高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重点知识点大全

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重点知识点大全
单选题
1、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
2、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）
A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}
答案：D
分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.
因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，
又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，
故选：D．
3、设命题p:∃x0∈R，x02+1=0，则命题p的否定为（）
A．∀x∉R，x2+1=0B．∀x∈R，x2+1≠0
C．∃x0∉R，x02+1=0D．∃x0∈R，x02+1≠0
答案：B
分析：根据存在命题的否定为全称命题可得结果.
∵存在命题的否定为全称命题，
∴命题p的否定为“∀x∈R，x2+1≠0”，
故选：B
4、下列结论中正确的个数是（）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；
④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；
A．0B．1C．2D．3
答案：C
分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案. 对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；
对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
5、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：B
分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.
对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；
对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；
对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；
对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
6、2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热､干咳､浑身乏力”的（）
已知该患者不是无症状感染者
．．．．．．．．．．．．．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：根据充分必要条件的定义判断．
新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热､干咳､浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．
故选：A ．
7、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题，则实数a 满足（ ）
A ．[0，1)
B ．(-∞，1)
C ．[1，+∞)
D ．(-∞，1]
答案：B
分析：讨论a =0或a ≠0，当a =0时，解得x <−12，成立；当a ≠0时，只需{a >0Δ>0
或a <0即可. 若a =0时，不等式ax 2+2x +1<0等价为2x +1<0，解得x <−12，结论成立.
当a ≠0时，令y =ax 2+2x +1，要使ax 2+2x +1<0成立，
则满足{a >0Δ>0
或a <0，解得0<a <1或a <0，综上a <1， 故选：B .
小提示：本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
8、已知集合A ，B ，定义A ﹣B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A +B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }，则对于集合M ，N 下列结论一定正确的是（ ）
A ．M ﹣（M ﹣N ）＝N
B ．（M ﹣N ）+（N ﹣M ）＝∅
C ．（M +N ）﹣M ＝N
D ．（M ﹣N ）∩（N ﹣M ）＝∅
答案：D
解析：根据集合的新定义逐一判断即可.
解：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，
N−M={x|x∈N且x∉M}，
M+N={x∈M或x∈N}，
对于A，M﹣（M﹣N）＝M∩N，故A不正确；
对于B，设M={1,2,3}，N={2,3,4}，
则（M﹣N）+（N﹣M）＝{1,4}，故B不正确；
对于C，设M={1,2,3}，N={2,3,4}，
则（M+N）﹣M＝{4}≠N，故C不正确；
对于D，根据题中的新定义可得：（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅．
故选：D．
9、若命题“∃x0∈[−1,2],−x02+2⩾a”是假命题，则实数a的范围是（）
A．a>2B．a⩾2C．a>−2D．a⩽−2
答案：A
解析：根据命题的否定为真命题可求.
若命题“∃x0∈[−1,2],−x02+2⩾a”是假命题，
则命题“∀x∈[−1,2],−x2+2<a”是真命题，
当x=0时，(−x2+2)max=2，所以a>2.
故选：A.
10、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.
易知①∅∈{∅}，②A ∩A =A ，③A ∪∅=A ，正确
④N ∈R ，不正确，应该是N ⊆R
故选：C.
多选题
11、已知p ：x 2+x −6=0；q ：ax +1=0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（ ）
A ．﹣2
B ．−12
C ．13
D ．−13 答案：BC
解析：根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
由题意得p:A ={−3，2}，
当a =0时，q ：B =∅，
当a ≠0时，q ：B ={−1a }，
因为p 是q 的必要不充分条件，所以B
A ， 所以a =0时满足题意，当−1a =−3或−1a =2时，也满足题意，解得a =13或a =−12，
故选：BC.
小提示：本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.
12、设集合A ={x|a −1<x <a +1，x ∈R}，B ={x|1<x <5，x ∈R}，则下列选项中，满足A ∩B =∅的实数a 的取值范围可以是（ ）
A ．{a|0⩽a ⩽6}
B ．{a|a ⩽2或a ⩾4}
C ．{a|a ⩽0}
D ．{a|a ⩾6}
答案：CD
分析：根据A ∩B ≠∅可得a −1⩾5或a +1⩽1，解不等式可以得到实数a 的取值范围，然后结合选项即可得
出结果.
∵集合A={x|a−1<x<a+1，x∈R}，B={x|1<x<5，x∈R}，满足A∩B=∅，∴a−1⩾5或a+1⩽1，解得a⩾6或a⩽0，∴实数a的取值范围可以是{a|a⩽0或a⩾6}，结合选项可得CD符合.
故选：CD.
13、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.下列命题中正确的是（）
A．s是q的充要条件
B．p是q的充分条件而不是必要条件
C．r是q的必要条件而不是充分条件
D．¬p是¬s的必要条件而不是充分条件
答案：ABD
分析：根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.
将四个条件写成：p⇒r，且r不能推出p；q⇒r；r⇒s；s⇒q，所以q⇒r⇒s，所以s⇔q，故A正确；p⇒r⇒s⇒q,q⇒r不能推出p，故B正确；r⇒s⇒q，又q⇒r，故r是q的充要条件，故C错误；由p⇒r⇒s，可得¬s⇒¬p，由s⇒q⇒r不能推出p，可得¬p不能推出¬s，故D正确.
故选：ABD
14、若集合M⊆N，则下列结论正确的是
A．M∩N=M B．M∪N=N
C．M⊆（M∩N）D．(M∪N)⊆N
答案：ABCD
分析：根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项.
