同济大学高等数学《导数及其应用》教案

第9次课2学时
第二章导数与微分
导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。

导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。

本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。

§2、1导数的概念
一、 引例
1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。

从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。

准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。

设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。

由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。

我们不难求得PQ 的斜率为：0
0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即0
0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→。

若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。

2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s
=（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？
为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0
0)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，
00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时， 二、导数的定义 综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0
0)()(lim 0x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。

定义：设函数)(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ∆（x x ∆+0仍
在该邻域中）时，函数相应地有增量y ∆，若增量比极限：x y x ∆∆→∆0lim 即00)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '，0x x y ='，0x x dx dy =或0x x dx df =。

即0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。

注1：导数的常见形式还有：x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000； h
x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→； h
h x f x f x f h )()(lim )(0000--='→；（h 即自变量的增量x ∆） 2：x y ∆∆反映的是曲线在],[0x x 上的平均变化率，而0)(x x dx dy x f =='是在点0x 的变化率，它反映了
函数)(x f y =随0x x →而变化的快慢程度。

3：这里0x x dx dy
=与0x x dx df =中的dx dy 与dx
df 是一个整体记号，而不能视为分子dy 或df 与分母dx ，待到后面再讨论。

4：若极限x y x ∆∆→∆0lim 即00)()(lim 0x x x f x f x x --→不存在，就称)(x f y =在0x x =点不可导。

特别地，若∞=∆∆→∆x y x 0lim
，也可称)(x f y =在0x x =的导数为∞，因为此时)(x f y =在0x 点的切线存在，它是垂直于x 轴的直线0x x =。

若)(x f y =在开区间I 内的每一点处均可导，就称)(x f y =在I 内可导，且对I x ∈∀，均有一导数值)(x f '，这时就构造了一新的函数，称之为)(x f y =在I 内的导函数，记为)(x f y '=，或y '，dx dy ，dx
x df )(等。

事实上，x x f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim 0或h
x f h x f y h )()(lim 0-+='→ 注5：上两式中，x 为I 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而x ∆与h 是变量。

但在导函数中，x 是变量。

6：)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是导函数)(x f y '=在0x x =点的值，不要认为是
])([0'x f ；
7：为方便起见，导函数就称为导数，而)(0x f '是在0x 点的导数。

【例1】
设0)0(=f ，证明欲A x x f x =→)(lim 0，那么)0(f A '=。

证明：因为A x f x f x x f x f x f x =--⇒=--→0
)0()(lim )(0)0()(0 所以)0(f A '=。

【例2】 若)(x f 在0x 点可导，问：→--+h
h x f h x f )()(00？ 解：h
h x f x f h x f h x f h h x f h x f )()()()()()(000000--+-+=--+ )(2)()(000x f x f x f '='+'→。

反过来，亦证明：)(2)()(000x f h
h x f h x f '→---+。

三、 求导数举例
【例1】求函数c x f =)(（c 为常数）的导数。

解：0lim 0h f x h f x c c f x h h
→+--'===（）（）（）即0c '=（） 注：这里是指c x f =)(在任一点的导数均为0，即导函数为0。

【例2】求n
x x f =)(（n 为正整数）在a x =点的导数。

解：11221)(lim lim )(-----→→=++++=--='n n n n n a
x n
n a x na a x a ax x a x a x a f ΛΛ即1)(-='n na a f ， 亦即1)(-=='n a x n na x ，若将a 视为任一点，并用x 代换，即得1)()(-='='n n nx x x f
注：更一般地，μx x f =)(（μ为常数）的导数为1)(-='μμx x f ，由此可见，
x x 121)(=
',)0(1)1(2≠-='x x x 。

【例3】
求x x f sin )(=在a x =点的导数。

解：a a
x a x a f a x cos sin sin lim )(=--='→,即a x a x cos )(sin ='= 同理：若视a 为任意值，并用x 代换，使得x x f cos )(='，即x x cos )(sin ='。

注：同理可证：x x sin )(cos -='。

【例4】 求)1,0()(≠>=a a a x f x
的导数。

解：h
a a h a a h x f h x f x f h h x x h x h h 1lim lim )()(lim )(000-⋅=-=-+='→+→→ 所以a a a x
x ln )(='。

注：特别地，x x e e =')(。

【例5】 求)1,0(log )(≠>=a a x x f a 的导数。

解：h
x h h x h x h x f h x f x f a h a a h h )1(log lim log )(log lim )()(lim )(000+=-+=-+='→→→ a
x e x x h x a h x a h ln 1log 1)1(log 1lim 0==+⋅=→。

