人教版初中数学反比例函数难题汇编及答案解析

人教版初中数学反比例函数难题汇编及答案解析
一、选择题
1．已知反比例函数k
y x
=的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ∆的面积为
3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命
题个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤
∃∈-≤⎢⎥⎣⎦
，y 2=2k x ，
然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k
y x
=的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0，
∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤
∃∈-≤⎢
⎥⎣⎦
，y 2=2k x ，
∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ，
①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1
OC?AC 2=11x ?y k =322
=， ∴6k
=-，故①正确；
②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212
0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．如图，点P 是反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象上任意一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M . 连接OP . 若POM ∆的面积等于2. 5，则k 的值等于 （ ）
A ．5-
B ．5
C ． 2.5-
D ．2. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
利用反比例函数k 的几何意义得到1
2
|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k 的值． 【详解】
解：∵△POM 的面积等于2.5， ∴
1
2
|k|=2.5， 而k ＜0， ∴k=-5， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=
k
x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
3．如图，点A 、B 在函数k
y x
=
（0x >，0k >且k 是常数）的图像上，且点A 在点B 的左侧过点A 作AM x ⊥轴，垂足为M ，过点B 作BN y ⊥轴，垂足为N ，AM 与BN
的交点为C ，连结AB 、MN ．若CMN ∆和ABC ∆的面积分别为1和4，则k 的值为（ ）
A．4 B．42C．5
2
2
D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
设点M（a，0），N（0，b），然后可表示出点A、B、C的坐标，根据CMN
∆的面积为1可求出ab＝2，根据ABC
∆的面积为4列方程整理，可求出k．
【详解】
解：设点M（a，0），N（0，b），
∵AM⊥x轴，且点A在反比例函数
k
y
x
=的图象上，
∴点A的坐标为（a，k
a
），
∵BN⊥y轴，
同理可得：B（k
b
，b），则点C（a，b），
∵S△CMN＝1
2
NC•MC＝
1
2
ab＝1，
∴ab＝2，
∵AC＝k
a
−b，BC＝
k
b
−a，
∴S△ABC＝1
2
AC•BC＝
1
2
(
k
a
−b)•(
k
b
−a)＝4，即8
k ab k ab
a b
--
⋅=，
∴()2216
k-=，
解得：k＝6或k＝−2（舍去），
故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算等，解答本题的关键是明确题意，利用三角形的面积列方程求解．
4．如图，A，B是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标
分别是2和4，则△OAB的面积是（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =
1
2
×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD+AC ）•CD=1
2
×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．
【详解】∵A ，B 是反比例函数y=4
x
在第一象限内的图象上的两点， 且A ，B 两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A （2，2）， 当x=4时，y=1，即B （4，1），
如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，
则S △AOC =S △BOD =
1
2
×4=2， ∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ， ∴S △AOB =S 梯形ABDC ，
∵S 梯形ABDC =
12（BD+AC ）•CD=1
2
×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3， 故选B ．
【点睛】本题考查了反比例函数()0k
y k x
=
≠中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S=
1
2
|k|是解题的关键．
5．若函数2
m y x
+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣2
B ．m ＜﹣2
C．m＞2 D．m＜2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，可得m+2＜0，从而得出m的取值范围．【详解】
∵函数
2
m
y
x
+
=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m+2＜0，
解得m＜-2．
故选B．
6．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）
A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【解析】
分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=，
∴BO=，
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB=，
∴点B的坐标为（−，），
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴，
解得，k=-3， 故选C ．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x =+的图象与函数1
y x
=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4
B ．
011<x <43
C ．01
1<x <
32
D ．
01
<x <12
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1
y x
=
的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】
解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2
y x 2=+与1
y x
=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当x=14时，2
1y x 2216=+=，1y 4x
==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，2
1229y x =+=，1y 3x
==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=
12时，2
1224y x =+=，1y 2x
==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2
y x 23=+=，1
y 1x
=
=，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <
32
．
故选C．
【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
8．下列各点中，在反比例函数
3
y
x
图象上的是（）
A．(3，1) B．（-3，1）C．(3，1
3
) D．（
1
3
，3）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.
