备战2024年中考数学压轴题之二次函数篇(全国通用)专题13 二次函数-费马点求最小值(学生版)

第十三讲二次函数--费马点最值
必备知识点
费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点
【结论】
如图，点M 为锐角△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC
的值最小
【证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．∵△ABE 为等边三角形，
∴AB ＝BE ，∠ABE ＝60°．
而∠MBN ＝60°，
∴∠ABM ＝∠EBN ．
在△AMB 与△ENB 中，
∵，
∴△AMB ≌△ENB （SAS ）．
连接MN ．由△AMB ≌△ENB 知，AM ＝EN ．
∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，
∴△BMN 为等边三角形．
∴BM ＝MN ．
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∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；
∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

点P 为锐角△ABC 内任意一点，连接AP 、BP 、CP ，求xAP+yBP+zCP 最小值
解决办法：
第一步，选定固定不变线段；
第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

如：保持BP 不变，xAP+yBP+zCP=)(
y CP y
z BP AP y x ，如图所示，B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值。

例：点P 为锐角△ABC 内任意一点，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，连接AP 、BP 、CP ，求3AP+4BP+5CP 的最小值
【分析】将△APC 绕C 点顺时针转90°到△A 1P 1C ，过P 2作P 1A 1的平行线，交CA 1于点A 2，且满足A 2P 2：P 1A 1=3：4.
在Rt △PCP 2中，设PC=a ，由△CA 2P 2∽△CA 1P 1得CP 2=3a/4，则PP2=5a/4。

∴3AP+4BP+5CP=)4
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(4CP BP AP ∴B 、P 、P 2、A 2四点共线时，取得最小值。

接触BA 2长度即可。

方法点拨
一、题型特征：PA+PB+PC（P为动点）
①一动点，三定点
②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点。

③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点
二、模型本质：两点之间，线段最短。

例题演练
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．
（1）求抛物线与直线的解析式；
（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴
交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点
I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．
（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．
2．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；
（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP 的解析式．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，
OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F 的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；
（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+过点A（1，0），B（5，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长．已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离．
（3）在（2）中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴
交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为．
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
（4）连接BC，点M为△ABC内一点，若∠ABC＝60°，求MA+MB+MC的最小值为．。