4 小结与复习七年级上册数学华东师大版

重难剖析 重难点3 平行线的判定和性质
3. 如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 D、C 分别落在点 D′、C′ 的位置上，ED′ 与BC 的交点 为 G，若∠EFG = 55°，求∠1、∠2 的度数.
重难剖析 重难点3 平行线的判定和性质
解：由题意可知 AD//BC， ∴∠3 =∠EFG = 55°(两直线平行，内错角相等). 由折叠的性质可知∠4 =∠3 = 55°. ∴∠1 = 180°−∠4 −∠3 = 180°− 55°− 55°= 70°. ∵AD//BC， ∴∠1+∠2 =180°(两直线平行，同旁内角互补). ∴∠2 = 180°−∠1 = 180°−70°= 110°.
重难剖析 重难点2 点到直线的距离
如图，AC⊥BC, CD⊥AB 于点 D, CD=4.8 cm, AC=6 cm， BC=8 cm，则点 C 到 AB 的距离是 4.8 cm；点 A 到 BC 的距离是 6 cm；点 B 到 AC 的距离是 8 cm.
AC
CD
BC
C
B
DA
重难剖析 重难点3 平行线的判定和性质
∴ ∠3＝∠4＝90°，
cd
∴ a//b，∴ ∠5＝∠2.
a
∵ ∠5＝∠1，∴ ∠2＝∠1.
b
能力提升
1. 如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于点 O，且
CD⊥EF，∠AOE＝70°，若 OG 平分∠BOF，
求∠DOG 的度数.
E
D
A
B
O
C
F
能力提升
解：∵ 三条直线 AB，CD，EF 相交于点 O， 且 CD⊥EF， ∴ ∠DOF＝90° . ∵ ∠AOE＝70°，∴ ∠BOF＝∠AOE＝70°. ∵ OG 平分∠BOF，∴ ∠FOG＝12∠BOF＝35°.
定 两 内错角相等，两直线平行
直 线 同旁内角互补，两直线平行
平 行
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
的 方
基本事实的推论
法 平行线的定义
知识梳理
平 两直线平行，同位角相等
行
线 的
两直线平行，内错角相等
性
质 两直线平行，同旁内角互补
知识回顾
1. 邻补角 如果两个角既相邻又互补，那么这两个角互为邻补角. 如图中∠1 和∠2， ∠1 和∠3 都互为邻补角.
C
A
12
3O
B
D
知识回顾
2. 对顶角
如果两个角有一个公共顶点，并且
C
其中一个角的两边是另一个角的两 A
边的反向延长线，那么这两个角互
1
O2
B
D
为对顶角.图中∠2 的对顶角是∠1.
注意：两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等 的两个角不一定互为对顶角.
知识回顾
3. 垂线 垂线：当两条直线所构成的四个角中有一个为直角时，
∠2=64°，∠3=110°，则∠4 的度数为( B )
A. 110° B. 70° C. 64° D. 46°
A451 B
AB//CD ∠5=180°−∠3=70°
C
23 D
∠4=∠5=70°
能力提升
4. 如图，下列结论中不正确的是( D )
A. 若∠1=∠2，则 AD//BC 内错角
B. 若 AE//CD，则∠1+∠3=180° 同旁内角
知识回顾
平行线的判定和性质的区别和联系 联系：都反映了角的数量关系和直线的位置关系之间 的相互转换. 区别：平行线的判定以两直线平行为结论，即由两角 相等或互补得到两直线平行，是由数量关系得到位置 关系；平行线的性质以两直线平行为条件，即由两直 线平行得到两角相等或互补，是由位置关系得到数量 关系.
2. 如图，已知∠DAC=∠ACB，∠D+∠DFE=180°，
求证：EF//BC.
DF C
证明：∵∠DAC= ∠ACB (已知)，
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行). ∵ ∠D+∠DFE=180°(已知)，
B E A
∴ AD// EF(同旁内角互补，两直线平行).
∴ EF// BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
C. 若∠2=∠C，则 AE//CD 同位角
D. 若AD//BC，则∠1=∠B
A 1
2 BE
D 3
C
能力提升
5. 如图所示，直线 a，b 被 c，d 所截，且 c⊥a，c⊥b.
∠1与∠2的度数相等吗？说明理由. 解：∠1与∠2 的度数相等.理由如下：
∵直线 a，b 被 c ，d 所截，且 c⊥a，c⊥b，
重难剖析 重难点1 相交线
1. 如图，AB⊥CD 于点 O，直线 EF 过 O 点， AOE=65°，求∠DOF 的度数.
