高考数学大一轮复习第五章平面向量第一节平面向量的概

[答案] D
[易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相 等，但它们的模可以比较大小； (2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代 数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移 到同一直线上．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
第五章 平面向量
第一节
平面向量的 概念及线性
本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.
运算
突破点(一) 平面向量的有关概念
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
名称
定义
备注
既有 大小 又有 方向 的量叫 平面向量是自由向
向量
做向量；向量的大小叫做向 量的 长度 (或称模)
向量运算 定义
法则(或几何意义)
运算律
|λa|＝__|_λ|_|a_|_，
求实数λ
当λ＞0时，λa与a的方 λ(μ a) ＝__(λ__μ_)_a_； 数乘 与向量a 向_相__同__；当λ＜0时， (λ＋μ)a＝_λa_＋___μ_a_；
的积的运 λa与a的方向_相___反__； λ(a＋b) ＝_λ_a_＋__λ_b__
B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反
之，若四边形ABCD为平行四边形，则 AB ∥ DC 且| AB |＝
| DC |，因此， AB ＝ DC .③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且
方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长
度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，
算
当λ＝0时，λa＝_0_
2.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ， 使得__b_＝__λ_a_.
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的线性运算
[例 1] (1)在△ABC 中，AB＝c，AC ＝b.若点 D 满足 BD＝
平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是
()
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，
但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0
的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，
故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.
基础联通
突破点(二) 平面向量的线性运算
抓主干知识的“源”与“流”
1．向量的线性运算
向量运算 定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量 加法
和的运算
交换律： a＋b＝_b_＋__a__；
结合律：
(a＋b)＋c＝ __a_＋__(b_＋__c_)_
求a与b的相
减法 反向量－b
a－b＝a＋(－b)
的和的运算
量，平面向量可自由 平移
零向量
长度为 0 的向量；其方向是 _任__意__的____
记作0
名称
定义
备注
单位向量
长度等于_1_个__单__位__的向量
非零向量a的单位向量为 ±|aa|
_方__向___相__同__或__相__反__的非零向
平行向量
0与任一向量平行或共线
量，又叫做共线向量
相等向量 长度_相__等__且方向相__同__的向量 相反向量 长度_相__等__且方向相___反_的向量
其中错误的命题的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终 点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不 能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大 小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误， 当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向 量．错误的命题有3个，故选C. 答案：C
即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要
条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②
③.故选A.
答案：A
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
②若A，B，C，D是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形
ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是
()
A．②③
B．①②
C．③④
D．①④
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定
相同．②正确．∵ AB ＝ DC ，∴| AB |＝| DC |且 AB ∥ DC .又A，
与向量 b 相同，且|aa|＝|bb|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故
可排除选项 A，B，D.当 a＝2b 时，|aa|＝|22bb|＝|bb|，故 a＝2b 是|aa|
＝|bb|成立的充分条件．
[答案] (1)C
(2)设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个
向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0
3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与 OC 相等 的向量有________．
答案： AB， ED，FO
4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的
1 3处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为
a 3
的若干个向量，则
(1)与向量GH 相等的向量有________； (2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量 EA共线，且模相等的向量有________． 解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合． 答案：(1) LB， HC (2) EC， LE ， LB，GB， HC (3) EF ，FB， HA， HK ， KB
两向量只有相等或不 等，不能比较大小 0的相反向量为0
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的有关概念 [典例] (1)设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使|aa|
＝|bb|成立的充分条件是
()
A．a＝－b
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b 且|a|＝|b|
[解析] (1)因为向量|aa|的方向与向量 a 相同，向量|bb|的方向