注1：等最后讲到反函数求导时，可将x a log 作为x a 的反函数来求导；
2：一般地说，求导有四步：
一、给出x ∆；
二、算出y ∆； 三、求增量比x
y ∆∆； 四、求极限。

3、x x 1)(ln =
'。

【例6】 讨论x x f =)(在0=x 处的导数。

解：考虑h h h h
f h f h h h sgn lim lim )0()0(lim 000→→→==-+，由§1.4例4知h h sgn lim 0→不存在，故x 在0=x 点不可导。

然而，1sgn lim 00-=-→h h 及1sgn lim 0
0=+→h h ，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若h x f h x f h )()(lim 0000-++→，即000)()(lim 0x x x f x f x x --+→[h
x f h x f h )()(lim 0000-+-→即 0
00)()(lim 0x x x f x f x x ---→]存在，就称其值为)(x f 在0x x =点的右（左）导数，并记为))(()(00x f x f ''-+，即0
0000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='+→+→+ [000000
00)()(lim )()(lim )(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='-→-→-]。

定理1：)(x f 在0x x =点可导⇔)(x f 在0x x =点的左导数和右导数均存在且相等，即 )()(00x f x f '='+-。

注1：[例6])(x f 的左导数为-1，右导数为1。

因为11≠-，所以在0=x 点不可导； 2：[例6]也说明左可导又右可导，也不能保证可导；
3：左、右导数统称为单侧导数；
4：若)(x f 在),(b a 内可导，且在a x =点右可导，在b x =点左可导，即),(a f '+)(b f '-存在，就
称)(x f 在],[b a 上可导。

四、 导数的几何意义
由前面的讨论知：：函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率k ，即)(0x f k '=，或αα,tan )(0='x f 为切线的倾角。

从而，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。

若∞=')(0x f ，2πα=
⇒或2π-⇒切线方程为：0x x =。

过切点),(00y x P ，且与P 点切线垂直的直线称为)(x f y =在0P 点的法线。

如果
)(0x f '0≠，法线的斜率为)
(10x f '-，此时，法线的方程为：)()
(1000x x x f y y -'-=-。

如果)(0x f '=0，法线方程为0x x =。

【例7】求曲线3x y =在点),(00y x P 处的切线与法线方程。

解：由于202333)(00x x x x x x x =='==，所以3x y =在),(00y x P 处的切线方程为：
当00≠x 时，法线方程为：)(310200x x x y y --
=- 当00=x 时，法线方程为：0=x 。

【例8】求等边双曲线1y x =在点122⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为
112x k y ='=由于211y x x '⎛⎫'==- ⎪⎝⎭
，于是 12121
4x k x ==-=-从而所求的切线方程为
1242
y x -=--（）即440x y +-=
所求的法线斜率为21114
k k =-=于是所求的法线方程为 11242y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，即28150x y -+= 五函数的可导性与连续性的关系
定理2：如果函数)(x f y =在0x x =点可导，那么在该点必连续。

证明：由条件知：)(lim
00x f x
y x '=∆∆→∆是存在的，其中)()(,00x f x f y x x x -=∆-=∆， 由§1、5定理1(i)α+'=∆∆⇒)(0x f x y （α为无穷小）x x x f y ∆+∆'=∆⇒α)(0 显然当0→∆x 时，有0→∆y ，所以由§1、9定义1＂，即得函数)(x f y =在0x x =点连续，证毕。

注：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导。

反例：x y =在0=x 点连续，但不可导。

【例9】求常数b a ,使得⎩⎨⎧<+≥=0
0)(x b ax x e x f x 在0=x 点可导。

解：若使)(x f 在0=x 点可导，必使之连续，故)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==-→+→
100=⇒+⋅=⇒b b
a e 。

又若使)(x f 在0=x 点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的，且a x e
b ax f x =--+='-→-0
)(lim )0(00，10lim )0(00
0==--='+→+e x e e f x x 所以若有1=a ，则)0()0(+-'='f f ，此时)(x f 在0=x 点可导，所以所求常数为
1==b a 。

由以上讨论知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

小结本节讲述了导数的定义、导数的几何意义、函数可导和连续的关系。

同学们一定要掌握和理解导数的定义，并会用定义求一些简单函数的导数。

第10次课2学时
§2、2函数的和、差、积、商的求导法则
上一节学习了导数定义，利用定义可求一些简单的函数的导数。

但对比较复杂的函数直接用定义求导往往很困难。

下面介绍求导数的几个基本法则和公式。

法则1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。

即两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差）。

证明：0
0000)]()([)]()([lim )()(lim 00x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0
000)()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。

注⑴：本法则可推广到任意有限个可导函数的情形。

⑵：本法则的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。

例如()u v w u v w ''''+-=+-
法则2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有
)()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。

