2019年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (含解析)

2019年4月浙江省普通高中学业水平考
试数学试题 (含解析)
1.函数y=log_3(x-2)的定义域为{x|x>2}，因为要使函数有意义，x-2>0，解得x>
2.
2.直线y=-2x+6的斜率为-2.
3.将A、B、C、D四个选项代入不等式3x+2y-6>0中，可得(1,2)点在不等式所表示的平面区域内。

4.设{a_n}为等差数列，若a_2=2，a_3=3，则a_5=
5.设等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d，由题意可得a_1+d=2，a_1+2d=3，解得a_1=1，d=1，因此a_5=a_1+4d=5.
5.若α为锐角，sinα=3/5，则cosα=-4/5.由勾股定理可得cosα=-4/5.
6.椭圆x^2/2+y^2/1=1右焦点的坐标为(1,0)。

由椭圆的标准方程可知，a^2=2，b^2=1，因此c=sqrt(a^2-b^2)=1，右焦点的坐标为(a+c,0)=(1,0)。

7.删除该题，因为题目内容缺失。

8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD=DB。

若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为45°。

连接BD的中点O，由题意可知，PO=OD，且
∠POD=90°。

因此三角形POD为等腰直角三角形，
∠ODP=45°。

又因为PM=MB，所以∠DPM=∠MPB=45°。

因此直线DM与平面ABCD的法线向量分别为DP和DA，它们的夹角为45°。

因此直线DM与平面ABCD所成的角为45°。

n
则下列结论正确的是（）
A.①②③④中至少有两个数列的前n项和相等
B.①②③④中至少有两个数列的前n项积相等
C.①②③④中至少有两个数列的前n项项和相等
D.①②③④中至少有两个数列的前n项项积相等
答案】D
解析】由等比数列的通项公式可知，{2a
n
和{a
n
都是等比数列，{2n}和{log
2
a
n
都是等差数列。

且它们的公比或公差之间存在一定的关系。

所以只有选项D中的结论是正确的。

1
AP在平面ABB
1
A
1
上，设AP与AB
1
的交点为E，则AE APcos EAB
1
APcos ADB
1
ABE90，∴BE AB
1
cos EAB
1
2cos ADB
1
PE PA AE1APcos ADB
1
1
1
BE
AP
PE21
1
BE
AP
2
PE2BE21，即点P的轨迹为以B为圆心，BE为半径的圆。

故选B.
1.连接$AD$、$BD$，则$\triangle ADB$为等腰三角形，$\angle ADB=120^\circ$。

又因为$\triangle ADB$和$\triangle APB$共顶点$B$，$\angle ADB=\angle APB$，所以$\angle APB=120^\circ$。

连接$A_1B$交$AB_1$于$O$点，则$O$为$AB_1$的中点，连接$PO$。

因为$AB_1\perp A_1B$，
$AB_1\perp AP$，所以$AB_1\perp$平面$A_1BP$，又
$AB_1\perp$平面$A_1BCD$，所以平面$A_1BP$与平面
$A_1BCD$重合，即点$P$在平面$A_1BCD$上。

因为
$PO\parallel$平面$A_1BCD$，所以$AB_1\perp PO$。

又
$O$为$AB_1$的中点，所以$PO$为$AB_1$的中垂线。

2.根据勾股定理，$x^2+y^2=2^2+3^2=13$。

又因为
$x+4y=2$，所以$x=2-4y$，代入原式得$y^2-4y+1=0$，解得
$y=2\pm\sqrt{3}$。

所以$xy$的最大值为$(2+\sqrt{3})\cdot(2-
\sqrt{3})=\boxed{1}$。

3.因为$A$、$B$、$C$三点在同一圆上，所以$\triangle ABC$为直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$。

又因为$AB=2$，所以$AC\cdot AB=2\cdot AC$，所以$AC\cdot AB=2$。

4.由题意得$S_n=a_n+\frac{1}{n}$，所以$a_n=S_n-
\frac{1}{n}$。

又因为$2a_n>a_n^2$，所以$2(S_n-
\frac{1}{n})>(S_n-\frac{1}{n})^2$，化简得$S_na_n^2>k$成立，所以$a_n>\sqrt{k}>0$，所以
$S_n=\sum\limits_{i=1}^na_i>\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{k}=\sqrt {k}\cdot n$。

所以$\sqrt{k}\cdot na_n^2>k$恒成立，所以$k$的
最大值为$\boxed{1}$。

2.解答题
23.已知函数 $f(x)=2\sin x\sin(x+\frac{\pi}{2})$。

1）求 $f(0)$ 的值；
2）求 $f(x)$ 的最小正周期；
3）若 $y=f(x+\phi)(0<\phi<\frac{\pi}{2})$，求 $\phi$ 的值。

解析】
1）由题意可得 $f(0)=2\sin 0\sin(\frac{\pi}{2})=0$。

2）$f(x)=2\sin x\sin(x+\frac{\pi}{2})=2\sin x\cos x=\sin 2x$，故 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$。

