福建省南安一中2012-2013学年高一下学期期中数学试题 含答案

南安一中2012～2013学年度高一下学期期中考
数学科试卷
本试卷考试内容为:数学必修④。

共4页,满分１５０分，考试时间１２０分钟.
注意事项：
1．答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4．保持答题纸纸面清洁，不破损。

考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1。

若cos0
α<且tan0
α>，则α是( ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2.sin300︒= ( )
A ．12
B ．12-
C ．
2
D ．2
-
3。

化简 AC
－
BD
＋
CD
—
AB
的结果为
（ ）
A ．AB
B ．DA
C ．BC
D ．0
4。

下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( ）
A ．1
(0,0)e =
2(1,2)e =- B ．)2,1(1
-=e
2(3,7)e =
C ．)5,3(1
=e )10,6(2=e
D ．)3,2(1
-=e
)4
3,21(2-=e
5。

||1,||2
a b ==,且()0
a b a +=，则
a
、b
的夹角为
( ）
A ．
60 B ．90 C ．120 D ．150 6.
函
数
)
3
2sin(2π
+
=x y 的图像
（ )
A ．关于原点对称
B ．关于点（0,6
π-）对称 C ．关于y 轴对称
D ．关于直线6
π=x 对称
7.若
1sin(
)4
5
x π
-=-
，则
cos(
)
4
x π
+的值等于 ks5u
( ）
A ．
15
- B ．15
C ．
D
8。

若函数
()(1)cos f x x x
=，
02
x π
≤<
，则
()
f x 的最大值为
（ )
A ．1
B ．
C ．2
D ．
1
9。

如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 ( ）
A ．1
sin 0.5
B ．sin 0.5
C ．2sin1
D ．1
cos 0.5
10。

若
20,AB BC AB ABC +>∆则为
( ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形 C 。

钝角三角形 D ．以上答案均有可能
11.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 ks5u
（ ）
A ．向左平移5π12
个长度单位 B ．向右平移5π12
个长
度单位ks5u
C ．向左平移5π6
个长度单位 D ．向右平移5π6
个
长度单位
12.函数cos y x ω=（0ω>)在区间[0,1)上至少出现2次最大值，至多出现3次
最
大
值
，
则
ω
的取值范围是
（ ）
A ．24πωπ≤≤
B ．24πωπ<≤
C ．26πωπ<≤ D. 26πωπ<<
二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．
13。

已知(,1),(,4)a x b x ==-且a b ⊥，则x = 。

14.已知向量a ，b 满足3,2
a b ==且
a
与
b
的夹角为60
，则a b -= .
15.
若函数
()sin 2tan 2
f x a x b x =++，
且
(3)5,
f -=则
(3)f =
.
16．定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像的交点
为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,直线PP 1与sin y x =的图像交于点P 2，则线段PP 2的长为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）如图：在
ABC
∆中，
D
为
BC
中点,
13AM AB =
,2
3
AN AC =, 设,AB a =.AC
b =
（Ⅰ）试用,a b 表示MN ; （Ⅱ）试用,a b 表示MD ．
18．(本小题满分12分)已知(sin ),(sin ,cos )a x x b x x ωω
ωω==(0ω>)，
函数1
()2
f x a
b =-
，且()f x 的最小正周期为π． C B
D
（Ⅰ）求ω的值;
（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
19．（本小题满分12分)已知函数()cos 2cos ,f x x x =+5[,]6
6
x ππ∈-，求函数()
f x 的值域．
20．（本小题满分12分）已知2
1)4
tan(=+απ
(Ⅰ）求αtan 的值；
(Ⅱ）求22
sin(22)sin ()
21cos(2)sin π
απαπαα
+----+的值。

21．（本小题满分12分)已知函数()sin(),f x A x ωϕ=+ (,0,0,)2
x R A π
ωϕ∈>><
的
部分图象如图所示： （Ⅰ）试确定()f x 的解析式;
（Ⅱ)若1()23
f απ
=， 求2cos()3
πα-的值.
22．（本小题满分14分)设向量(sin ,cos ),(sin ,cos )m A B n B A == //m n ，
且.m n ≠ 其中,A B 是ABC ∆的内角．
(Ⅰ）求sin sin A B +的取值范围;
(Ⅱ）试确定sin sin sin sin A B A B
+的取值范围。

