2011年陕西高考数学文科试卷(带答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷
数学（文科)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．
1．设，是向量，命题“若，则"的逆命题是（）
若，则若，则
若，则若，则
【测量目标】向量的性质与运算及逆命题.
【考查方式】已知命题，求其逆命题.
【参考答案】
【试题解析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。

选原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”,故选
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（)
(D）
【测量目标】抛物线的标准方程。

【考查方式】给出准线方程,求抛物线的方程。

【参考答案】
【试题解析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键选由准线方程得，且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以．
3.设，则下列不等式中正确的是 ( ）
【测量目标】不等式的性质、实数大小的比较。

【考查方式】已知两个实数的范围，求与两个实数有关的大小比较.
【参考答案】
【试题解析】根据不等式的性质,结合作差法，放缩法,基本不等式或特殊值法等进行比较．选(方法一）已知和，比较与，因为,所以，同理由得；作差法：，所以，综上可得；故选（方法二）取，，则,，所以．
4. 函数的图像是（）。

【测量目标】幂函数图像的性质与特点.
【考查方式】已知幂函数，判断其图像。

【参考答案】
【试题解析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．选取,，则，,选项B，D符合；取，则,选项符合题意．
5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ )
【测量目标】由三视图求几何体的体积.
【考查方式】已知几何体的三视图，求其体积.Yxj 14
【参考答案】
【试题解析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．
选由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，
即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是
.
6。

方程在内（）
没有根有且仅有一个根
有且仅有两个根有无穷多个根
【测量目标】函数图象的应用。

【考查方式】给出函数方程，求出其在定义域内的根的个数。

【参考答案】
【试题解析】数形结合法,构造函数并画出函数的图象,观察直观判断．
选构造两个函数和，在同一个坐标系内画出
它们的图像，如图所示,观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．
7.如右框图，当时，等于（）
【测量目标】算法的定义，理解程序图框的三种基本逻辑结构.
【考查方式】已知的值，代入程序图输出的值。

【参考答案】
【试题解析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算．
选∵∴；
又，，显然
∴有，即，此时有，解得，符合题意，故选
8.设集合，,为虚数单位，R，则为（）
【测量目标】复数与三角函数的运算、集合的基本运算。

【考查方式】给出两个集合，求其交集.
【参考答案】
【试题解析】确定出集合的元素是关键.本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点.选，所以；
因为，即，所以，又因为R，所以，即；所以，故
9．设，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图），以下结论正确的是（)
直线过点
和的相关系数为直线的斜率
和的相关系数在0到1之间
当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
【测量目标】线性回归直线的特点与性质
【考查方式】给出线性回归直线,判断其性质
【参考答案】
【试题解析】根据最小二乘法的有关概念:样本点的中心，相关系数线性回归方程的意义等进行判断．
10．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵,相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从
各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳
．．．．坑位的编号为（）○，1和错误!错误!和错误!错误!和错误!错误!和错误!
【测量目标】数列的实际应用。

【考查方式】已知数据,根据路程和的变化规律求解.
【参考答案】
【试题解析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论．选（方法一)
(方法二）根据图形的对称性,树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值;所以从两端的树坑向中间移动时,所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可.树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是;树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是
,所以路程总和最小为2000米.
二填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分,共25分）
11．设，则______.
【测量目标】分段函数的定义与求解.
【考查方式】给出分段函数，求解。

【参考答案】
【试题解析】由算起，先判断的范围，是大于0,还是不大于0，;再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．∵,∴，所以，即．
12．如图，点在四边形内部和边界上运动，那么的最小值为________。

【测量目标】线性规划求目标函数的最值。

【考查方式】给出四边形与不定直线，求其最小值.
【参考答案】1
【试题解析】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．
目标函数，当时，，所以当取得最大值时，的值最小；移动直线，当直线移动到
过点时，最大，即的值最小，此时．
13．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
照此规律，第五个等式应为__________________.
【测量目标】归纳总结的特点与性质.
【考查方式】给出四个有规律的等式，总结出第五个等式。

【参考答案】(或）
【试题解析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，
行数等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
则第5行等号的左边有9项,右边是9的平方，所以，
即．
14．设，一元二次方程有整数
．．根的充要条件是．
【测量目标】一元二次方程的求解及充分条件与必要条件的定义.
【考查方式】已知一元二次方程，求其有整数解的充要条件。