证明：0
0000)()()()(lim )()(lim 00x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =0
0000)()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0
0000)()()(lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0
0000)()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→ =)()()()(0000x v x u x v x u '+'
即)()()()()(00000x v x u x v x u x f '+'='
函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，
加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。

注⑴：若取c x v ≡)(为常数，则有：u c cu '=')(；
⑵：本法则可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如：
s uvw s w uv ws v u vws u uvws '+'+'+'=')(等。

法则3：若)(),(x v x u 都在0x x =点可导，且0)(0≠x v ，则)
()()(x v x u x f =在0x 点也可导，且)
()()()()()(0200000x v x v x u x v x u x f '-'='。

证明：)
()()()()()()(lim )()()()(lim )()(lim 000000000000x v x v x x x v x u x v x u x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x x x --=--=--→→→ =])
()(1)()()()(1)()([lim 0000000x v x v x x x v x v x u x v x x x u x u x x -----→ =)(1)()()(1)
(020000x v x v x u x v x u '-' =)
()()()()(020000x v x v x u x v x u '-' 即)
()()()()()(0200000x v x v x u x v x u x f '-'=' 函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除于分母的平方。

注⑴：本法则也可通过)(1)()(x v x u x f ⋅=，及])
(1[x v 的求导公式来得； ⑵：本公式简化为2)(v
v u v u v u '-'='； ⑶：以上法则1~3中的0x ，若视为任意，并用x 代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公
式。

【例1】 设x x x x f 2
2)(-+=，求)(x f '。

解：31)21(21221)2
()2()()2
2()(x
x x x x x x x x f ⋅--⋅+='-'+'='-+=' 31
1
1x x ++=。

【例2】 设x xe x f x ln )(=，求)(x f '。

解：)(ln ln )(ln )()ln ()('+'+'='='x xe x e x x e x x xe x f x
x x x x xe x xe x e x x x 1ln ln ⋅
++=)ln ln 1(x x x e x ++=。

【例3】tan y x =求y '
解
()()()222222
sin cos sin cos sin sin cos 1tan sec cos cos cos cos x x x x x x x x y x x x x x '''-+⎛⎫''====== ⎪⎝⎭
即()2
tan sec x x '=正切函数求导公式
【例4】
sec y x =求y '
解()()()22
1cos 1cos 1sin sec sec tan cos cos cos x x x y x x x x x x '''-⎛⎫''===== ⎪⎝⎭
g 即()sec sec tan x x x '=正割函数求导公式
用类似的方法，还可求得余切函数及余割函数的求导公式：
第13次课2学时
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§2.3反函数的导数、复合函数的求导法则
定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且
0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)
(1
)(00y x f ϕ'=
'。

证明：0
00
000)()(1
lim
)()(lim )()(lim
000
y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕϕϕ )(1
)()(lim 100
00y y y y y y y ϕϕϕ'=--=
→,所以)(1)(00y x f ϕ'='。

注⑴：00
y y x x →⇔
→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；
⑵：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'=
'或)(1
dy
dx dx dy =，其中
dy dx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；
⑶：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； ⑷：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； ⑸：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】
求x y arcsin =的导数，
解：由于]1,1[,
arcsin -∈=x x y ，是]2
,2[,sin π
π-
∈=y y x 的反函数，由定理1得：
2211
sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x
y y y x -=
-=='=
'。

注⑴：同理可证：2
22
11
)tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+=
'--
='；
⑵：2
tan arctan arccos arcsin π
=
+=+x arcc x x x 。

【例2】
求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

解：利用指数函数的导数，自己做。

二、复合函数的求导公式
到目前为止，对于ln tan x ，2
x e ，2sin
1x
x
+那样的函数我们还不知其可导否，若可导怎样求导数。

这就是要学习的复合函数的求导问题。

复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导2.即使可
导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。

定理2（复合函数求导法则）：如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ==点
也可导，那么，以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数
))((x f y ϕ=在0x x =点可导，且
)()(000
x u f dx
dy
x x ϕ''==，或
)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=
证明：000000)
()()()(lim ))(())((lim
00
x x x x u u u f u f x x x f x f x x x x --⋅--=--→→ϕϕϕϕ =0
000)
()(lim )()(lim
00
x x x x u u u f u f x x u u --⋅--→→ϕϕ=)()(00x u f ϕ'⋅' 所以)()(,]))(([00x u f x f ϕϕ''=∃'。

注⑴：若视0x 为任意，并用x 代替，便得导函数：
)())(())
((x x f dx
x df ϕϕϕ'⋅'=，或)())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'='
或dx
du du dy dx dy ⋅=。

