4.5相似三角形的性质及其应用(1)

4.5 相似三角形的性质及其应用（1）
相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似 比.
1.如图所示，也| ABCD 中, E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ,如果BE ： BC=2： 3，那么下列 各式错误的是（C ）.
2 3
8. 如图所示，已知在厶 ABC 中，AB=3, AC=2 D 是边 AB 上的一点，/ ACD M B,Z BAC 的平 分线AQ 分别与CD BC 交于点P, Q,那么
AQ
9. 如图所示，MN 经过△ ABC 的顶点 A , MIN/ BC 连结DE
AM=AN MC 交 AB 于点 D, NB 交 AC 于点 E ,
（第1 2.如图所示，在△ F 为 BC 边
题）
ABC 中，D 论中，正确的是 上一点， 连结
(C). AF
（第 3 题） ,E 分别为AB, AC 边上的点，DE// BC 点 交
DE 于点 G , 则下列结
(第 4 题)
ftp (E
入
AB~EC * AD~AE
AF 3. 如图所示，AB 是OO 的直径，过点 O 作AB 的垂线与弦 AC 交于点D,连结BC OO 的半径为4,则CD 等于（A ）. A.1.4
B.1.8
C.2.4
D.2.6
4. 如图所示，边长为 12的正方形ABCD 中，有一个小正方形 EFGH 其中点E , F , AB BC, FD 上.若BF=3,则小正方形的边长为（A ）. 15
A.
B.2
Ad AC
EC 若
OD=3 G 分别在
4 J i
AO=3B O 当点 A 在反比例函数
9 y=
x
（x > 0）的图象上移动时，点 B 坐标满足的函数表达式为 (A).
A.y=-
C.y=- 1 (x v 0)
x —(x v 0) 3x
B.y=- D.y=-
3 (x v 0)
x
丄(x v 0) 9x
6.如图所示,点 D, 长为10
.
E 分另【J 在 AB AC 上,且/ ABC d AED 若
DE=4, AE=5 BC=8 贝U AB 的 7.如图所示,在
ABCD 中, E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点
F ,如果聖
Z ，那么匹
FD 3 BC
AP 2 A 匚的值为-
3
■'
(第 2 题)
Rt △ OAB 的顶点与坐标原点重合，/ AOB=90 , 5.如图所示, C.4 D.5
(第 8 题)
(第 7 题)
（1） 求证：DE// BC
（2） 若 DE=1, BC=3 求 MN 的长.
—=
-— -—■= —-
A D AE
【答案】（1） ••• MN/ BC •••{*.••• AM=AN ••• ——=——.••• DE// BC.
10. 如图所示，已知矩形 ABCD 勺两条对角线相交于点 0,过点A 作AGL BD 分别交BD, BC 于 点 G, E.
（1） 求证：BE"=EG- EA.
（2） 连结 CG 若 BE=CE 求证：/ ECG M EAC.
善 ----- 卞 ------- I'（第10题）
【答案】（1） I 四边形 ABCD 是矩形，ABC=90 . v AE1 BD
BGE=90 =Z ABC.
EA BE 2 •••/BEG M AEB ABE BGE/. = . • BE=EG EA.
BE EG
CE AE
⑵由（1）证得 BE=EG- EA •/ BE=C E •- CE=EG ・ EA.= = . vM CEG M AEC •△ CEG
EG CE
AECECG M EAC.
11. 如图所示，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为3 , P 为斜边BC 上一点，且BP=1 , D 为AC 上一
点•若/ APD=45 ,则CD 的长为（C.
13. 如图所示,在厶 ABC 中，AB=AC=aBC=bba > b ），在△ ABC 内依次作/ CBD M A, M DCE M
（第 9
题） AD AE
BD EC
（2） T DE// BC ；
•
MN=2AM=3.
（第11题）
（第
14
（第 12
题）
13题）
题）
12.如图所示，D 是等边三角形 ABC 边AB 上的一点，且 AD ： DB=1 : 2,现将△ ABC 折叠，使 点C 与D 重合，折痕为 EF ,点E , F 分别在AC 和BC 上 ,贝U CE ： CF 等于（B ）.
CBD 则DE等于（C）.
14. 如图所示，在矩形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点0,过点A 作EALCA 交DB 的延长线
AC
7 于点E ,若AB=3, BC=4则——的值为——.
AE
24
15. 如图所示，在 ABCD 中,过点A 作AE1BC ,垂足为点E ,连结DE F 为线段DE 上一点， 且/ AFE=/ B.若 AB=5
（第16题答
图）
16. 如图所示，在厶 ABC 中，AB=AC=6 / A=2Z BDC BD 交 AC 边于点 E ,且 AE=4,贝U BE- DE= 20 .
1
【解析】如答图所示，延长CA 到点F ,使得AF=AB,连结BF ,则/ F=Z ABF= —
2 BE
/ BAC.vZ BAC=Z BDC , F=Z BDC.又 v/ FEB * DEC ,
FEB s △ DEC /.
CE
1
.•直线 AD 的函数表达式为 y= — x+1.
2
⑵•/直线 AD 与x 轴的交点为（-2, 0）, • OB=2.v 点 D 的坐标为（0 ,
OB 2
OD 2
= 5. •/ y=-x+3 与 x 轴交于点 C （3 , 0） , • OC=3. • BC=5.