【详解】
解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；
B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；
C、∵
1
3=13
3
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；
D、∵1
3=13
3
垂, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；
故选A.
9．如图，点A是反比例函数y＝k
x
（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形
ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE=|k|．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=|k|，
∴|k|=8，
而k＜0
∴k=-8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数y=k
x
（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=
k
x
（k≠0）图象
上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．如图，在平面直角坐标系中，函数y =kx 与y =-2
x
的图象交于 A、B 两点，过 A 作 y
轴的垂线，交函数
4
y
x
=的图象于点 C，连接 BC，则△ABC 的面积为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，根据图象先证明△AOC与△COB的面积相等，再根据题意分别计算出△AOD与△ODC的面积即可得△ABC的面积.
【详解】
连接OC，设AC⊥y轴交y轴为点D，
如图，
∵反比例函数y=-2
x
为对称图形，
∴O为AB 的中点，∴S△AOC=S△COB，
∵由题意得A点在y=-2
x
上，B点在y=
4
x
上，
∴S△AOD=1
2
×OD×AD=
1
2
xy=1；
S△COD=1
2
×OC×OD=
1
2
xy=2；
S△AOC= S△AOD+ S△COD=3，
∴S△ABC= S△AOC+S△COB=6.
故答案选C.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算.
11．函数y=1-k
x
与y=2x的图象没有交点,则k的取值范围是()
A．k<0 B．k<1 C．k>0 D．k>1
【答案】D
【解析】
【分析】
由于两个函数没有交点，那么联立两函数解析式所得的方程无解．由此可求出k的取值范围．
【详解】
令1-k
x
=2x，化简得：x2=
1-
2
k
；由于两函数无交点，因此
1-
2
k
＜0，即k＞1．
故选D．
【点睛】
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．如果两函数无交点，那么联立两函数解析式所得的方程（组）无解．
12．如图，已知在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，AOB V 是直角三角形，
90AOB ∠=︒，2OB OA =，点B 在反比例函数2
y x =
上，若点A 在反比例函数k y x
=上，则k 的值为( )
A ．
1
2
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
【答案】B 【解析】 【分析】
通过添加辅助线构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质可求得1,2x A x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，然后由点的坐标即可求得答案． 【详解】
解：过点B 作BE x ⊥于点E ，过点A 作AF x ⊥于点F ，如图：
∵点B 在反比例函数2
y x
=上 ∴设2,
B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴OE x =，2BE x
= ∵90AOB ∠=︒
∴90AOD BOD ∠+∠=︒ ∴90BOE AOF ∠+∠=︒
∵BE x ⊥，AF x ⊥
∴90BEO OFA ∠=∠=︒
∴90OAF AOF ∠+∠=︒
∴BOE OAF ∠=∠
∴BOE OAF V V ∽
∵2OB OA = ∴12OF AF OA BE OE BO ===
∴121122OF BE x x =⋅
=⋅=，11222x AF OE x =⋅=⋅= ∴1,2x A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
∵点A 在反比例函数k y x
=上 ∴12x k x
=- ∴12k =-
． 故选：B
【点睛】
本题考查了反比例函数与相似三角形的综合应用，点在函数图象上则点的坐标就满足函数解析式，结合已知条件能根据相似三角形的性质求得点A 的坐标是解决问题的关键．
13．如图，点A 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，点B 在反比例函数3(0)y x x
=>的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形ABCO 的面积是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 因为四边形ABCO 是平行四边形，所以点A 、B 纵坐标相等，即可求得A 、B 横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCO 是平行四边形
∴点A 、B 纵坐标相等
设纵坐标为b ，将y=b 带入3(0)y x x =-<和3(0)y x x
=>中， 则A 点横坐标为3b -
，B 点横坐标为3b ∴AB=336()b b b
--= ∴66ABCO S b b =
⨯=Y 故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．
14．反比例函数21k y x
+=的图象上有两点()11,A a y -，()21,B a y +，若12y y <，则a 的取值范围（ ）
A ．1a <-
B ．1a >
C ．11a -<<
D ．这样的a 值不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
由210k +>得出在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，然后结合反比例函数的图象进行求解．
【详解】 210k +>Q ，
∴在同一分支上，反比例函数y 随x 的增大而减小，
11a a -<+Q ，12y y <，
∴点A ，B 不可能在同一分支上，只能为位于不同的两支上，
10a ∴-<且10a +>，
11a ∴-<<，
故选C ．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，注意反比例函数的图象有两个分支．
15．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x
=>的图象上任意一点，AB x P 轴交反比例函数