⑵：))((x f ϕ'与]))((['x f ϕ不同，前者是对变量)(x u ϕ=求导，后者是对变量x 求导。

⑶：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。

⑷：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如：
)())(()))(((])))((([x h x h g x h g f x h g f '⋅'⋅'='等。

【例3】
求x y
1
arctan =的导数。

解：x y 1arctan =可看成u arctan 与x
u 1
=复合而成，
211)(arctan u u +=
'，2
1
)1(x x -='，22211)1()1(11)1(arctan x x x
x y +-=-⋅+='='⇒。

【例4】
求μ
x y =（μ为常数）的导数。

解：x e x y ln μμ
==是u e y =，x v v u ln ,=⋅=μ复合而成的。

所以
11
1)(ln )()()(-⋅=⋅⋅=⋅
⋅='⋅'⋅'='='μμμμμμμμx x x
x e x v e x y u 。

这就验证了前面§2、1的[例4]。

由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。

在解题时，若对复合函数的复合过程非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。

【例5】
21x y -=，求y '。

解2222
12
2
1)1(1121])1[()1(
x
x
x x x x y --
='-⋅-⋅=
'-='-='。

【例6】
x e
y sin 1-=，求
y '。

解：x
x e
x e e
y x
x
x
sin 1)sin 1(21)sin 1()(sin 1sin 1sin 1-'
-⋅⋅='-⋅='='--- x
x
e
x
x
x
x e sin 1sin 1sin 1cos 21sin 1cos 2
1----
=--⋅
=。

【例7】))1cos(2arcsin(2
-=x y ，求y '。

解：
))1cos(2()]1cos(2[11
))1cos(2(arcsin(22
22'---=
'-='x x x y
=
)1()]1sin([2)
1(cos 411
2222'-⋅--⋅--x x x
=
)
1(cos 41)1sin(42)
1(cos 41)1sin(22
2
22
2
2----
=⋅----x x x x x x 。

【例8】
))2tan ln(ln(ln x
y =，求y '。

解：)2
tan (ln 2
tan
ln 1)2tan ln(ln 1))2tan (ln(ln )2tan ln(ln 1'⋅='⋅='x
x x x x y
2
tan
ln ln 1
2tan ln 1sin 12tan ln ln 12tan ln 12tan 12cos 12
12x x x x x x x ⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅=。

【例9】])()[(2
1
)(21)2('-'='-='-='---x x x x x x e e e e e e x h s ][2
1)]1([21x x
x
x e e e e --+=--=
， 即chx x h s ='。

同理，shx x h c ='。

【例10】)1ln(2x x y
++=，求y '。

解：)1(11])1[ln(22
2
'++⋅++=
'++='x x x x x x y
)(11
)12211(11222
'=+=++
++=
arshx x
x x x x 。

同理：)(1
1)1(ln(2
2'=-='-+
archx x x x 。

第14次课2学时
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§2、4初等函数的求导公式双曲函数与反双曲函数的导数
1
、 数和基本初等函数的求导公式：
（1）0)(='c （2）1
)(-='μμ
μx
x
（3）x x cos )(sin ='（4）x x sin )(cos -='
（5）x x 2sec )(tan ='（6）x x 2
csc )(cot -='
（7）x x x tan sec )(sec ⋅='（8）x x x cot csc )(csc ⋅-='
（9）a a a x
x
ln )(='（10）x
x
e e =')( （11）a x x a
ln 1)(log =
'（12）x
x 1
)(ln =' （13）2
11)(arcsin x
x -=
'（14）2
11)(arccos x
x --
='
（15）211)(arctan x x +=
'（16）2
11
)cot (x
x arc +-=' （17）chx shx =')(（18）shx chx =')( （19）x
ch thx 21
)(=
' （20）11))1(ln()(2
2+=
'++
='x x x arcshx
（21）1
1))1(ln()(22-=
'-+='x x x arcchx
（22）2
11
)11ln 21(
)(x x x arcthx -=
'-+=' 2、 函数的四则运算的求导法则：
设)(),(x v v x u u ==，则
(i)v u v u '±'='±)((ii)u c cu '=')(
(iii)v u v u uv '+'=')((iv)2
)(
v v u v u v u '
-'=
')0(≠v 3、 复合函数的求导法则：
设))(()
(),(x f y x u u f y ϕϕ=⇒==的导数为：
dx
du
du dy dx dy ⋅
=或 )())((]))(([x x f x f ϕϕϕ'⋅'='或dx
x d du u df dx x df x u )
()())(()
(ϕϕϕ⋅== 二、双曲函数与反双曲函数的导数
双曲函数和反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可有前面的求导公式和求导法则求出。