3）因为 $y=f(x+\phi)=\sin(2x+2\phi)$ 为偶函数，所以对任意 $x\in R$，都有 $\sin(-2x+2\phi)=\sin(2x+2\phi)$，即 $-\sin
2x\cos 2\phi+\cos 2x\sin 2\phi=\sin 2x\cos 2\phi+\cos 2x\sin 2\phi$，
即 $\sin 2x\cos 2\phi=0$，故 $\cos 2\phi=0$，即
$\phi=\frac{\pi}{4}$。

224.如图，不垂直于坐标轴的直线 $l$ 与抛物线
$y=2px(p>0)$ 有且只有一个公共点 $M$。

1）当 $M$ 的坐标为 $(2,2)$ 时，求 $p$ 的值及直线
$l$ 的方程；
2）若直线 $l$ 与圆 $x+y=1$ 相切于点 $N$，求 $|MN|$ 的最小值。

解析】
1）点 $M(2,2)$ 在抛物线 $y=2px$ 上，故有 $2=4p$，所以 $p=1$，从而抛物线方程为 $y=2x$。

设直线 $l$ 的方程为 $x=my+t(m\neq 0)$，代入 $y=2x$，得 $y-2my+4m-4=0$。

由 $l$ 与抛物线相切可知，$\Delta=4m-4(4m-4)=0$，解得$m=2$。

所以直线 $l$ 的方程为 $x-2y+2=0$。

2）设直线 $l$ 的方程为 $x=my+t(m\neq 0)$，代入
$y=2px$，得 $y-2pmy-2pt=0$。

由直线 $l$ 与抛物线相切可知，$\Delta=4pm+8pt=0$，所以 $t=-\frac{p}{2m^2}$。

又因为直线 $l$ 与圆 $x+y=1$ 相切，所以
$|t|=\sqrt{1+m^2}$，即 $t^2=1+m^2$。

将 $t$ 的表达式代入 $t^2=1+m^2$，得
$p^2m^4+4m^4=4m^2$，所以 $p^2=\frac{4}{m^2}-
(\frac{2}{m})^2$。

设 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $y=pm$，从而
$x=my+t=\frac{2m^2-p}{2m}$。

所以 $|MN|=|OM|-|ON|=x+y-1=\frac{2m^2-p}{2m}+pm-
1=\frac{m^2+4}{2m}-1$。

因为 $m^2+4\geq 2\sqrt{16}=8$，所以 $|MN|\geq
\frac{8}{2m}-1$。

又因为 $t^2=1+m^2$，所以 $|t|\geq 1$，即
$|\frac{p}{2m^2}|\geq 1$，所以 $|MN|\geq \sqrt{2}-1$。

当 $m=\sqrt{2}$ 时，取等号，此时 $p=\frac{2}{m^2}-
\frac{2}{m^2}=0$，即直线 $l$ 为 $x=2\sqrt{2}(y-2)$，
$|MN|=\sqrt{2}-1$。

综上所述，$|MN|\geq \sqrt{2}-1$，取等号时 $m=\sqrt{2}$，$p=0$，直线 $l$ 的方程为 $x=2\sqrt{2}(y-2)$，此时
$|MN|=\sqrt{2}-1$。

2时，|MN|有最小值，最小值为22.因此，当|m|=25时，
|MN|≥22.
已知函数f(x)=2ax+bx+a+1的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}。

1）若a=-1，b=2，求f(x)的定义域。

当a=-1，b=2时，有：
x|-x2+2x≥0，且x≥0}
解得：0≤x≤2，因此f(x)的定义域为[0,2]。

2）当a=1时，若f(x)为“同域函数”，求实数b的值。

当a=1时，f(x)=2x+b+2(x≥0)。

ⅰ）当-b/2≤1时，即b≥-2时，f(x)的定义域为[0,+∞)，值域为[2,+∞)，因此b≥-2时，f(x)不是“同域函数”。

ⅱ）当-b/2>1时，即b<-2时，当且仅当Δ=b2-8=0时，f(x)为“同域函数”，解得b=-22.因此，b的值为-22.
3）若存在实数a<且a≠-1，使得f(x)为“同域函数”，求实数b的取值范围。

设f(x)的定义域为A，值域为B。

ⅰ）当a<-1时，a+1<0，此时A∉B，因此f(x)不是“同域函数”。

ⅱ）当-10，设x=-b/2a，则f(x)的定义域A=[0,x]。

①当-b/2a≤0时，即b≤0时，f(x)的值域B=[0,a+1]。

如果f(x)为“同域函数”，则x=a+1，解得b=-(a+1)。

因为-1<a<0，所以b的取值范围为(-1,0)。

②当-b/2a>0时，即b>0时，f(x)的值域B=[0,4a(a+1)-
b2/4a]。

如果f(x)为“同域函数”，则x=-b/2a，解得b=b2-
4a(a+1)(-a-1)。

因为-a-1<0，所以(*)式不成立，因此b的取值范围为(无穷大,-1)。