【参考答案】或
【试题解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数
．．根．
15．（考生注意:请在下列三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题评分）A．(不等式选做题）若不等式对任意R恒成立,则的取值范围是．
【测量目标】不等式恒成立问题.
【考查方式】给出不等式,由求出实数的取值范围。

【参考答案】
【试题解析】先确定的取值范围，则只要不大于的最小值即可．当时，；
当时,；
当时，；
综上可得，所以只要，
即实数的取值范围是．
B．（几何证明选做题）如图,,，，且=6，=4，=12，则=．
【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.
【考查方式】给出几何体中线线关系、角的大小、线段长度，求线段长.
【参考答案】
【试题解析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三
角形的对应边成比例求解．
因为,所以=，又因为，所以∽，所以,所以．
C．(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系中，以原点为极
点,轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，设点分别在曲线：（为参数）和曲线：
上，则的最小值为．
【测量目标】极坐标方程的定义、数形结合能力。

【考查方式】已知两个曲线方程，求分别在两曲线上的两点距离最小值。

【参考答案】
【试题解析】利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离,所以的最小值为．
三．解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16.(本小题满分12分)
如图，在中，，，是上的高,沿把折起,使
（1）证明：平面平面；
（2)设，求三棱锥的表面积。

【测量目标】空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理及空间想象能力与推理论证能力.【考查方式】已知线线关系、角的度数，求面面垂直及三棱锥的体积.
【试题解析】(1)确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变,线段长度不变，线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明;(2）充分利用垂直所得的直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算．
(1）∵折起前是边上的高，
∴当折起后，，，
又，
∴平面，又∵平面。

∴平面⊥平面．
（2）由（1）知，,，，
，,
∴三棱锥的表面积是
17。

(本小题满分12分）
设椭圆：过点，离心率为．
（1）求的方程;
(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．
【测量目标】椭圆方程的定义与应用，中点坐标公式的求解.
【考查方式】给出椭圆方程的离心率,求椭圆的标准方程.
【试题解析】(1)由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解;（2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．
（1）将点代入的方程得, ∴，
又得，即, ∴
∴的方程为.
（2）过点且斜率为的直线方程为,
设直线与的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入的方程，得
,即，解得，，
的中点坐标，，
即所截线段的中点坐标为．
注：用韦达定理正确求得结果,同样给分．
18。

(本小题满分12分）
叙述并证明余弦定理。

【测量目标】余弦定理的定义、性质与理解。

【考查方式】通过叙述并证明余弦定理。

【试题解析】
叙述:
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。

或：在中,为的对边，有
，
，。

证明：（证法一) 如图, 第18题图（1）
===
即
同理可证，
（证法二）已知中，所对边分别为，以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,则，
∴
,
即
同理可证,
19。

（本小题满分12分）
如图，从点做轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：记点的坐标为。

(Ⅰ)试求与的关系
（Ⅱ）求的和
【测量目标】导数的几何意义
【考查方式】考查了导数在研究函数中的应用
【试题解析】（1)根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与轴的交点坐标；（2）尝试求出通项的表达式，然后再求和．
（Ⅰ)设，由得点处切线方程为:
由得。

（Ⅱ），得，
20。

（本小题满分13分）
如图,地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到达火车站的人进行调查,调查结果如下：
(1）试估计40分钟内不能
．．赶到火车站的概率;
（2 ）分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径。

【测量目标】几何概率的特点与性质。

【考查方式】几何概率在生活问题中的应用.
【试题解析】（1)读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值;(2)根据频率的计算公式计算;（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．
(1）由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44。

（2 )选择的有60人，选择的有40人，第20 题 Yxj 51
故由调查结果得频率为:
(3)用，分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；用，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站．
由(2）知=0.1+0.2+0.3=0.6，=0。

1+0。

4=0。

5，，
甲应选择路径；
=0。

1+0.2+0.3+0。

2=0。

8，=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，＞,
∴乙应选择路径.
21.（本小题满分14分）
设，．
(1)求的单调区间和最小值；
（2)讨论与的大小关系；
（3)求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．
【测量目标】对数函数的性质，利用导数判断函数的单调性.
【考查方式】已知函数，求其单调区间和最小值.
【试题解析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间）,并求出最小值；（2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．【解】(1）由题设知,
∴令0得=1，
当∈（0，1）时，＜0,是减函数，故（0，1)是的单调减区间。

当∈(1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，
因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以的最小值为
(2）
设，则，
当时,，即，
当时,,
因此，在内单调递减，
当时,
即时,即.
（3)由（1）知的最小值为1，所以,
，对任意，成立
即从而得。