由2x x
e e shx --=，有()22x x x x e e e e shx chx -'⎛⎫-+'=== ⎪⎝⎭
- 所以，双曲正弦的求导公式为()shx chx '=
类似地，由2
x x
e e chx -+=得()chx shx '=
由shx thx chx =得()222ch x sh x thx ch x -'=即()21thx ch x
'=
由ln arshx x =（得()
arshx '=
由ln archx x =（得()
archx '=
由11ln 21x arthx x +=
-得()2
11arthx x
'=- 以上几个公式可由同学们自己推导出来。

§2.5高阶导数
前面讲过，若质点的运动方程)(t s s
=，则物体的运动速度为)()(t s t v '=，或dt
ds
t v =
)(，而加速度)(t a 是速度)(t v 对时间t 的变化率，即)(t a 是速度)(t v 对时间t 的导数：
)()(dt
ds
dt d dt
dv t a =
⇒=
=αα或))(()(''='=t s t v α，由上可见，加速度α是)(t s 的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下面的定义：
定义：若函数)(x f y =的导函数)(x f '在0x 点可导，就称)(x f '在点0x 的导数为函数)(x f y =在
点0x 处的二阶导数，记为)(0x f ''，即)()
()(lim
00
00
x f x x x f x f x x ''=-'-'→，此时，也称函数
)(x f y =在点0x 处二阶可导。

注⑴：若)(x f y =在区间I 上的每一点都二次可导，则称)(x f 在区间I 上二次可导，并称
I x x f ∈''),(为)(x f 在I 上的二阶导函数，简称二阶导数；
⑵：仿上定义，由二阶导数)(x f ''可定义三阶导数)(x f '''，由三阶导数)(x f '''可定义四阶导数
)()
4(x f
，一般地，可由1-n 阶导数)()
1(x f
n -定义n 阶导数)()
(x f
n ；
⑶：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：)(0)
(x f
n ，)(0)(x y n ，
x x n
n dx y d =或
x x n
n dx f d =与n n n n dx y d x y
x f
),(),()
()
(或n n dx
f d ；
⑷：开始所述的加速度就是s 对t 的二阶导数，依上记法，可记2
2dt
s
d =α或)(t s ''=α； ⑸：未必任何函数所有高阶导数都存在；
⑹：由定义不难知道，对函数)(x f y =，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的
导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，1-n 阶导数的导数为n 阶导数。

因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了。

【例1】c bx ax y ++=2
，求)
4(,,y
y y '''''。

解：0,022)4(=='''⇒=''⇒+='y y a y b
ax y 。

【例2】x e y =，求各阶导数。

解：x
e y ='，x
e y =''，x e y ='''，x e y
=)
4(，显然易见，对任何n ，有x n e y =)(， 即x n x e e =)
()
(。

【例3】x y sin =，求各阶导数。

解：
)2
sin(cos ,sin π
+
=='=x x y x y
……
一般地，有
)2sin()(πn x y n +=，即)2
sin()(sin )(π
n x x n +=。

同样可求得)2
cos()
(cos )
(π
n x x n +=。

【例4】)1ln(x y +=，求各阶导数。

解：)1ln(x y +=，x
y +=
'11
，2)1(1x y +-=''，3
)1(21x y +⋅='''， 4
)4()1(3
21x y +⋅⋅-
=，……
一般地，有n
n n x n y
)1()!
1()1(1
)
(+--=- 即n
n n x n x )1()!
1()1())
1(ln(1
)
(+--=+-。

【例5】μ
x y =，μ为任意常数，求各阶导数。

解：μ
x y =，21)1(,---=''=
'μμμμμx y x y ，3)2)(1(---='''μμμμx y ，
4)4()3)(2)(1(----=μμμμμx y ，
一般地，n n x n y -+---=μμμμμ)1()2)(1()
(ΛΛ
即n n x n x -+---=μμμμμμ)1()2)(1()()
(ΛΛ。

(i)
当k =μ为正整数时，k n <时，n k n k x n k k k k x -+---=)1()2)(1()()
(ΛΛ；
k n =时，)!(!)()(n k x k k ==； k n >时，0)()(=n k x ；
(ii)当μ为正整数时，必存在一自然数k ，使得当k n >，)
()
(n x μ在0=x 处不存在。

如：,2
123,
2
3,
2
121
2
3-=''='=x y x y x y 然而，21
-x 在0=x 处是无意义，即说明
21
2
3
x y ='在0=x 处无导数，或y ''在0=x 处不存在。