由于M⊆N，即M是N的子集，故M∩N=M，M∪N=N，从而M⊆（M∩N），(M∪N)⊆N.
故选ABCD.
小提示：本小题主要考查子集的概念，考查集合并集、交集的概念和运算，属于基础题.
15、（多选）方程x2=2x的所有实数根组成的集合为（）．
A．(0,2)B．{(0,2)}C．{0,2}D．{x∈R|x2=2x}
答案：CD
分析：先解方程，然后利用列举法或描述法表示其解集即可
由x2=2x，解得x=2或0，
所以方程x2=2x的所有实数根组成的集合为{x∈R|x2=2x}={0,2}．
故选：CD
16、已知集合A=[2,5)，B=(a,+∞).若A⊆B，则实数a的值可能是
A．−3 B．1C．2D．5
答案：AB
分析：利用集合的包含关系得a的范围，再逐项判断即可
∵A⊆B，∴a<2，∴a可能取−3,1；
故选：AB.
小提示：本题考查集合间的基本关系，是基础题
17、已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是（）
A．1B．−1C．0D．2
答案：ABC
分析：分析可知，集合A为单元素集合，分a=0与a≠0两种情况讨论，结合方程ax2+2x+a=0只有一根可求得实数a的值.
由于集合A有且仅有两个子集，则集合A为单元素集合，即方程ax2+2x+a=0只有一根.
①当a=0时，方程为2x=0，解得x=0，合乎题意；
②当a≠0时，对于方程ax2+2x+a=0，Δ=4−4a2=0，解得a=±1.
综上所述，a=0或a=±1.
故选：ABC.
18、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）
A．①B．②C．③D．④
答案：ABD
分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.
由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；
所以，根据等价关系知：¬ s⇔¬ q⇔¬ r⇒¬ p且¬p⇏¬ r，故④正确.
故选：ABD
19、下列结论正确的是（）
A．“x2＞1”是“x＞1”的充分不必要条件
B．设M⫋N，则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件
C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件
D．“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件
答案：BC
分析：根据不等式的性质可判断A和D；由集合之间的包含关系可判断B；由数的奇偶性可判断C．
对于选项A：x2>1⇒x>1，x>1⇒x2>1，所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件，故A错误；
对于选项B：由MN得∁R N∁R M，则x∉N⇒x∉M，x∉M⇒x∉N，所以“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件，故B正确；
对于选项C：由“a，b都是偶数”可以得到“a+b是偶数”，但是当“a+b是偶数”时，a，b可能都是奇数，所以“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故C正确；
对于选项D：“a>1，且b>1”⇒“a+b>2且ab>1”，而由“a+b>2且ab>1”⇒“a>1，且b>1”，比如
a=3，b=1
2
. 所以“a>1，且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要条件，故D错误.
故选：BC．
20、设集合M={x|a<x<3+a}，N={x|x<2或x>4}，则下列结论中正确的是（）
A．若a<−1，则M⊆N B．若a>4，则M⊆N
C．若M∪N=R，则1<a<2D．若M∩N≠∅，则1<a<2
答案：ABC
解析：根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD.
对于A，若a<−1，则3+a<2，则M⊆N，故A正确；
对于B，若a>4，则显然任意x∈M，则x>4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；
对于C，若M∪N=R，则{a<2
3+a>4，解得1<a<2，故C正确；
对于D，若M∩N=∅，则{a≥2
3+a≤4，不等式无解，则若M∩N≠∅，a∈R，故D错误.
故选：ABC.
填空题
21、若命题：“存在整数x使不等式(kx−k2−1)(x−2)<0成立”是假命题，则实数k的取值范围是_________．
答案：[3−√5
2,3+√5
2
]；
分析：依题意，不存在整数x使不等式(kx−k2−1)(x−2)<0成立，设不等式(kx−k2−1)(x−2)<0的解集为A，分情况讨论k大于0且不等于1，k等于1，小于0和等于0四种情况讨论，可得答案．
“存在整数x使不等式(kx−k2−1)(x−2)<0成立”是假命题，即不存在整数x使不等式(kx−k2−1)(x−2)< 0成立．
设不等式(kx−k2−1)(x−2)<0的解集为A，
当k=0时，得x>2，不合题意；
当k>0且k≠1时，原不等式化为[x−(k+1
k
)](x−2)<0，
∵k+1
k >2，∴A=(2,k+1
k
)，要使不存在整数x使不等式(kx−k2−1)(x−2)<0成立，
须k+1
k ≤3，解得：3−√5
2
⩽k⩽3+√5
2
且k≠1；
当k=1时，A=∅，合题意，
当k<0时，原不等式化为[x−(k+1
k )](x−2)>0，A=(−∞,k+1
k
)∪(2,+∞)，不合题意，
综上所述，3−√5
2⩽k⩽3+√5
2
．
所以答案是：[3−√5
2,3+√5
2
]
22、用符号∈或∉填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____N∗，3.1____Q，3.1___R.
答案：∉∉∉∈∈
分析：由元素与集合的关系求解即可
因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，
所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N∗；3.1∈Q；3.1∈R.
所以答案是：∉，∉，∉，∈，∈.
23、已知集合A={x|x2+ax+b=0}，B={3}，若A=B，则实数a+b= _______
11
答案：3
分析：由题知方程x2+ax+b=0有且只有一个实数根x=3，进而得{a 2−4b=0
3a+b+9=0
，再解方程即可得答案. 解：因为A=B={3}，
所以方程x2+ax+b=0有且只有一个实数根x=3，
所以{a2−4b=0
3a+b+9=0
，解得a=−6,b=9.
所以a+b=3
所以答案是：3
12。