BO OD
2 1
①如答图1所示，当：公 BOD^^ BCE 时，贝U
=
, / BCE * BOD=90 , / =
,解
BC CE 5 CE
. v AE=4 AB=AC=6 • EF=1Q
DE
CE=2.「. 匹=卫.• BE- DE=20.
2 DE
17.如图所示，在平面直角坐标系中,
4
直线y=-x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点A （—,
3
5
），点D 的坐标为（0 , 1）.
3
（不与点 B 重合），当△ BOD M^ BCE
（0,1）代入，得
1）, ••• 0D=1/. BD=
AD=8 AE=4,贝U AF 的长为 2
5
（第
（1） 求直线AD 的函数表达式. （2） 直线AD 与x 轴交于
B ,若点 图2
4
5
【答案】（1）设直线 AD 的函数表达式为 y=kx+b.将A （ , - ） ,
D
E 是直线AD 上一动点
5 5
得CE=—. •••点E的坐标为（3, ）.
2 2
|岂=空即虫=空
F ,易知△ BEF s^BCE,.」* 5 胪，解得 EF=2.
二CF=.CE 2 EF 2 =1. ••• OF=2. •••点E 的坐标为(2 ,2).综上可得点E 的坐标为(3 ,-)或(2 ,
2
2).
18. 如图所示，在梯形 ABCD 中, AD// BC / BCD=90，对角线 AC, BD 交于点E ,且ACLBD (1)求证：
C D=BC ・ AD
【答 案】 (1) I AD// BC , / BCD=90 ,
ADC M BCD=90 . v AC L BD
AD CD
•••/ ACD # ACB M CBD # ACB=90 .
ACD M CBD .A ACD s △ DBC. ——=—— , 即
CD BC C D=BC ・
AD .
(2) v AD// BC ADB M DBF // / BAF=/ DBF •/ ADB M BAF.v/ ABG M DBA •△ ABG
p 。

' _川胛 _ HG * HD_ HC SIF _ BD 7 SIP BD
19. 【深圳】如图所示，在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90 , AB=3 BC=4 Rt △ MPN 的直角顶点 P 在 AC 上 , PM 交 AB 于点 E , PN 交 BC 于点 F ,当 PE=2PF 时,AP= 3 .
20. 【杭州】如图所示,在锐角三角形 ABC 中，点D, E 分别在边AC, AB 上 , AGLBC 于点G, AF L
DE 于点 F , / EAF=/ GAC. (1)求证：△ AD0A ABC.
AF
(2 )若 AD=3 AB=5求 的值•
AG
②如答图2所示，当△
过点E 作EF ±x 轴于点 (2) F 是BC 边上一点，连结 AF 与BD 交于点G,如果/ BAFK DBF 求证:
AG 2
AD 2
=BGBD (第 18 题)
s △ DBA..
DBA ,
BG
AB 2
• AB =BG-
AB
BD
(第 19题)
BEC 时，贝
U
,解得 BE=25 CE=5.
打
'(第20题)
【答案】 ⑴ I AGL BC AF 丄 DEAFE * AGC=90 . v/ EAFg GAC 「./AED M ACB 又 / EAD * BACADE s\ABC. AD = =3 . v AFE=* AGC /EAF / CAG 「△ EAF s △ AB AC 5
PE=n,用m n 把PA PB 分别表示出来，再在 Rt △ APE Rt △ BPF 中利用勾股定理计算，消 去m n 即可得证.
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程 (2 )利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD 中 , O 为对角线AC, BD 的交点，E , F 分别为线段AQ DO 的中点， 连结BE, CF 并延长交于点 M BM CM 分别交AD 于点G, H,如图2所示，求M G+M H 的值.
【答案】 ⑴ 设PF=m PE=n,连结EF. v AF, BE 是△ ABC 的中线，•/ EF
ABC 的中位线，
PF 卜:F | n m I
AE=-b , BF=-a. / EF// AB EF=- c. /•△ EPF s^ BPA./ fli
J 灯一 2’即丿如一尸\ 2
2 2 2
1
/ PB=2n PA=2m 在 Rt △ AEP 中，v Ph+PA=Ah , /.n 2+4n i = b 2①.在 Rt △ BFP 中，v PF 2+P B'=BF 2 ,
4
11 1
/.m +4n 2= a 2②.①+②得 5 (n 2+m )=— (a 2+b 2),在 Rt △ EFP 中，v P W+PF^E F , /.n +m=-
4 4 4
2 I 2 I 2 2 2 2 2 c . •/ 5 — c =— (a +b ) . /-a +b =5c .
4 4
⑵v 四边形 ABCD 为菱形，•/ BD L AC.v E , F 分别为线段 AQ DO 的中点，由(1)的结论得
AG AE 1
M B+M C=5BC=5X3=45. v AG/ BC
AEG^ △ CEB./
. / AG=1.同理可得 DH=1 ,
/ GH=1. v GH // BC , / •而—汞—応—丁. / MB=3MG , MC=3MH. / 9MG 2
+9MH 2
=45. /
MG 2+MH 2=5.
(2)由(1)知厶 ADE s △ ABC, CAG/-
AF AE AF 3 AG AC
AG 5
21.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图
垂足为点 P ，设BC=a AC=b AB=c.求证:
1所示，已知 AF , BE 是△ ABC 的中线，且 AF L BE a 2+b 2=5c 2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连结EF ,利用EFABC 的中位线得到△
EPF s^ BPA 故
,设 PF=m
图2
(第21题)。