【例6】x e y x
cos =，求y '''。

解：)sin (cos )sin (cos x x e x e x e y x
x
x
-=-+='，
)sin 2()cos sin ()sin (cos x e x x e x x e y x x x -=--+-=''，
)cos (sin 2)cos sin (2x x e x e x e y x x x +-=+-='''。

注：高阶导数有如下运算法则： (1))()()]
()([)()()
(x v x u x v x u n n n ±=±，
(2)v u v u v u v u uv v u v u v u uv v u v u uv '''+'''+'''+'''='''''+''+''='''+'='33)(,
2)(,)(，
……，
+)()
0(n v u。

其中v v u u ==)0()0(,。

Leibinz 公式
【例7】上例中，求)
5(y。

解：)(cos )()(cos )(cos )()cos (25)4(1
5)5()5()
5('''''+'+⋅==x e C x e C x e x e y
x x x x
=)sin (cos 5sin 10)cos (10)sin (5cos x e x e x e x e x e x e x
x x x x x -+++-+-+
=]sin cos 5sin 10cos 10sin 5[cos x x x x x x e x
-++--
=)cos 4sin 4(x x e x
-=)cos (sin 4x x e x
-。

【例8】验证x x
e c e
c y λλ-+=21满足关系式：02=-''y y λ（其中21,c c 为任意常数）。

解：x x x
x
e c e c y e c e c y λλλλλλλλ--+=''⇒
-='221221
所以0)(22
212=-''⇒
=+=''-y y y
e c e c y x x λλλλλ。

【例9】验证
4
3--=
x x y 满足关系式：y y y ''-=')1(22。

解：3
2
)
4(2
1,)
4(1
4
1
143-⋅=
''--
='⇒-+=--=x y x y x x x y 又0)4(2
41)4(12)1(23
42
=-⋅---⋅
=''--'x x x y y y
所以0)1(22
=''--'y y y 。

第15次课2学时
注：本页为每次课教案首页
§2、6隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
函数(
)
x f y
=表示两个变量
y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式
表达。

前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y
-+=等，这种函数表达方式的
特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。

用这种方式表达的函数叫做显函数。

有些函数的表达
方式却不是这样，例如，方程013
=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，
内
取值时，变量
y 有确定的值与之对应。

例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，
32=y ，等等。

这样的函数称为隐函数。

一般地，如果在方程()0=y x F ，中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的
y 值存在，那么就说方程()0=y x F ，在该区间内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。

例如从方程013
=-+y x 解出
31x y -=，就把隐函数化成了显函数。

隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能
的。

但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。

下面通过具体例子来说明这种方法。

例1求由方程0=-+e xy e y
所确定的隐函数y 的导数
dx
dy 。

解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。

方程左边对x 求导得
()
dx
dy x y dx dy e e xy e dx d y y ++=-+， 方程右边对求导得()
00='。

由于等式两边对x 的导数相等，所以
0=++dx
dy
x y dx dy e y
， 从而
()
0≠++-=y
y
e
x e x y
dx dy 。

在这个结果中，分式中的
y 是由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数。

隐函数求导方法小结：
（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如
()y y
y x '='1ln 。

（2）从求导后的方程中解出
y '来。

（3）隐函数求导允许其结果中含有y 。

但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把
对应的
y 值代进去。

例2e e xy y
=+，确定了
y 是x 的函数，求()0y '。

解：0='+'+y e y x y y
，y
e x y y +-='，0
=x Θ时1=y ，()e y 1
0-='∴。

课堂练习：（1）
a y x =+，求y '。

（2）3
3
3
a y x =+，求y '。

（3）1ln
=+y xy ，求()0y '。

（4）x
y
y x arctan ln
22=+，求y '。

特殊方法：对数求导法
对于幂指函数()()
x v x u y =是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数
为隐函数，从而求出导数
y '。

例3求()0sin >=x x
y x
的导数。

解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。

为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得x x y ln sin ln ⋅=； 上式两边对x 求导，注意到
y 是x 的函数，得
x
x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅='， 于是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
⋅='x x x x x x x x x y y x sin ln cos sin ln cos sin 。

由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。

例4求()()()()
4321----=
x x x x y
的导数。

解：先在两边取对数（假定4>x
），得
()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 2
1
ln -----+-=
x x x x y ， 上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----+-='41312111211x x x x y y ， 于是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----+-=
'413121112x x x x y y 。

当1<x 时，()()()()x x x x y ----=
4321； 当32<<x 时，()()()()
x x x x y ----=
4321； 用同样方法可得与上面相同的结果。

注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。

例如
x x x e x ln =，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求e
x x e e x y +=的导数
时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。