3y x =-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD Y ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCD S Y 为（ ）
A ．2.5
B ．3.5
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】
【分析】 过点B 作BH ⊥x 轴于H ，根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同，由题意可设点A 的
坐标为（
2a
，a ），点B 的坐标为（3a -，a ），即可求出BH 和AB ，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论．
【详解】
解：过点B 作BH ⊥x 轴于H
∵四边形ABCD 为平行四边形
∴//AB x 轴，CD=AB
∴点A 和点B 的纵坐标相同
由题意可设点A 的坐标为（
2a ，a ），点B 的坐标为（3a -，a ） ∴BH=a ，CD=AB=2a －（3a -）=5a
∴ABCD S Y =BH·
CD=5 故选D ．
【点睛】
此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．
16．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，△AOB 的两边分别与函数12,y y x x
=-=的图象交于B 、A 两点，则等于（ ）
A ．22
B ．12
C ．14
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
过点A,B 作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足分别为C,D.根据条件得到△ACO ∽△ODB.根据反比例函
数比例系数k 的几何意义得出2()S OBD OB S AOC OA ∆=∆＝121
＝12利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出
2OB OA = 【详解】 ∵∠AOB ＝90°，
∴∠AOC +∠BOD ＝∠AOC +∠CAO ＝90°，
∠CAO ＝∠BOD ，
∴△ACO ∽△BDO ，
∴2()S OBD OB S AOC OA
∆=∆ , ∵S △AOC ＝12 ×2＝1，S △BOD ＝12×1＝12
， ∴2()OB OA ＝121
＝12 ， ∴2OB OA =， 故选A ．
【点睛】
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和相似三角形的判定与性质，解题关键在于做
辅助线，然后得到相似三角形再进行求解
17．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数
k y
x =
在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若4
AB=，2
CE
BE
=，
3
4
AD
OA
=，则线段BC的长度为（）
A．1 B．
3
2
C．2 D．23
【答案】B
【解析】
【分析】
设OA为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D和点E 的坐标(用a表示)，代入反比例函数可求得a的值，进而得出BC长.
【详解】
设OA=4a
根据2
CE
BE
=，
3
4
AD
OA
=得：AD=3a，CE=2a，BE=a
∴D(4a，3a)，E(4a+4，a)
将这两点代入解析得；
3
4
44
k
a
a
k
a
a
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪+
⎩
解得：a=
1
2
∴BC=AD=
3
2
故选：B
【点睛】
本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D、E的坐标，然后代入解析式求解.
18．已知反比例函数y=﹣
8
x
，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【答案】B
【解析】
【分析】 根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案．
【详解】
①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）；
②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内；
③k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，错误；
④k=﹣8＜0，每一象限内，y 随x 的增大而增大，若0＞x ＞﹣1，﹣y ＞8，故④错误， 故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
19．如图，A 、C 是函数1y x
=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S >
B ．12S S <
C ．12=S S
D ．由A 、C 两点的位置确定
【答案】C
【解析】
【分析】 根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
12k|． 【详解】
由题意得：S 1=S 2=
12|k|=12
． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数y ＝k x
中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．
20．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）
A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>
B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80
C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半
D ．当60100V 剟时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D
【解析】
【分析】
A ．气压P 与体积V 表达式为P=
k V ,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070
V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解；
D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解．
【详解】
解：当V=60时，P=100，则PV=6000，
A ．气压P 与体积V 表达式为P=
k V ，k ＞0，故本选项不符合题意； B ．当P=70时，V=600070
＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答
该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．。