特征方程重根 通项公式

特征方程重根通项公式
比如说，一个线性齐次递推数列的特征多项式为P(某)=(某-1)^2(某
+2)，其中(某-1)重复出现了两次。

这种情况下，就需要使用通项公式来
求解递推数列。

通项公式的求解方法是先使用常规的特征方程解法求出P(某)的所有
根和它们的重数，然后根据不同的重数计算出相应的通项公式。

对于重根，需要使用一些特殊的方法来求解。

假设线性齐次递推数列的特征方程为P(某)=(某-a)^kq(某)，其中a
是一个根，k是它的重数，q(某)是另一个多项式，它的根都不等于a。

根
据特征方程的定义，它的通项公式可以写成：
f(n) = c1 a^n + c2 n a^n + ··· + ck-1 n^(k-2) a^n + pk(n) q(n)，其中 pk(n) 是一个多项式，它的次数小于 k-1。

上式的第一项是由根 a 的贡献引起的，第二项是由根 a 和它的一阶
导数引起的，依此类推，最后一项是由其它根引起的。

pk(n) q(n) 是由
q(某) 的根引起的。

将通项公式的各项展开，可以得到：
f(n) = c1 a^n + c2 n a^n + ··· + ck-1 n^(k-2) a^n + pk(n) Σbi q_i^n，i≠a
其中 bi 表示 q(某) 的根除了 a 之外的每个根 i，q_i 表示以 i
为根的项式。

需要注意的是，在求解通项公式的过程中，需要考虑到根a和它的k-1阶导数的算法。

对于一个给定的k，可以使用递推的方法将它们的值都算出来，然后代入公式中求解即可。

总之，特征方程重根的通项公式是一种比较复杂的求解递推数列的方法，需要对数学知识有比较深入的了解和掌握。

在实际应用中，需要依据具体情况来选择恰当的解法，才能达到最优的效果。