二、由参数方程确定的函数的导数
若由参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ确定了y 是x 的函数，如果函数()t x ϕ=具有单调连续反函数
()x t ϕ=，且此反函数能与函数()t y ψ=复合成复合函数，那么由参数方程()()
⎩⎨⎧==t y t x ψϕ所
确定的函数可以看成是由函数()t y ψ=、()x t ϕ=复合而成的函数()[]x y ϕψ
=。

现在，
要计算这个复合函数的导数。

为此，再假定函数()t x ϕ=、()t y ψ=都可导，而且
()0/≠t φ。

于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有
()()t t dt
dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，
即
()()
t t dx dy ϕψ''=。

上式也可写成dt
dx
dt dy dx dy =。

如果()t x ϕ=、()t y ψ=还是二阶可导的，由()()
t t dx dy ϕψ''=还可导出y 对x 的二阶导数公
式：
()()()()()()()()t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ'⋅'''-'''=⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1
222， 即()()()()()
t t t t t dx y d 3
22ϕϕψϕψ'''-'''= 【例1】
求⎩⎨⎧==t
b y t a x sin cos 在4π
=t 处切线方程。

解、当
4
t π
=
时，曲线上相应的点0M 的坐标是
0cos
4
2x a π
==
，0sin 42
y b π== 曲线在点0M 的切线斜率为；
代入点斜式方程，即得曲线在点0M 的切线方程
b y x a ⎛=- ⎝⎭
，化简后得0bx ay += 【例2】已知()()
⎩⎨⎧-=-=t b y t t a x cos 1sin ，求2
2dx y
d 。

解sin sin cos 1cos 1cos 2
dy
dy a t t t dt dx dx a t t dt
====--（）()2t n π≠n 为整数 ()()222
2
1111
cos 21cos 1cos 2sin 2
d y d dx t dx dt a t a t dt π⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪-⎝⎭-（()2t n π≠，n 为
整数）
三、相关变化率
设()x x t =
及()y y t =都是可导函数，而变量x 与y 间存在某种关系，从而变化率
dx
dt
与dy
dt
间也存在一定的关系。

这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

我们研究它们之间的关系，便可从一个变化率求出另一个变化率。

【例2】
一气球从离开观察员500m 处离地面铅直上升，其速率为140m/min （分）。

当气球高度为500m 时，观察员视线的仰角为增加率是多少？
解设气球上升ts （秒）后，其高度为h ，观察员视线的仰角为α,则
tan α=
500
h 其中α及h 都是时间t 的函数。

上式两边对t 求导，可得
sec
2
α
d dt α=1500dh dt
已知
dh dt
=140/min.又当h=500m 时，tan α=1,sec 2
α=2. 带如上式得
2
d dt α=1
500
.140， 所以
d dt α=70
500
=0.14(rad(弧度)/min). 即观察员视线得仰角增加率是0.14/min.
第16次课2学时
注：本页为每次课教案首页
§7函数的微分
一、微分的定义
计算函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆是我们非常关心的。

一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。

先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？
设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：
2x A =。

薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当
自变量x 自0x 取得增量x ∆时，函数A 相应的增量A ∆，即
()()202
0202x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。

从上式可以看出，A ∆分成两部分，第一部分A x ∆02是A ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2
x ∆在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当
0→∆x 时，第二部分()2
x ∆是比x ∆高阶的无穷小，即()()x x ∆=∆02。

由此可见，如果边
长改变很微小，即
x ∆很小时，面积的改变量A ∆可近似地用第一部分来代替。

一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为
()x x A y ∆+∆=∆0，
其中
A 是不依赖于x ∆的常数，因此x A ∆是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差
()x x A y ∆=∆-∆0，
是比x ∆高阶的无穷小。

所以，当0≠A ，且x ∆很小时，我们就可近似地用x A ∆来代替
y ∆。

定义设函数()x f y =在某区间内有定义，x x ∆+0及x 0在这区间内，如果函数的增量 可表示为()x x A y ∆+∆=∆0，① 其中
A 是不依赖于x ∆的常数，而()x ∆0是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f y =在点
0x 是可微的，而x A ∆叫做函数()x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，
即x A dy ∆=。

下面讨论函数可微的条件。

设函数()x f y =在点0x 可微，则按定义有①式成立。

①式两边除以x ∆，得
()x
x A x y ∆∆+
=∆∆0。

于是，当0→∆x 时，由上式就得到
()00lim
x f x
y
A x '=∆∆=→∆。

因此，如果函数()x f 在点0x 可微，则()x f 在点0x 也一定可导（即()0x f '存在），且
()0x f A '=。

反之，如果()x f y =在点0x 可导，即 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成
()α+'=∆∆0x f x
y
， 其中0→α
（当0→∆x ）。

