|2a －b|﹢a ≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤f x ≤1对x [0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．
【命题立意】本题主要考查不等式、利用导数研究函数的单调性等性质、线性规划等知识点综合运用能力，同时考查抽象概括、推理论证能力。

【答案】本题主要考察不等式，导数，单调性，(Ⅰ)(ⅰ)2
122f
x
ax b ．当b ≤0时，2
122f
x
ax
b ＞0在0≤x ≤1上恒成立，
此时f x 的最大值为：1
423f a b a b
a b ＝|2a －b|﹢a ；
当b ＞0时，2
122f
x
ax
b 在0≤x ≤1上的正负性不能判断，
此时f x 的最大值为：
max 2max{(0)1}
max{()3}
32b a b a f x
f f b
a a
b a
b b
a
，，（），()，＝|2a －b|﹢a ；
综上所述：函数
f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b|﹢a ；
(ⅱ) 要证f x ＋|2a －b|﹢a ≥0，即证g x ＝﹣f x ≤|2a －b|﹢a ．亦即证g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b|﹢a ，
∵3
42g x ax
bx
a b ，
∴令2
1220
6b g x
ax b
x
a
．
当b ≤0时，2
122g x
ax
b ＜0在0≤x ≤1上恒成立，此时g x 的最大值为：0
3g a b
a b ＝|2a －b|﹢a ；
当b ＜0时，2
122g x
ax b 在0≤x ≤1上的正负性不能判断，
max max{(
)1}
6b g x
g g a
，（）4max{2}
36463662b
b
a b b a a b
b a b
a
b a b
a
b a ，，，≤|2a －b|﹢a ；综上所述：函数
g x 在0≤x ≤1上的最大值小于
(或等于)|2a －b|﹢a ．
即f x ＋|2a －b|﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b|﹢a ，且函数f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a －b|﹢a)要大．∵﹣1≤f x ≤1对x [0，1]恒成立，∴|2a －b|﹢a ≤1．取b 为纵轴，a 为横轴．则可行域为：21
b a b
a
和
231
b a a
b
，目标函数为z ＝a ＋b ．
作图如下：
由图易得：当目标函数为
z ＝a ＋b 过P(1，2)时，有max
3z ．
∴所求a ＋b 的取值范围为：
3，．
24.【2012高考真题山东理22】(本小题满分13分) 已知函数ln ()
x
x k
f x e
（k 为常数， 2.71828
e
是自然对数的底数），曲线()y f x 在
点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设
2
()
()'()g x x
x f x ,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明：对任意
2
0,()1x g x e .
【答案】解析：由f(x) =
x
e
k
x ln 可得)
(x f x
e
x
k x
ln 1
，而0)
1(f ，即
01e
k
，
解得1k
；
（Ⅱ）)(x f x
e
x x ln 11
，令0)(x f 可得1x ，当10
x 时，0ln 11)
(x
x
x f ；当1x 时，0ln 11)
(x
x
x f 。

于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数；在),
1(内为减函数。

简证（Ⅲ）x
x
e
x
x x x e
x x x x
x g ln )(1ln 11
)()(2
2
2
，
当1x
时，
0,0,0ln ,012
2
x
e
x
x
x
x
，2
10)
(e x g .
当10x
时，要证2
2
2
2
1ln )(1ln 11
)()
(e e
x
x x x
e
x x x x
x g x
x。

只需证
2
2
2
1()ln (1)x
x x
x x e e ，然后构造函数即可证明。

25.【2012高考真题湖南理22】（本小题满分13分）
已知函数()f x =ax
e
x ，其中a ≠0.
（1）
若对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.
（2）在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x ，记直线AB 的斜率
为K ，问：是否存在x 0∈（x 1，x 2），使0()
f x k 成立？若存在，求
0x 的取值范围；若不存在，
请说明理由. 【答案】（Ⅰ）若0a ，则对一切0x ，()
f x 1ax
e
x
，这与题设矛盾，又
0a ，
故0a .
而
()
1,ax
f x ae
令11()0,ln
.
f x x
a
a
得当11ln x a
a 时，()0,()f x f x 单调递减；当11ln x
a a 时，()
0,()f x f x 单调递增，故
当11ln
x
a a
时，()f x 取最小值11111(
ln )
ln
.
f a a a
a
a 于是对一切,()1x R f x 恒成立，当且仅当111ln 1a
a a
.
①
令()ln ,g t t t t 则()
ln .
g t t 当01t 时，()0,()g t g t 单调递增；当1t
时，()
0,()g t g t 单调递减.
故当1t
时，()g t 取最大值(1)1g .因此，当且仅当
11a
即1a
时，①式成立.
综上所述，
a 的取值集合为
1.
（Ⅱ）由题意知，
2
1
212
12
1
()() 1.
ax ax f x f x e
e
k
x x x x 令
2
1
2
1
()(),ax ax ax
e
e
x f x k
ae
x x 则
1
21()
12121()
()1,
ax a x x e x e
a x x x x 2
12()
21
221
()()1.ax a x x e x e
a x x x x 令
()
1t
F t e
t ，则()
1t
F t e
.
当0t 时，()0,()F t F t 单调递减；当0t 时，()0,()F t F t 单调递增.
故当0t
，()
(0)
0,F t F 即1
0.
t
e
t
从而
21()
21()10a x x e a x x ，12()
12()10,a x x e a x x 又
1
2
1
0,
ax e x x 2
2
1
0,
ax e x x 所以
1()
0,x 2()
0.
x 因为函数()y
x 在区间12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在
012(,)x x x 使
0()
0,x 2()0,()ax
x a e x 单调递增，故这样的c 是唯一的，且2
1
211ln ()
ax ax e
e
c
a a x x .
故当且仅当
2
1
2211
(ln
,)()
ax ax e
e
x
x a a x x 时，0()f x k .
综上所述，存在
12(,)x x x 使0()
f x k 成立.且0x 的取值范围为2
1
22
11
(ln
,)()
ax ax e
e
x a a x x .
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法
求出()f x 取最小值11111(
ln
)
ln
.f a
a
a
a
a
对一切x ∈R ，f(x)
1恒成立转化为
min
()1f x ，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，
研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断
.。