解：∵AB⊥CD， ∴∠AOC=90°. ∵∠AOE=65°，∴∠COE=25°. 又∠COE=∠DOF(对顶角相等)， ∴∠DOF=25°.
BF C OD
E A
重难剖析 重难点1 相交线
∴ ∠DOG＝∠DOF－∠FOG＝90°－35°＝55°.
能力提升
2.如图，AD 为三角形 ABC 的高，能表示点到直线（线
段）的距离的线段有( B ) A 到 BC 的距离 A
A. 2条
B. 3条
C. 4条
D. 5条
B
B 到 AD 的距离
DC
C 到 AD 的距离
能力提升
3. 如图，直线 AB，CD 被两条直线所截，若∠1=64°，
M D
P
和点Q，作直线MN；
A
B
（2）作∠MPD=∠PQB，并使得
Q N
∠MPD与∠PQB是一对同位角；
（3）反向延长射线PD，得到直线CD.
直线CD就是过点P所要求作的直线AB的平行线.
知识回顾
平行线的性质： 性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简写成：两直线平行，同位角相等.
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简写成：两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互 补.简写成：两直线平行，同旁内角互补.
知识回顾
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内 角互补，那么这两条直线平行. 简写成：同旁内角互补，两直线平行.
知识回顾
利用尺规过已知直线外一点作该直线的平行线：
如图，已知直线AB，以及直线AB外一点P，试利用尺
规作图过点P作直线AB的平行线. （1）在直线AB上取一点Q，经过点P C
第4章 相交线和平行线
七上数学 HDSD
知识梳理
两条 直线 相交
相 交 线
邻补角
邻补角互补
对顶角
对顶角相等
基本事实：同一平面内，过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直
垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线 垂 线 垂线段的性质：垂线段最短
点到直线的距离：从直线外一点到这 条直线的垂线段的长度
两条直线被第 三条直线所截
1. 如图，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°， 3 4
求∠4 的度数.
2
解：∵∠1=∠2=72°，
1
∴a//b (内错角相等，两直线平行).
ab
∴∠3+∠4=180° (两直线平行，同旁内角互补).
∵∠3=60°，
∴∠4=180°−∠3=180°−60°=120°.
重难剖析 重难点3 平行线的判定和性质
同位角、内错角不相交的两 念 条直线叫做平行线.
表示方法 AB//CD 或 a//b
平 行
画法
落、靠、推、画
线
基本事实
过直线外一点有且只有一条直线 与这条直线平行.
基本事实 如果两条直线都和第三条直线平
的推论
行，那么这两条直线也互相平行.
知识梳理
判 同位角相等，两直线平行
3. 推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合 的边过已知点. 4. 画：沿三角尺过已知点的边画直线.
知识回顾
平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线 与这条直线平行. 平行线的基本事实的推论（平行线的传递性）： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行.
知识回顾
平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两条直线平行. 简写成：同位角相等，两直线平行. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 相等，那么这两条直线平行. 简写成：内错角相等，两直线平行.
A
B
AB∥CD
C
D
读作：“AB 平行于 CD”
a
a∥b
b
读作：“a 平行于 b”
知识回顾
注意：平行线的定义包含三层意思. (1)“在同一平面内”是前提条件； (2)“不相交”就是说两条直线没有交点； (3) 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线 或两条线段.
知识回顾
平行线的画法： 1. 落：把三角尺的一边落在已知直线上 . 2. 靠：用直尺紧靠三角尺的另一边.
其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂
直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的
交点叫做垂足.
垂直的表示方法： AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”， A
也可记作：l⊥m (或 m⊥l ).
C
l
O mB D
知识回顾
垂线的基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直. 垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条 线段的垂直平分线. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短. 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度，叫做点到直线的距离.
2. 如图所示，l1，l2，l3 交于点 O，∠1=∠2，
∠3∶∠1= 8∶1，求∠4 的度数.
l1
解：设∠1 的度数为 x°， 则∠2 的度数为 x°，
3
2 1
4O
l2 l3
∠3 的度数为 8x°.
根据题意可得 x°+x°+8x°=180°，
解得 x=18. 即∠1=∠2=18°.
而∠4 =∠1+∠2(对顶角相等)，故∠4=36°.
知识回顾
4. 同位角、同旁内角、内错角
角的 名称
位置特征
基本 结构 图形 特征
相同点
共同特征
同位 截线:同侧 1 角 被截线:同旁 2
同旁 截线:同侧 内角 被截线:之间
内错 截线:两侧 角 被截线:之间
12
F 都在截 线同侧 都没有公
U 都在 共顶点
被截线 Z 之间
知识回顾
5. 平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.