南安一中2012～2013学年度高一下学期期中考
数学科试卷参考答案
一、选择题:（5×12=60）
二、填空题：(4×4=16）
13．2±； 14．； 15．1-；
16．2
3
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分)在ABC ∆中，D 为BC 中点, 13AM AB =
，2
3
AN AC =, 设,AB a =.AC b =
（Ⅰ)试用,a b 表示MN ; （Ⅱ）试用,a b 表示MD ． 解：（Ⅰ）
12
,,
33
AM a AN b ==
∴
MN =21
33
AN AM b a -=- ………………………………6分
(Ⅱ)1
3AM a =，1()2
AD a b =+ (9)
分
∴1162
MD AD AM a b =-=+ ………ks5u ………12分
18．（本小题满分12分）已知
(sin ),(sin ,cos )a x x b x x ωωωω==（0ω>),
函数1
()2
f x a
b =-
，且()f x 的最小正周期为π． (Ⅰ）求ω的值；
(Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间． 解：（Ⅰ）
1
()
2f x a b =-
21
sin cos 2
x x x ωωω=-
∴1cos 21()222x f x x ωω-=-12cos 22
x x ωω=- ∴
π()sin 26f x x ω⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
(4)
分
函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， ∴
2ππ2ω
=,解得
1
ω= ………
ks5u ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin 26f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
． ∴欲求()f x 的增区间,
只需
πππ
22,262k x k k Z ππ--+∈+2≤≤， ………………………………8分 解得：ππ
,63
k x k k Z ππ-+∈+≤≤ (10)
分
∴函数()f x 的单调递增区间为ππ[,],6
3
k k k Z ππ-+∈+ ………………
12分
19．（本小题满分12分）已知函数()cos 2cos ,f x x x =+5[,]6
6
x ππ∈-,求函数()
f x 的值域． 解
: 2()cos2cos 2cos 1cos f x x x x x =+=-+ …………………2分
∴
219()2(cos )48
f x x =+-
…………………5分
5[,]66
x ππ
∈-
，
∴cos [x ∈ (7)
分
∴
当
1cos 4
x =-
时，有min 9
()8
f x =-
； …………………9分
当
cos 1
x =时
，
有max ()2f x =
…………………11分
∴
()
f x 的值
域
为
9[,2]8
- …………………12分
20。

(本小题满分12分)已知2
1)4
tan(=+απ
(Ⅰ）求αtan 的值； (Ⅱ)求22
sin(22)sin ()
21cos(2)sin π
απαπαα
+----+的值。

解：（Ⅰ）tan
tan 1tan 1
4
tan(
)4
1tan 2
1tan
tan 4
π
α
π
ααπ
αα
+++=
==--，解得31tan -=α …………6分
（Ⅱ）22
sin(22)sin ()
21cos(2)sin π
απαπαα
+----+=
22sin 2cos 1cos 2sin αααα
-++ (8)
分
2222sin cos cos 2cos sin ααααα
-=
+22tan 1
152tan 19αα-==-+ ………………
12分
21．（本小题满分12分)已知函数()sin(),f x A x ωϕ=+
(,0,0,)2
x R A π
ωϕ∈>><
的部分图象如图所示：
（Ⅰ）试确定()f x 的解析式；
（Ⅱ）若1()23
f απ
=, 求2cos()3
πα-的值。

1
3
=
解: （Ⅰ）由图象可知A=2， 错误! = 错误! －
错误!
, ∴T=2，ω= 错误!=π
将点（错误!, 2）代入y=2sin(πx ＋
）， 得 sin(错误!＋
)=1， 又｜
| 〈 错误! 所以
= 错误!。

故所求解析式为f(x)=2sin （πx ＋错误!） (x ∈
R ） …………6分
（Ⅱ）∵f （错误!) = 13
, ∴2sin （错误!＋错误!) = 13
， 即, sin （错误!＋错误!)
= 16
…………7分
∴cos(错误! －a ）=cos[π－2(错误!＋错误!）］ =－cos2（错误!＋
错误!
)=2sin 2(错误!＋错误!)－1 =1718
-
…………12分
22．（本小题满分14分）设向量(sin ,cos ),(sin ,cos )m A B n B A == //.m n m n ≠，
其中,A B 是
ABC 的内角
(Ⅰ）求sin sin A B +的取值范围;
（Ⅱ）试确定sin sin sin sin A B A B
+试确定的取值范围.
解：因为(sin ,cos ),(sin ,cos ),m A B n B A m n ==, 所以sin cos sin cos A A B B =， ………………2分 即sin 2sin 2A B =
又,
m n ≠所以22,A B π+=即2
A B π
+= ………………4分 （Ⅰ）sin sin A B +
=sin sin()sin cos )2
4
A A A A A ππ+-=+=+ 30,,2444A A ππππ<<∴<+<
1)4
A π
∴<+≤
因此
sin sin A B
+的取值范围是
(
ks5u ………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2
A B π+=，所以sin sin sin cos sin sin sin cos A B A A A B
A A
++=⋅⋅
设sin cos A A +=t
∈(,则2
12sin cos t A A =+,所以21
sin cos 2
t A A -=
即2
sin sin sin cos 1sin sin sin cos 2
A B A A t t
A B
A A
++==-⋅⋅ 令2
()12
t f t t
=- 则22()1
t
f t t =
- …………10分
由定义可证()f t
在(上是单调递减函数
,（此处参考答案省略定义证明过程，考生倘若用此法解题，必须写明证明过程，不可用复合函数单调性说明)， ks5u ………12分
所以()f t f ≥=所以sin sin sin sin A B A B
+取值范围
为)⎡
+∞
⎣ ……
ks5u …………14分。