由此又有
()x x x f y ∆+∆'=∆α0。

因()x x ∆=∆0α，且不依赖于x ∆，故上式相当于①式，所以()x f 在点0x 也是可微的。

图2-1
由此可见，函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0x 可微时，其微分一定是
()x x f dy ∆'=0。

②
当()00≠'x f 时，有
()()1lim 1lim lim
00000=∆∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆x y x f x x f y dy y x x x 。

从而，当0→∆x 时，y ∆与dy 是等价无穷小，这时有
()dy dy y 0+=∆，③
即dy 是y ∆的主部。

又由于()x x f dy ∆'=0是x ∆的线性函数，所以在()00≠'x f 的条件下，我们说dy 是y ∆的线性主部（当0→∆x ）。

这是由③式有
0lim
0=-∆→∆dy dy
y x ，
从而也有
0lim
0=-∆→∆dy dy
y x 。

式子
dy
dy
y -∆表示以dy 近似代替y ∆时的相对误差，于是我们得到结论：在()00≠'x f 的条件下，以微分()x x f dy ∆'=0近似代替增量()()00x f x x f y -∆+=∆时，相对误差当
0→∆x 时趋于零。

因此，在x ∆很小时，有精确度较好的近似等式
dy y ≈∆。

函数()x f y =在任意点x 的微分，称为函数的微分，记作dy 或()x df ，即
()x x f dy ∆'=。

注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。

例如求x sin 对x 的导数时就可
以看成x sin 微分与
x 微分的商，即
x x dx x
xdx
x
d x d cos 221cos sin ==。

注2：函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差x ∆的高阶无穷小。

因此要会应用下面两个公式：
()x x f dy y ∆'=≈∆0， ()()()x x f x f x x f ∆'+≈∆+'000。

作近似计算。

二、 微分的几何意义
为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。

在直角坐标系中，函数()x f y =的图形是一条曲线。

对于某一固定的0x 值，曲线上有一个确定点()00y x M ，当自变量x 有微小增量x ∆时，就得到曲线上另一点()y y x x N ∆+∆+00，.从图2-2可知：
x MQ ∆=， y QN ∆=。

过M 点作曲线的切线,它的倾角为α，则
()0tan x f x MQ QP '⋅∆=⋅=α，
即QP dy =。

由此可见，当y ∆是曲线()x f y =上的M 点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上M 点的纵坐标的相应增量。

当
x ∆很小时，dy y -∆比x ∆小得多。

因此在点M 的邻近，我
们可以用切线段来近似代替曲线段。

三、 基本初等函数的微分公式及微分运算法则
1、微分法则
由()dx x f dy '=，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当v u 、都可导）：
()dv du v u d ±=±， ()Cdu Cu d =， ()udv vdu v u d +=⋅， 2
v udv vdu v u d -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛。

2、基本初等函数的微分公式
()
dx x x d 1-=μμμ，
()xdx x d cos sin =，()xdx x d sin cos -=， ()xdx x d 2sec tan =，()xdx x d 2csc cot -=，
()xdx x x d tan sec sec =，()xdx x x d cot csc csc -=， ()adx a a d x x ln =，()
dx e e d x x =，
()dx a x x d a ln 1log =
，()dx x x d 1
ln =，()dx x
x d 211arcsin -=
， ()dx x x d 2
11arccos --
=，()dx x
x d 2
11
arctan +=
， ()dx x x arc d 2
11
cot +-
=。

注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。

图2-2
例如：
x d dx x
21=，
x d dx x 1
12
-=， ()b ax d a dx +=
1，x x da a
dx a ln 1
=。

四、 复合函数微分法则
与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：
设()u f y =及()x u ϕ=都可导，则复合函数()[]x f
y ϕ=的微分为
()
()dx x u f dx y dy x ϕ''='=。

由于()du dx x ='ϕ，所以，复合函数()[]x f y ϕ=的微分公式也可以写成
()du u f dy '=或du y dy u
'=。

由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式()du u f dy '=保持不
变。

这一性质称为微分形式不变性。

这性质表示，当变换自变量时（即设u 为另一变量的任一可微函数时），微分形式()du u f dy '=并不改变。

【例3】(
)x
e
y +=1ln ，求dy 。

解(
)()2
2
2
2
2
2
2
2
2
21
1
2ln 1121111x
x x
x
x x
x
x x e xe dy e
d e e dx xdx dx e e
e
e
=+=+==
=
++++g g
【例4】
()
x a x
y ++=22
ln
，求0=x dy 。

【例5】f 可导，()x
f y 2
=，求dy 。

【例6】x
y
y x =，求dy 。