【人教版】2019年春八年级数学下册：第1课时 正方形的性质

18.2.3 正方形 第1课时 正方形的性质
1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算；(重点)
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．(难点)
一、情境导入
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
问题：什么样的四边形是正方形？ 二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型一】 特殊平行四边形的性质的综合
菱形，矩形，正方形都具有的性质是( ) A ．对角线相等且互相平分 B ．对角线相等且互相垂直平分 C ．对角线互相平分
D ．四条边相等，四个角相等
解析：选项A 不正确，菱形的对角线不相等；选项B 不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不
互相垂直；选项C 正确，三者均具有此性质；选项D
不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相
等．故选C.
方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩
形、菱形的所有性质． 利用正方形的性质解决线段的计算或
证明问题
如图所示，正方形ABCD 的边长为1，AC
是对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC 于点F .
(1)求证：BE ＝CF ； (2)求BE 的长．
解析：(1)由角平分线的性质可得到BE ＝EF ，再证明△CEF 为等腰直角三角形，即可证BE ＝CF ；(2)设BE ＝x ，在△CEF 中可表示出CE .由BC ＝1，可列出方程，即可求得BE .
(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝90°.∵EF ⊥AC ，∴∠EF A ＝90°.∵AE 平分∠BAC ，∴BE ＝EF .又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝45°，∴∠FEC ＝∠FCE ＝45°，∴EF ＝FC ，∴BE ＝CF ；
(2)解：设BE ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，CE ＝1－x .在Rt △CEF 中，由勾股定理可得CE ＝2x .∴2x ＝1－x ，解得x ＝2－1，即BE 的长为2－1.
方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三
角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此
正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角
三角形中去解决．
利用正方形的性质解决角的计算或证明问题
在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，
连接DF，点E为DF的中点．连接BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB
＝CD，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD
＝∠ADC＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半”可得AE＝EF＝DE＝1
2DF，根据“等
边对等角”可得∠EAD＝∠EDA，再得出∠BAE＝
∠CDE，然后利用“SAS”证明即可；(2)根据“全等三
角形对应边相等”可得EB＝EC，再得出△BCE是等
边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，
然后求出∠ABE＝30°.再根据“等腰三角形两底角相
等”求出∠BAE，然后根据“等边对等角”可得∠AFD
＝∠BAE.
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD
＝∠ADC＝90°.∵点E为DF中点，∴AE＝EF＝DE＝
1
2DF，∴∠EAD＝∠EDA.∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，
∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE.在
△AEB和△DEC中，
⎩⎪
⎨
⎪⎧
AB＝CD，
∠BAE＝∠CDE，
AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC(SAS)；
(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC.∵EB＝BC，
∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC
＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°.∵EB＝BC＝AB，
∴∠BAE＝
1
2×(180°－30°)＝75°.又∵AE＝EF，
∴∠AFD＝∠BAE＝75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正
方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，
要注意分析图形中有哪些相等的线段等．
探究点二：正方形性质的综合应用
【类型一】利用正方形的性质解决线段的倍、
分、
和、差关系
如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分
线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、
BD相交于O.
求证：
(1)BE＝BF；
(2)OF＝
1
2CE.
解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE＝
∠AOF＝90°.由于AE是正方形ABCD中∠BAC的平分
线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO＝
∠AEB.根据“对顶角相等”即可求得∠BFE＝
∠AEB，BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角
形的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG＝1
2CE.根据
平行线的性质即可求得∠OGF＝∠FEB，从而证得
∠OGF＝∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝
1
2CE.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴∠ABE＝∠AOF＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝∠CAE
＋∠AFO＝90°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝
∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB.又∵∠AFO＝∠BFE，
∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；
(2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，AG＝EG，
∴OG∥BC，OG＝
1
2CE，∴∠OGF＝∠FEB.∵∠AFO
＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝
1
2CE .
方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．
【类型二】 有关正方形性质的综合应用题
如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，
B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则A
C 长是________cm.
解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，
⎩⎪⎨
⎪⎧AD ＝AB ，
AE ＝AF ，
∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S △AFB .∵S
四边形ABCD ＝24cm 2，∴S 正方形AFCE ＝24cm 2
，
∴AE ＝EC ＝26cm.根据勾股定理得AC ＝
（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3. 方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．
三、板书设计
1．正方形的定义和性质
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．
对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
2．正方形性质的综合应用
通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．。